17. Лекция по элементарной математике. Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5
 Скачать 186.94 Kb.
|
Показательные неравенстваПри решении неравенств, содержащих неизвестное в показате- лях степени, надлежит руководствоваться общими свойствами не- равенств и свойствами монотонности показательной функции. Теорема 2. Если a 1, тонеравенствоaf( х) (7) равносильно неравенству f (х) ( 8 ) . Теорема 3. Если0 a 1, тонеравенство a f ( х) равносильнонеравенству f (х) (9) .Доказательство этих теорем ввиду его простоты опуска- ем. §17 Решение логарифмических уравнений и неравенствЛогарифмические уравнения Определение 1. Уравнение, в котором неизвестное содержится под знаками логарифмов или в основаниях логарифмов, называется логариф- мическим. Теорема 1. Уравнение loga f (х) (1) равносильно системе g(х) а также системе f(х) f(х) 0, 0, g(х) (3) (2) f (х) Доказательство. Пусть g(х). x x0 — решение уравнения (1), т. е. loga f(х0 ) loga g(х0 ) . Используя область определения и монотонность логарифмической функции, имеем: — решение систем (2) и (3). Пусть теперь x1 — решение системы (2), т. е. откуда следует, что x1 — решение уравнения (1). Аналогично этому можно показать, что если x2 — решение сис- темы (3), то оно тоже является решением уравнения (1). Теорема до- казана. Теорема 2.Уравнениеloga( х) f(х) loga( х) g(х) (4) равносильно каждой из систем (5) (6) Доказьшается аналогично теореме 1. 2 Пример. Решить уравнение log (x3 x 1 6) log (4x2 2 x 1 x) . Уравнение этой системы x3 6 0, x2 1 0, x2 1 1, x3 6 4x2 x3 4x2 x. x 6 0 имеет три корня: x1 1, x2 2, x3 3 . Число x1 1 не удовлетворяет условию x2 1 0 . Числа x2 и x3 являются решениями этой системы, а следовательно, и исходного уравнения. Ответ:x1 2, x2 3 . Теорема 3. Уравнение loga f(х) loga g(х) logah(х), a 0, a 1 (7) , равносильно системе (8) loga h(х), которая в свою очередь равносильна системе (9) Доказательство. Первые два неравенства в системе (8) задают область определения левой части уравнения (7), а уравнение системы является следствием уравнения (7). Если уравнение loga ( f(х)g(х)) loga h(х) имеет решения, не являющиеся реше- ниями уравнения (7), то они удовлетворяют обоим неравенствам f(х) 0, g(х) 0 . С учётом первых двух неравенств системы (8) заключаем, что эта система равносильна уравнению (7). (Требова- ние h(х) будет выполняться автоматически.) По теореме 2 уравнение системы (8) равносильно уравнению сис- темы (9), поэтому она равносильна системе (9). Пример. Решить уравнение lg(х 6) lg(х 3) 1. Решение. Это уравнение равносильно системе Логарифмические неравенства Определение 2. Неравенство, в котором неизвестное содержится под знаками логарифмов или в основаниях логарифмов, называ- ется логарифмическим. Теорема 4. Неравенство loga f(х) loga g(х) (10) приa равносильно системенеравенств а при 0 — системе неравенств (11) , (12) Доказательство легко провести по аналогии с доказательст- вом теоремы 1; при решении вопроса о том, меняется или не меняется знак неравенства при потенцировании или логарифми- ровании, следует учитывать характер монотонности логариф- мической функции: при a она монотонно возрастающая (то есть большему значению агрумента соответствует и большее значе- ние функции), а при 0 — монотонно убывающая (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции). Заметим, что в системе (11) условие f(х) 0 выполняется автома- тически, а в системе (12) условие ски. g(х) 0 выполняется автоматиче- Эту теорему можно использовать также и при решении не- равенств, содержащих в основании логарифма неизвестное (см. ниже пример б) ). Примеры. Решить неравенства: а) log x log (х 1) log (2х 6); б) log x 2 2 . 3 3 3 x 9 Решение: б) log |