17. Лекция по элементарной математике. Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5

• Название: Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5
• Дата: 30.03.2021
• Размер: 186.94 Kb.
• Имя файла: 17. Лекция по элементарной математике.docx
• Тип: Лекции; #189455
• страница: 13 из 25

§11 Системы уравнений. Основные понятия. Равносиль- ность систем. Основные методы решения систем

Определение 1. Системой k уравнений с п неизвестными

x, y,..., z ^{называется множество k равенств вида}

f₁ (x, y,..., z) ₁ (x, y,..., z),

f₂ (x, y,..., z) ₂ (x, y,..., z),

(1)

.............................................

f_k (x, y,..., z) _k (x, y,..., z),

выражающих следующее суждение: при данной системе значений неизвестных удовлетворяется каждое из заданных урав- нений (1).

Пересечение областей определения правых и левых частей всех уравнений системы называется областью определения системы (1).

Решением системы (1) называется кортеж (упорядоченное множество) ⁿ значений неизвестных (a, b,..., c) , при которых данное суждение истинно, то есть такая система значений

x a, y b,..., z c , которая удовлетворяет каждому из уравнений

системы (1).

Решить систему уравнений — значит найти множество всех её решений. Система, не имеющая решений, называется про- тиворечивой.

Две системы с одними и теми же неизвестными называ- ются эквивалентными над некоторым числовым полем (или равносильными), если множество всех решений в данном чи- словом поле первой системы и множество решений второй системы в том же числовом поле одинаковы.

Следствием данной системы (1) называется такая система уравнений, множество решений которой содержит все решения системы (1).

Очевидно, что система уравнений (1) может быть приведена к равносильной ей системе, имеющей вид

Имеет место

F₁ (x, y,..., z) 0,

F₂ (x, y,..., z) 0,

...........................

F_k (x, y,..., z) 0.

(2)

Теорема. Если

x x( y,..., z),

есть общее решение первого урав-

нения системы (2), то система (2) эквивалентна системе

x x( y,..., z),

F₂ (x( y,..., z), y,..., z) 0,

........................................

F_k (x( y,..., z), y,..., z) 0.
(3)

Перечислим преобразования системы уравнений, которые

приводят к системе, равносильной данной:

1. 
   любое уравнение системы можно заменить равно- сильным ему уравнением (см. определение 3 в параграфе 1);
   
2. 
   если из некоторого уравнения системы можно выразить одно из неизвестных через другие неизвестные, то это вы- ражение можно подставить в остальные уравнения системы;
   
3. 
   любое из уравнений системы можно заменить его ли- нейной комбинацией с другими уравнениями этой же систе- мы (линейную комбинацию уравнений получают, умножая каждое из уравнений на какое-либо постоянное число, от- личное от 0 (в общем случае эти множители различны), и складывая полученные уравнения почленно);
   
4. 
   к системе можно добавить любое следствие её уравнений (см. определение 4 в параграфе 1);
   
5. 
   если какое-нибудь уравнение системы является следст- вием прочих уравнений той же системы, то его можно отбро- сить (в частности, всякое уравнение системы, удовлетворяю- щееся тождественно, может быть отброшено);
   
6. 
   если какое-либо уравнение системы распадается на со- вокупность нескольких уравнений, то система равносильна совокупности систем, в каждой из которых все прочие урав- нения — те же, что и в исходной системе, а вместо распавше- гося на совокупность уравнения стоит одно из уравнений этой совокупности.
   

Все эти свойства несложно доказать (см., например, [6]). Именно они лежат в основе методов решения систем уравне- ний.

Одним из наиболее действенных методов решения систем уравнений является метод подстановки, который можно из- ложить в виде следующего правила.

Правило. При решении системыуравнений методом подстановки следует:

1°) Решить одно из уравнений системы относительно какого-нибудь неизвестного, выразив его через прочие неиз-вестные (первое уравнение системы (3) ).

2°) Исключить это неизвестное, подставив найденное выражение в прочие уравнения системы. После подстанов- ки получится система, в которой число уравнений, а также число неизвестных на1 меньше, чем в первоначальной

системе(последниеk уравнений системы (3)).

3°) Решить полученную систему (относительно неиз- вестных y,...,z).

4°) Для каждого решения последней системы вычислить соответствующее значение исключённого неизвестного.

Примечание. В процессе решения системы с помощью свойства 3) при составлении линейной комбинации вместо постоянных множителей можно использовать функции от не- известных, однако лишь такие, которые отличны от нуля во всей области определения системы.

Пример. Решить систему

Решение. Сложив все три уравнения системы, получим

уравнение

xy xz yz

23, которое является следствием дан-

ной системы. Поэтому она равносильна следующей системе:

xy	xz	yz 23,
xy	yz	18,
xz	zy	20,
yz	xz	8.

Вычитая в этой системе из первого уравнения последова- тельно второе, третье и четвёртое уравнения, получим рав- носильную ей систему

xy	3,
xz	5,
yz	15,
xy	yz	18,
xz	zy	20,
yx	xz	8.

Поскольку три последних уравнения получившейся сис- темы являются следствиями трёх первых её уравнений, то ис- ходная система равносильна следующей:

xz	5,	xy	3,	x	1,
yz	15	xz	5,	y	3,
		yz	15	z	5.

Ответ: (1,3,5), (-l,-3,-5).