Главная страница
Навигация по странице:

  • Уравнения и неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля

  • Иррациональные уравнения и неравенства

  • Решение иррациональных неравенств

  • 17. Лекция по элементарной математике. Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5


    Скачать 186.94 Kb.
    НазваниеЛекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5
    Дата30.03.2021
    Размер186.94 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файла17. Лекция по элементарной математике.docx
    ТипЛекции
    #189455
    страница15 из 25
    1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   25

    §14 Уравнения и неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля. Иррациональные уравнения и неравенства


    Уравнения и неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля

    Наиболее распространённым методом решения уравнений и неравенств, содержащих модули, является раскрытие знака модуля, исходя из его определения:

    x
    Область определения уравнения (неравенства) разбивают на непересекающиеся подмножества, на каждом из которых все функции, содержащиеся под знаком модуля, сохраняют знак. После этого решение исходной задачи сводится к реше- нию совокупности неравенств и уравнений (или только не- равенств).

    Пример. Решить уравнение 1 2x 3 x.

    Решение. Раскрывая знак модуля по его определению, по- лучим, что данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

    1 2x 0, 1 2x 0,

    1 2x
    x 1 ,

    2

    3 x

    x 1 ,

    2


    1 2x 3 x
    x 2 x 4 .

    x 2
    Ответ:x 2,

    x 4 3

    3


    x 4 .

    1 2 3

    Приведём два способа замены уравнения часто встречаю- щегося вида

    f (х)

    совокупностью систем.

    (2)

    Первый способ: Уравнение (2) равносильно совокупности систем:

    Второй способ: Уравнение (2) равносильно совокупности сис- тем:

    Утверждения обеих этих теорем о равносильности (а это именно теоремы) настолько очевидны, что доказательство мы опускаем.

    Если в уравнении (2) функция

    f (х)

    имеет более простой

    вид, чем g(х) , то целесообразно заменить уравнение (2) пер-

    вой совокупностью систем; если более простой вид имеет

    функция g(х) ,то уравнение (2) лучше заменить второй сово-

    купностью систем.

    В частности, уравнение вида

    f (х)

    при с < 0 решения не имеет;

    при с = 0 равносильно уравнению f x 0 ,


    при с > 0 равносильно совокупности уравнений
    При решении уравнения, в котором под знаком модуля на- ходится выражение, также содержащее модуль, следует сна- чала освободиться от внутренних модулей, а затем в полу- ченных уравнениях раскрыть оставшиеся модули. (Это же правило нужно применять и при решении неравенств, в кото- рых есть "модуль под модулем".)

    Уравнение вида

    f1(х)

    проще все-

    го решать методом интервалов, суть которого в следую- щем. Сначала находят все точки, в которых хотя бы одна из

    функций

    f1 (х), f2 (х),..., fn (х)

    меняет знак. Эти точки делят об-

    ласть определения данного уравнения на промежутки, в каж-

    дом из которых все функции

    f1 (х), f2 (х),..., fn (х)

    сохраняют

    знак. Затем, используя определение модуля, переходят от этого уравнения к совокупности систем, не содержащих знаков мо- дуля.

    Пример. Решить уравнение x 3 x 2 x 4 3.

    Решение. Применим метод интервалов для уравнений с модулями

    - 2 3 4 x

    Нанеся на числовую ось корни выражений, содержащихся

    под знаками модулей ( x

    3, x

    2 и x

    4 ), получим четыре

    интервала, в каждом из которых каждое из этих выражений сохраняет постоянный знак (какой именно, нетрудно опреде- лить, например, используя сведения о характере монотонно- сти функций, находящихся под модулями). Схематично ука- жем эти знаки на рисунке; они помогут нам освободиться от модулей. Исходное уравнение равносильно совокупности сис- тем:


    Ответ:x 4, x 2 .

    При решении неравенств, содержащих неизвестное под знаком модуля, так же, как и при решении уравнений, приме- няются определение модуля и "метод интервалов". Однако для решения достаточно широкого класса неравенств с моду- лем имеется специальный приём, который заключается в при- менении следующей простои теоремы:
    f(х) (3)
    f(х) (4)
    Доказательство легко получается "раскрытием" модуля.

    Пусть, например,

    x0 является решением неравенства

    f (х)

    g(х) ,

    т. е.

    f (x0 )

    (5)

    Тогда

    g(x0 ) 0 . Если

    f x0 0 , то fx

    , и неравенст-

    во (5) принимает вид

    f(x0 ) g(x0 ) . (6)

    Поскольку

    f (x0 )

    и g(x0 ) 0 , то

    f (x0 )

    g(x0 ) . (7)

    Неравенства (6) и (7) означают, что в рассматриваемом случае x0

    является решением системы


    Если же

    f(x0 ) 0 , то f

    и неравенство (5) прини-

    мает вид

    f (x0 )

    g(x0 ) , что равносильно неравенству (7). Неравен-

    ство (6) вытекает в этом случае из того, что

    f(x0 ) 0 , а

    g(x0 ) 0 .

