17. Лекция по элементарной математике. Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5

• Название: Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5
• Дата: 30.03.2021
• Размер: 186.94 Kb.
• Имя файла: 17. Лекция по элементарной математике.docx
• Тип: Лекции; #189455
• страница: 17 из 25

§16 Решение показательных уравнений и неравенств.

Показательные уравнения

Определение 1. Показательнымуравнениемназывается та- кое уравнение, в котором неизвестное входит лишь в показа- тели степеней.

Теорема 1. Если a, b и ^c есть отличные от 1 положи-

тельные числа, то уравнение равносильно уравнению

_af ( х)

(1)

f (х) log_ca (х) log_c b(2)

Доказательство. Если

a и

x x<sub>0

a</sub>f( х₀ )

— решение уравнения (1), то

b ^{( х0 )} . Но из равенства положи-

тельных чисел вытекает и равенство их логарифмов. П о-

этому

log

_af ( х₀ )

log

^{b ( х0 )} , и значит

f (х ) log a b.

c c 0 c

Следовательно, x является решением уравнения (2). Таким

образом, всякое решение уравнения (1) является решением уравнения (2).

Покажем, что и всякое решение уравнения (2) удовлетворяет

уравнению (1). Если x есть решение уравнения (2), т. е.

f (х₀ ) log_c a

b , то

_cf ( х₀ )log_c a

, так как при

данном основании ^c и равных показателях степени значения показательной функции равны. Из последнего равенства вы-

текает, что

_(clog_ca₎ ^fx₀

откуда

_af( х₀ )

и, значит,

x₀ — решение уравнения (1). Теорема доказана.

Частным случаем доказанной теоремы является утвержде-

ние: Если ^a — отличноеот1 положительноечисло,тоуравнение

_a f ( х)

равносильно уравнению

f(х) (х) .

Этот частный случай вытекает из теоремы 1 при a b c.

Общего метода решения показательных уравнений не суще- ствует. Однако среди показательных уравнений можно выде- лить несколько групп, уравнения каждой из которых решаются одним и тем же приёмом.

Первая группа. Простейшие показательные уравнения. Про- стейшим показательным уравнением называется уравнение вида

где a
0, a 1.

a^x (3)

При b 0 уравнение (3) не имеет решений, так как при действи-

тельных значениях x степень a^x не может быть отрицатель-

ным числом или равняться нулю. При b уравнение (3) имеет

единственное решение x

log_a b .

Пример. Уравнение 3^x имеет единственное решение
Вторая группа. Показательные уравнениявида

_a ( х)

b. (4)

a — элементарная алгебраическая функция.

Введением нового неизвестного u уравнение (4) непо-

средственно сводится к простейшему показательному уравне-

нию a^u

b , которое имеет решение только тогда, когда b

0. 
   . Если
   

b 0 , то ^u

и, значит, (х) log_ab

Решив это уравнение, найдём решения уравнения (4).

Замечание. Если числа ^a и b в уравнениях (3) и (4) можно запи-

сать в виде степеней одного и того же числа

c, c

т. е. если

a^x c^m, b cⁿ , то уравнения (3) и (4) можно записать так:


Третья группа. Показательные уравнения вида

_a f ( х)

b^{( х)} , (5)

где ^a и b — отличные от 1 положительные числа, a

- элементарные алгебраические функции.

По теореме 1 уравнение (5) равносильно уравнению

f (х) и

^{f (х) log}_c^{a (х) log}_c^b.(6)

Решение уравнения (5) сводится, таким образом, к решению урав- нения (6).

Если ^a и b есть степени какого-либо числа ^c , то есть если

то уравнение (5) можно записать так:

_cpf( х)

_cq ( х) _{, и}

решение его сведётся к решению равносильного ему уравнения

pf (х)