17. Лекция по элементарной математике. Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5

• Название: Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5
• Дата: 30.03.2021
• Размер: 186.94 Kb.
• Имя файла: 17. Лекция по элементарной математике.docx
• Тип: Лекции; #189455
• страница: 21 из 25

§20 Формулы преобразования произведения тригонометри- ческих функций в сумму. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

Формулами первого типа являются

sin cos

cos cos
cos sin

¹ (sin( ) sin( )), (1)

2

¹ (cos( ) cos( )), (2)

2

¹ (cos( ) cos( )) (3)

2

Выведем эти формулы. Складывая почленно равенства

sin	cos	cos	sin	sin(	) ,
sin	cos	cos	sin	sin(	) ,

получим:

2sin cos (sin( ) sin( )) , откуда следует (1).

Складывая и вычитая почленно равенства

cos	cos	sin	sin	cos(	) ,
cos	cos	sin	sin	cos(	)

и деля полученные результаты на 2, получим соответственно (2) и(3).

Основными формулами преобразования сумм и разностей тригонометрических функций в произведения являются

sin sin 2sin

2

sin

cos

^b, (4)

2

(5)

cos cos 2cos

2

cos cos 2sin

2

cos

sin

, (6)

2

(7)

2

Вывод этих формул также основан на применении теорем сложения.

Складывая и вычитая почленно равенства

sin(x y) sin x

sin(x y) sin x

cos y

cos y

cos x

cos x

sin y,

sin y,

получим соответственно: sin(x y) sin(x y) 2sin x sin(x y) sin(x y) 2cos x
cos y,

sin y.

Положим x y , x y ,тогда
x , y .

2 2

При этих обозначениях получим формулы (4) и (5). Далее, складывая и вычитая почленно равенства

cos(x y) cos x

cos y

sin x

sin y ,

cos(x y) cos x

cos y

sin x

sin y

и изменяя обозначения (x y

ветственно (6) и (7).

, x y

) , получим соот-

Выведенные формулы справедливы при любых значениях

и , так как, каковы бы ни были числа и , можно подобрать ^{такие x и} y ^{, чтобы соблюдались соотношения}


в чём легко убедиться, разрешив эту систему относитель- но ^xи y . Сумма тангенсов

sin		sin		sin	cos	cos	sin
cos		cos			cos	cos

tg ,
откуда, используя формулу синуса суммы, получим:

tg .
Аналогично выводится формула разности тангенсов

tg .