    Таким образом, утверждение (3) доказано. Аналогично доказывается утверждение (4). Теорема, безусловно, остаётся справедливой при замене повсюду знаков нестрогих неравенств и соот- ветственно знаками < и >.

    Пример. Решить неравенство 2 x 1

    2x 2

    x 4 .

    x 4,
    x 2,

    Решение. 2 x 1 x 4

    2x 2 x 4

    x 2.

    Ответ:x ( ; 2) (2; ) .

    Иррациональные уравнения и неравенства

    Иррациональным уравнением (неравенством) называется такое урав- нение (неравенство), в котором неизвестное содержится под знаками ра- циональных операций (сложения, вычитания, умножения, деления, возве- дения в целую степень) и извлечения корней.

    Напомним определения арифметических корней различных степеней.

    Длячислаa корнем чётной степени 2n a(n

    называется

    число b такое., что выполняются два условия: 1) b

    Дляa корень чётной степени неопределяется.

    0 ,2)b2n a.

    Для любого действительного числа а корнем нечётной

    степени2 n называется число b такое, чтоb2n 1 a.

    Поэтому при решении иррациональных уравнений (неравенств) нуж- но учитывать следующее:

    1. Для корней чётной степени, входящих в уравнение и содержащих неизвестное под своими знаками: если подкоренное выражение отрица- тельно, то корень лишён смысла; если подкоренное выражение равно ну- лю, то и корень равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то и значение корня положительно.

    2. Для корней нечётной степени, содержащих неизвестное под свои- ми знаками: они определены при любом действительном значении подко-

    ренного выражения; при этом корень отрицателен, если подкоренное вы- ражение отрицательно; корень равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; корень положителен, если подкоренное выражение положи- тельно.

    1. Функции y и y являются возрастающими на своих

    областях определения.

    Приведём также очень полезное соотношение (его справедливость следует из определений модуля и корня чётной степени):

    Решение иррациональных уравнений

    При решении иррациональных уравнений проводятся преобра- зования уравнения, заключающиеся в возведении обеих его частей в одну и ту же степень. При этом очевидно, что ситуация с равносильностью уравнений следующая:

    Уравнения

    ны.

    f (х)

    и f2n

    равносиль-

    Уравнение

    f 2n (х)

    является следствием уравнения

    f(х) g(х) . Это значит, что при возведенииобеих частей

    уравнения в одну и ту же чётную степень не может про- изойти потеря корней, но могут появиться посторонние корни.

    Решая иррациональное уравнение с корнями чётной сте- пени, можно придерживаться одного из двух способов: 1) не прослеживать равносильность переходов от одного уравне- ния к другому (конечно, при условии, что каждое уравнение является следствием предыдущего) и в конце сделать про- верку (при этом совершенно не обязательно предваритель- но находить область допустимых значений уравнения, а ес- ли это сделано, то следует учитывать: вхождение в ОДЗ не гарантирует того, что корень не является посторонним); 2) прослеживать равносильность при каждом преобразовании уравнения. И в том, и в другом случае будет полезным сле- дующее простое и очевидное утверждение.

    Если

    x0 удовлетворяет уравнению

    f 2n (х)

    g 2n (х) , то для

    того чтобы

    x0 являлся также корнем уравнения

    f (х)

    g(х) ,

    необходимо и достаточно, чтобы при подстановке

    x0 в это

    уравнение его левая и правая части были бы числами одного знака.

    Таким образом


    f (х)
    g(х)

    f 2n (х)

    f(х) 0,

    g(х) 0

    g 2n (х),

    f 2n (х)

    f(х) 0,

    g(х) 0.

    g 2n (х),


    Пример. Решить уравнение

    x2 1

    x 2 .

    Решение. Будем следить за равносильностью при каждом переходе:

    Ответ: уравнение не имеет решений.

    Решение иррациональных неравенств

    При решении иррациональных неравенствнеобходимо учитывать определения корней чётной и нечётной степеней, а также свойства числовых неравенств (именно:если

    a 0, b

    0, a b ,то

    a2n

    b2n ; если a

    0, b

    0, a b ,то

    a2n

    b2n ; если же левая и правая части числового неравенст-

    ва имеют разные знаки, то после возведения обеих частей в одну и ту же чётную степень может получиться верное не- равенство, а может получиться и неверное). Эти сообра- жения позволяют сформулировать теорему, которая при- менима к достаточно широкому классу иррациональных не- равенств:
    (8)


    (9)
    (10)

    (11)

    Здесь n N.

    Пример. Решить неравенство
    x2 6x
    5 8 2x.



    1   ...   11   12   13   14   15   16   17   18   ...   25


    написать администратору сайта