17. Лекция по элементарной математике. Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5

• Название: Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5
• Дата: 30.03.2021
• Размер: 186.94 Kb.
• Имя файла: 17. Лекция по элементарной математике.docx
• Тип: Лекции; #189455
• страница: 11 из 25

Глава 2. Алгебраические уравнения и неравенства

§9 Уравнения. Исходные понятия. Равносильность уравне- ний. Алгебраические уравнения первой и второй степени

Пусть заданы две функции

^D_f ^{, D}_g .

f (x), g(x)

и их области определения

Определение 1. Условие равенства значений двух функций при некотором x Mназывается уравнением с неизвестным x из области

М. определяемым функциями

f (x), g(x) :

f (x)

g(x) ,

При задании уравнения множество М должно быть четко опреде-

лено. Если не указывается М, то под М подразумевается ^D_f ^D_g.

Определение 2. Решением (корнем) уравнения

f (x)

g(x)

назы-

вается такой элемент M , что

f ( )

g( ) .

Определение 3. Два уравнения называются эквивалентными (рав- носильными), если множества их решений совпадают.

Определение 4. Если всякое решение первого уравнения является решением второго уравнения, то второе уравнение называется след- ствием первого.

Свойства равносильности уравнений

1. 
   Всякое уравнение равносильносебе.
   
2. 
   Если первое уравнение равносильно второму уравнению, то второе уравнение равносильнопервому.
   
3. 
   Если первое уравнение равносильно второму, а второе равно- сильно третьему, то первое уравнение равносильнотретьему.
   

4. 
   Если даноуравнение
   

f (x)

и (x)

— функция, такая,

что

D D_f

^D_g , тогда уравнение

f (x)

g(x)

1. 
   равносильно
   

уравнению

f(x) (x)

g(x) (x)

(2).

Доказательство. Пусть — решение уравнения (1), то есть

f ( )

g( ) . Так как

D_f D_g

^D ,то

определена. По-

этому

f (x)

g(x)

g(x) (x) , откуда следует, что — решение

уравнения (2). Таким образом, уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Проведя эти рассуждения в обратном порядке, получим, что урав- нение (1) является следствием уравнения (2). Итак, уравнения (1) и (2) равносильны.

5. 
   Если даноуравнение
   

f (x)

g(x)

и (x)

- функция, такая,

что

D D_f

^D_g и для любого

D_f D_g

( ) 0 , тогдаурав-

нение

f (x)

g(x) (1) равносильно уравнению

f (x)
(3)

Доказательство проводится аналогично доказательству предыду- щего свойства.

Следствие. Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное ис- ходному.

Теорема 1 (о замене неизвестного). Пусть даны

f (x)

и g(x) и

g(D_g )

^D_f , тогда для уравнений

f (x)

(4),

f (g(x))

5. 
   вы-
   

полняются условия:

1. 
   если z₀
   

• 
  решение уравнения (5), то x₀
  

– решение

уравнения (4);

2. 
   если
   

x₀ – решение уравнения (4), то существует

z₀ такое, что

x₀ и z₀

• 
  решение уравнения (5).
  

Доказательство. 1. Пусть

z₀ – решение уравнения (5):

f(g(z₀ )) 0 ; так как

g(D_g )

^D_f , то ^x₀

. Таким обра-

зом,

f (g(z ₀ ))

^f(x₀ ^{) 0} , то есть

x₀ – решение уравнения (4).

2. Пусть

x₀ – решение уравнения (4):

f(x₀ ) 0 . Так как

g(D_g )

^D_f , то существует ^z₀

^D_g , такое, что

g(z₀ )

^x₀ , поэтому

0

(5).

f (x₀ )

^{f (g(z}₀ ⁾⁾ , откуда следует, что

^x₀ – решение уравнения

Замечание. Если заданы

f (x) и

g(x) , удовлетворяющие услови-

ям теоремы, то для решения уравнения (4) достаточно решить урав-

нение (5) и для любого

z₀ (решения уравнения (5)) найти

g( z₀ ) . Мы

получим все решения уравнения (4) .

Уравнения первой и второй степеней

Определение 5. Алгебраическим уравнением первой степени назы-

вается уравнение вида ax (6)

Теорема 2. Алгебраическое уравнение первой степени имеет

единственноерешениеx ^b.

a

Доказательство. Подставляя это значение в левую часть уравне- ния (6), получим:

a

Пусть

- решение уравнения(б).
– решение уравнения (6), тогда a

Следовательно, ^b

a

• 
  единственное решение уравнения (6). Тео-
  

рема доказана.

Определение 6. Алгебраическим уравнением второй степени на-

зывается уравнение вида ax²

(7)

Приведём решение уравнения (7). Делая замену x

, име-

2a

b ² b

ем a z b z c 0, откуда следует, что

2 _b2

2a

4ac

2a

2 _b2
4ac

az , или z

4a
z₁

4a²

. Далее:

Окончательно имеем:

^x₁ , ^x₂

где D

Вывод: если D

решения, если D

0 , то уравнение (7) имеет два совпадающих

0 , – то два различных решения (над полем

комплексных чисел С).