17. Лекция по элементарной математике. Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5
 Скачать 186.94 Kb.
|
§14 Уравнения и неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля. Иррациональные уравнения и неравенстваУравнения и неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля Наиболее распространённым методом решения уравнений и неравенств, содержащих модули, является раскрытие знака модуля, исходя из его определения: x Область определения уравнения (неравенства) разбивают на непересекающиеся подмножества, на каждом из которых все функции, содержащиеся под знаком модуля, сохраняют знак. После этого решение исходной задачи сводится к реше- нию совокупности неравенств и уравнений (или только не- равенств). Пример. Решить уравнение 1 2x 3 x. Решение. Раскрывая знак модуля по его определению, по- лучим, что данное уравнение равносильно совокупности двух систем: 1 2x 0, 1 2x 0, 1 2x x 1 , 2 3 x x 1 , 21 2x 3 x x 2 x 4 . x 2 Ответ:x 2, x 4 3 3x 4 . 1 2 3 Приведём два способа замены уравнения часто встречаю- щегося вида f (х) совокупностью систем. (2) Первый способ: Уравнение (2) равносильно совокупности систем: Второй способ: Уравнение (2) равносильно совокупности сис- тем: Утверждения обеих этих теорем о равносильности (а это именно теоремы) настолько очевидны, что доказательство мы опускаем. Если в уравнении (2) функция f (х) имеет более простой вид, чем g(х) , то целесообразно заменить уравнение (2) пер- вой совокупностью систем; если более простой вид имеет функция g(х) ,то уравнение (2) лучше заменить второй сово- купностью систем. В частности, уравнение вида f (х) при с < 0 решения не имеет; при с = 0 равносильно уравнению f x 0 , при с > 0 равносильно совокупности уравнений При решении уравнения, в котором под знаком модуля на- ходится выражение, также содержащее модуль, следует сна- чала освободиться от внутренних модулей, а затем в полу- ченных уравнениях раскрыть оставшиеся модули. (Это же правило нужно применять и при решении неравенств, в кото- рых есть "модуль под модулем".) Уравнение вида f1(х) проще все- го решать методом интервалов, суть которого в следую- щем. Сначала находят все точки, в которых хотя бы одна из функций f1 (х), f2 (х),..., fn (х) меняет знак. Эти точки делят об- ласть определения данного уравнения на промежутки, в каж- дом из которых все функции f1 (х), f2 (х),..., fn (х) сохраняют знак. Затем, используя определение модуля, переходят от этого уравнения к совокупности систем, не содержащих знаков мо- дуля. Пример. Решить уравнение x 3 x 2 x 4 3. Решение. Применим метод интервалов для уравнений с модулями - 2 3 4 x Нанеся на числовую ось корни выражений, содержащихся под знаками модулей ( x 3, x 2 и x 4 ), получим четыре интервала, в каждом из которых каждое из этих выражений сохраняет постоянный знак (какой именно, нетрудно опреде- лить, например, используя сведения о характере монотонно- сти функций, находящихся под модулями). Схематично ука- жем эти знаки на рисунке; они помогут нам освободиться от модулей. Исходное уравнение равносильно совокупности сис- тем: Ответ:x 4, x 2 . При решении неравенств, содержащих неизвестное под знаком модуля, так же, как и при решении уравнений, приме- няются определение модуля и "метод интервалов". Однако для решения достаточно широкого класса неравенств с моду- лем имеется специальный приём, который заключается в при- менении следующей простои теоремы: f(х) (3) f(х) (4) Доказательство легко получается "раскрытием" модуля. Пусть, например, x0 является решением неравенства f (х) g(х) , т. е. f (x0 ) (5) Тогда g(x0 ) 0 . Если f x0 0 , то fx , и неравенст- во (5) принимает вид f(x0 ) g(x0 ) . (6) Поскольку f (x0 ) и g(x0 ) 0 , то f (x0 ) g(x0 ) . (7) Неравенства (6) и (7) означают, что в рассматриваемом случае x0 является решением системы Если же f(x0 ) 0 , то f и неравенство (5) прини- мает вид f (x0 ) g(x0 ) , что равносильно неравенству (7). Неравен- ство (6) вытекает в этом случае из того, что f(x0 ) 0 , а g(x0 ) 0 . Таким образом, утверждение (3) доказано. Аналогично доказывается утверждение (4). Теорема, безусловно, остаётся справедливой при замене повсюду знаков нестрогих неравенств и соот- ветственно знаками < и >. Пример. Решить неравенство 2 x 1 2x 2 x 4 . x 4, x 2, Решение. 