17. Лекция по элементарной математике. Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5

• Название: Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5
• Дата: 30.03.2021
• Размер: 186.94 Kb.
• Имя файла: 17. Лекция по элементарной математике.docx
• Тип: Лекции; #189455
• страница: 10 из 25

§ 8 Обращение обыкновенной дроби в десятичную и определение периода дроби

Определение 1. Число

где a_i 0

называется правильной конечной десятичной дробью. Краткая запись:

0, a₁...a_n .
Из определения правильной десятичной дроби видно, что если

привести к общему знаменателю сумму ^{a1 a2} ... ^an , а затем со-

10 10 10ⁿ

кратить числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель, то получится дробь, знаменатель которой имеет вид 2 5 .

Теорема 1. Пусть ^a

b

положительная правильная несократимая

дробь и дроби.

b Тогда ^a,

b

представима в виде конечной десятичной

Доказательство.
a

b

Пусть

тогда

правильная конечная десятичная дробь.

Определение 2. Правильной бесконечной десятичной дробью называет-

ся ряд
0, a₁...a_n ...

где a_i

Краткая запись:

Определение 3. Бесконечная десятичная дробь

0, a₁...a_n ...

называется

чисто периодической с периодом длины s, если для всех k выполняется

a_k причем s – наименьшее натуральное число с таким свойством.

Краткая запись:

0,(a₁...a_s ).

Определение 4. Бесконечная десятичная дробь

0, a₁...a_n ... , не являю-

щаяся чисто периодической, называется смешанной периодической дробью с

периодом длины s, если найдется такое m что для всех

k a_k

причем s – наименьшее натуральное число с таким свой-

ством. Наименьшее натуральное ^m с указанным свойством, называется дли-

нойпредпериода. Краткая запись:

0, a₁...a_m (a_{m 1}...a_{m s} ).

Определение 5. Два целых числа a и b сравнимы по модулю m, пишут

1. 
   b mod m в том случае, когда a bделится на ^m.
   

a

Пример. Числа 27 и 3 сравнимы по модулю 8, 27

(27

Определение 6. Пусть (m, n) Порядком числа n по модулю ^m

называется наименьшее натуральное , такое, что ^{n 1(mod m).}

Лемма. Если <sup>a a1

a2</sup> ...

^an ..., ^то

b 10 10 10ⁿ

a_n

где E(x) целая часть числа х.

Доказательство.

Следовательно, _a
Теорема 2. Пусть знаменатель правильной несократимой дроби ^a

b

взаимно прост с 10, тогда дробь ^a

b

представима в виде чисто перио-

дической десятичной дроби, период которой равен порядку числа 10 по модулю b.

Доказательство. Пусть порядок числа 10 по модулю b равен ^s.

s

Это значит 10

Тогда для любого k:

. Следовательно, ^c

целое число.

b

b b b b

E E
Из этого следует ¹⁰k s ^a

10^k a

10^k ac.

b b

10^{k s} a
₁₀k s 1 _a
10^ka _k

Из леммы

a_ks E _b

10E

b

E 10 ac

b

10^{k 1} a _k1

10^k a

10^{k 1} a
^k Мы показа-

10 E

10 ac E

10E a.

ли, что

2. 
   b b
   

a_k a_{k s} . Покажем, что s – наименьшее натуральное число с таким

свойством. Предположим, что найдется натуральное число 0 t s, что для

всех k , ^a_k

a_{k t} .

В этом случае ^a₁

a_{1 t} , a₂

a_{2 t} ,..., a_t

a_2t ,...

Поэто-

му, Из этого следует

a10^t _t1

a a a

a₁10 ... a_t

1 _... t

... N ,

где

b 10 10^t b

N Поэтому a
следова-

тельно,

a(10^t

1) 0(mod b).

Поскольку (a,b) то

10^t

1. 0(mod b),

что противоречит условию минимальности s с таким

свойством. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть b

где

(b₁ ,10)

Тогда правильная

несократимая дробь ^a

b

может быть представлена в виде смешанной

периодической дроби 0, a₁...a_m (a_{m 1}a_{m s} )

с длиной периода s равной поряд-

ку числа 10 помодулю b₁ идлинойпредпериода m

Доказательство. Пусть Тогда

где

правильная несократимая дробь, N целое число,

b₁

^N По предыдущей теореме чисто перио-
дическая дробь с длиной периода s равной порядку числа 10 по модулю b₁.

Теорема доказана.

Для решения задач необходимы следующие знания: зная каноническое представление числа n, можем найти функцию Эйлера

ⁿ то
(п) n1

¹ ... 1 ¹ .

p p

1 k

Если n p простое число, то ( р) p1.

Теорема 4 (Эйлера). Если ^a такое число, что (a, m) то

a^(т) 1(mod m). (Более подробно и с доказательством теорема Эйле-

ра рассматривается в курсе «Теории чисел»).

В следующих примерах необходимо определить в виде какой десятичной дроби можно представить данную обыкновенную дробь и определить число цифр в периоде и число цифр в предпериоде.

Пример 1. конечная десятичная дробь см. Т1.

Количество цифр после запятой равно

k max{ , } max{2,1} 2.

0,15

1 5 15 3 _.

10 10² 100 20

Ответ: Данную обыкновенную несократимую дробь ³

20

можно

представить в виде конечной десятичной дроби, у которой две цифры после запятой.

Пример 2. ⁵

13

можно представить в виде чисто периодической

десятичной дроби, т.к. 13,10

см. Т2.

Следовательно, необходимо найти только ^s количество цифр пе- риода, удовлетворяющее условию:

1 способ
Испытываем последователь- но делители числа

т.е. 1, 2, 3, 4, 6, 12. (см. О7, Т4

этого параграфа).

101	10(mod13)
102	100(mod13)
102	9(mod13)
103	1(mod13)
106	1(mod13)
106	1 13

Т.о., число цифр в периоде s

2. 
   способ
   

999999	13
91	76923
89
78
119
117
29
26
39
39
0

Ответ: Данную обыкновенную несократимую дробь ⁵

13

можно

представить в виде чисто периодической десятичной дроби, у которой 6 цифр в периоде.
Пример 3. можно представить в виде сме-

шанной периодической десятичной дроби см. Т3.

Следовательно, необходимо найти k количество цифр предперио-

да и ^s количество цифр периода. k

Следовательно, 1 цифра в предпериоде.

max{ , } max{1,1} 1.

s

10^s1

[s₁, s₂ ]

1(mod 7)

Испытываем последовательно делители числа т.е. 1, 2,3, 4,6. (см. О7, Т4 этого параграфа).

10²

10³
20(mod 7) 1(mod 7) ¹⁰⁶

1(mod 7)

s₁ 6.

10^s2 1(mod19)

Испытываем последовательно делители числа 2,3,6, 9, 18. (см. О7, Т4 этого параграфа).

101	10(mod19)
102	100(mod19)	5(mod19)
103	50(mod19)	7(mod19)
106	49(mod19)	8(mod19)
109	56(mod19)	1(mod19)

s

Следовательно 18 цифр в периоде.

т.е. 1,

Ответ: Данную обыкновенную несократимую дробь ¹

1330

можно

представить в виде смешанной периодической десятичной дроби, у которой одна цифра в предпериоде и 18 цифр в периоде.