17. Лекция по элементарной математике. Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5

• Название: Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5
• Дата: 30.03.2021
• Размер: 186.94 Kb.
• Имя файла: 17. Лекция по элементарной математике.docx
• Тип: Лекции; #189455
• страница: 12 из 25

§10 Двучленные и трёхчленные уравнения. Возвратные уравнения. Симметрические уравнения.

Двучленные уравнения.

Определение 1. Двучленным уравнением n-ой степенина-

зывается уравнение вида

axⁿ

где ⁿ – натуральное число,

Разделив обе части уравнения (1) на
a и обозначив,

^b q, c

получим уравнение xⁿ

2. 
   равносильное урав-
   

нению (1).

Рассмотрим теперь уравнение (2). Его решениями будут значе-

^ния x ⁿq^{.Следовательно, решение уравнения (2) сводится к из-}

влечению корня степени п из числа q.

Если q 0 , то имеет n различных комплексных значений и,

следовательно, уравнение (2) имеет в поле комплексных чисел п

различных решений. Если же q 0 , то уравнение (2) имеет n-

кратное решение x 0 .

Заметим, что когда известно одно из значений ⁿ q то решение

уравнения (2) сводится к решению уравнения yⁿ 1 0 .

Действительно, пусть

^x₀ одно из значений

. Делая замену

x получим уравнение

xⁿyⁿ q

⁰ . Отсюда, разделив обе

0

x

0
части уравнения на <sup>n

q 0</sup> , получаем yⁿ

1 0 . (3)

Корень n-ой степени из единицы, то есть решение уравне- ния (3) получим по формуле

y_k

Тогда решение уравнения (1) имеет вид:
x_k

Трёхчленные уравнения, приводимые к квадратным

Таким уравнением является

_ax2n

bxⁿ c

0 . (4)

Подстановкой нию ay²

y₁

y оно приводится к квадратному уравне- Отсюда

Подставив в равенство xⁿ

вместо у его значения

y₁ и

y₂ получаем двучленные уравнения n-ой степени
x_n

Решив двучленные уравнения (5) мы найдём все решения

трёхчленного уравнения (4).

Возвратные и симметрические уравнения

Определение 2. Возвратным уравнением называется уравнение вида

0
_{a x}2n

если степень уравнения нечётная, и уравнение вида

(6)

_{a x}2n

_{a x}2n 1

...

_{a x}n1

a xⁿ

_{a x}n1

0 1 n1

n n1

(7)

2_{a x}n2

...

ⁿa 0,

n 2 0

если степень его чётная ( – некоторое число).

Примеры.

1. 
   Уравнение 2x⁵
   

3x⁴

2x³

6x²

81x

486 0 является

возвратным; здесь 3.

2. 
   Уравнение
   

4x⁶

5x⁵

3x⁴

11x³

6x²

20x

32 0

тоже

является возвратным: здесь 2.

Теорема 1. Возвратное уравнение нечётной степени имеет ко- реньx .

Доказательство. Возьмём возвратное уравнение (6). Его можно переписать так:


0
a (x²ⁿ

При x каждое слагаемое левой части последнего уравнения обращается в нуль. Доказано.

Теорема 2. В результате деления возвратного уравнения нечёт- ной степени на x получается возвратное уравнение чётной степени.


0
Доказательство. Разделим левую часть уравнения (6) на x .

Частное обозначим

_{b x}2n

Тогда имеем тождество


0
_{a x}2n

(8)

Мы докажем, что

^b2n

Доказательство проведём методом математической ин-

дукции. Сравнивая коэффициенты при тождества (8), получим:

x^{2n 1} в левой и правой частях

a₀ (9)

Сравним свободные члены в левой и правой частях тождества (8).

Получим:

Из равенств (9) и (10) имеем: Предположим, что

(10)

b ²ⁿb; b

2n 2_{b ; b}

^{2n 4}b ;...;b

2n 2k_{b ,}

где

2n 0 2n 1 1 2n 2 2 2n k k

0 k n.

Докажем, что тогда
^b2n k 1

2n 2k 2


b

.
k 1

Сравним коэффициенты при

_xk 1

в левой и правой частях

k 1 2n k 1 2nk
тождества (8). Получим: ^{2n 2k 1a b b .}

(11)

А сравнивая коэффициенты при тождества (8), получим: a_k

Из равенств (11) и (12) имеем:

_x2n k

в левой и правой частях (12)

Но так как ^b

казана

Теорема до-

Из теоремы 2 следует, что решение возвратного уравнения нечёт- ной степени сводится к решению возвратного уравнения чётной степени.

Теорема 3. Возвратное уравнение чётной степени 2n вида(7)

подстановкой y сводится в области комплексных чисел к

уравнению степени п и к п уравнениям второй степени.

Доказательство. Разделим обе части уравнения (7) на

xⁿ . Полу-

чим

a xⁿ

0
Объединим первое слагаемое с последним, второе — с предпо- следним, третье — с третьим от конца и т. д. Получим:

a₀
Введём новое неизвестное y

(13)
. Докажем, что сумму

x

x^m при любом натуральном m можно представить в виде мно-

гочлена

f_m y степени т. Доказательство проведём методом

математической индукции.

При m имеем x

2 ₁ ² 2

При m

_{2 x}2

_x2

x 2 ,

x

k

то есть
k 1

_x2

_x2

y² 2 .

Допустим, что суммы x^k

_{и x}k 1

_xk

_{xk 1} , где k

1 , можно

представить в виде многочленов f_k

y и ^f_{k 1} ^{( у)}

степеней k и k

соответственно. Докажем, что тогда и сумму x^k

тоже мож-

но представить в виде многочлена

^fk 2

y степени k

2 . Име-

ем: x^k

или

_xk 2

k 2
_xk 2

yf_{k 1} ( у)

f_k ( у) . То есть x
где

k
Подставим в уравнение (13) вместо сумм, стоящих в скобках, их выражения через у. В результате получим уравнение степени n от у. Это уравнение имеет в области комплексных чисел n кор-

ней:

x

y₁, y₂ ,..., y_n . Неизвестное x найдём из n уравнений

каждое из этих уравнений легко преобразуется в квадратное урав- нение. Теорема доказана.

Симметрические уравнения

Определение 3. Уравнение ⁿ -ой степени называется симметриче-

ским, если у него равны коэффициенты при x^k

и при

_xn k _.

Таким образом, симметрическое уравнение имеет вид

a xⁿ

_{a x}n 1

...

_{a x}n k

...

a x^k

...

^{ax a 0} .

0 1 k k 1 0

Симметрическое уравнение является частным видом воз- вратного уравнения (здесь 1).

Примеры.

1. 
   Уравнение 2x⁴
   

3x³

5x²

3x 2 0 — симметрическое.

2. 
   Уравнение x⁵
   

2x⁴

_x3 _x2

2x 1 0 — симметрическое.

Из теорем 1, 2 и 3 о возвратных уравнениях вытекают следующие теоремы.

Теорема 4. Симметрическое уравнение нечётной степени имеет

кореньx 1 .

Теорема 5. В результате деления симметрического уравнения

нечётной степени на ние чётной степени.

x получается симметрическое уравне-

Теорема 6. Симметрическое уравнение чётной степени 2n

вида (7) подстановкой y

сводится в области комплексных

x

чисел к уравнению степени п и к п уравнениям второй сте- пени