2 x 1 x 4 2x 2 x 4 x 2. Ответ:x ( ; 2) (2; ) . Иррациональные уравнения и неравенства Иррациональным уравнением (неравенством) называется такое урав- нение (неравенство), в котором неизвестное содержится под знаками ра- циональных операций (сложения, вычитания, умножения, деления, возве- дения в целую степень) и извлечения корней. Напомним определения арифметических корней различных степеней. Длячислаa корнем чётной степени 2n a(n называется число b такое., что выполняются два условия: 1) b Дляa корень чётной степени неопределяется. 0 ,2)b2n a. Для любого действительного числа а корнем нечётной степени2 n называется число b такое, чтоb2n 1 a. Поэтому при решении иррациональных уравнений (неравенств) нуж- но учитывать следующее: Для корней чётной степени, входящих в уравнение и содержащих неизвестное под своими знаками: если подкоренное выражение отрица- тельно, то корень лишён смысла; если подкоренное выражение равно ну- лю, то и корень равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то и значение корня положительно. Для корней нечётной степени, содержащих неизвестное под свои- ми знаками: они определены при любом действительном значении подко- ренного выражения; при этом корень отрицателен, если подкоренное вы- ражение отрицательно; корень равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; корень положителен, если подкоренное выражение положи- тельно. Функции y и y являются возрастающими на своих областях определения. Приведём также очень полезное соотношение (его справедливость следует из определений модуля и корня чётной степени): Решение иррациональных уравнений При решении иррациональных уравнений проводятся преобра- зования уравнения, заключающиеся в возведении обеих его частей в одну и ту же степень. При этом очевидно, что ситуация с равносильностью уравнений следующая: Уравнения ны. f (х) и f2n равносиль- Уравнение f 2n (х) является следствием уравнения f(х) g(х) . Это значит, что при возведенииобеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень не может про- изойти потеря корней, но могут появиться посторонние корни. Решая иррациональное уравнение с корнями чётной сте- пени, можно придерживаться одного из двух способов: 1) не прослеживать равносильность переходов от одного уравне- ния к другому (конечно, при условии, что каждое уравнение является следствием предыдущего) и в конце сделать про- верку (при этом совершенно не обязательно предваритель- но находить область допустимых значений уравнения, а ес- ли это сделано, то следует учитывать: вхождение в ОДЗ не гарантирует того, что корень не является посторонним); 2) прослеживать равносильность при каждом преобразовании уравнения. И в том, и в другом случае будет полезным сле- дующее простое и очевидное утверждение. Если x0 удовлетворяет уравнению f 2n (х) g 2n (х) , то для того чтобы x0 являлся также корнем уравнения f (х) g(х) , уравнение его левая и правая части были бы числами одного знака. Таким образом f (х) g(х) f 2n (х) f(х) 0, g(х) 0 g 2n (х), f 2n (х) f(х) 0, g(х) 0. g 2n (х), Пример. Решить уравнение x2 1 x 2 . Решение. Будем следить за равносильностью при каждом переходе: Ответ: уравнение не имеет решений. Решение иррациональных неравенств При решении иррациональных неравенствнеобходимо учитывать определения корней чётной и нечётной степеней, а также свойства числовых неравенств (именно:если a 0, b 0, a b ,то a2n b2n ; если a 0, b 0, a b ,то a2n b2n ; если же левая и правая части числового неравенст- ва имеют разные знаки, то после возведения обеих частей в одну и ту же чётную степень может получиться верное не- равенство, а может получиться и неверное). Эти сообра- жения позволяют сформулировать теорему, которая при- менима к достаточно широкому классу иррациональных не- равенств: (8) (9) (10) (11) Здесь n N. Пример. Решить неравенство x2 6x 5 8 2x. |