17. Лекция по элементарной математике. Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5

• Название: Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5
• Дата: 30.03.2021
• Размер: 186.94 Kb.
• Имя файла: 17. Лекция по элементарной математике.docx
• Тип: Лекции; #189455
• страница: 23 из 25

§22 Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента

выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в резуль- тате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций

sin(arcsin x) x,	( 1	x	1);		(1)
cos(arccos x) x,	( 1	x	1);		(2)
tg(arctg x) x,	(	x		);	(3)
ctg(arcctg x) x	(	x		)..	(4)

Равенства (1) и (2) не являются справедливыми при всех действи-

тельных значениях х. Так, при

x выражение arcsin x , a следова-

тельно, и sin(arcsin x) , теряет смысл. Равенства (3) и (4) справедли- вы при всех действительных значениях х.

Каждое из равенств (1) и (2) является тождеством в том смысле, что оно справедливо при всех значениях x , содержащихся в облас- ти определения как правой, так и левой частей.

Ниже приведены всевозможные случаи выполнения тригоно- метрических операций над аркфункциями.

1. 
   Положив в формуле
   

cos

(выражающей косинус

через синус) arcsin x , получим:

cos(arcsin x) 1 sin² (arcsin x) 1

x² .

Перед радикалом взяли знак потому, что arcsin x принадл е-

жит ппромежутку

; , на котором косинус неотрицателен.

2 2

Итак, имеем: cos(arcsin x) 1

x² , где x

[ 1;1] . (5)

2. sin(arccos x) 1

x² , где x

[ 1;1].

(6)

Поскольку 0 arccos x , то sin(arccos x) 0 , поэтому пе- ред радикалом взят знак .

3. 
   Из тождества tg
   

1

ctg

следует:

tg(arcctg x)

1 1 _.

Итак,

tg(arcctg x)

, где x

x

ctg(arcctg x) x

0 . (7)

Аналогично

ctg(arctg x)

¹ , где

x

x (8)

3. 
   Применяя определение тангенса, формулы (1) и (5), получим:
   

tg(arcsin x)

sin(arcsin x) x _.

cos(arcsin x) _{1 x}²

Итак,

tg(arcsin x)

, где x

( 1;1) . (9)

Аналогично выводятся формулы

tg(arccos x)

, где x

x

[ 1;0) (0;1] , (10)

ctg(arcsin x)

ctg(arccos x)

, где x

x

, где x

[ 1;0) (0;1] , (11)
( 1;1) . (12)

3. 
   Выведем формулу для cos(arctg x). При этом используем тож-
   

дество

1 tg² x

1

cos² x
и формулу (3); кроме того, учтём, что по-

скольку arctg x

; , то cos(arctg x) 0 . Получим:

2 2

cos(arctg x)
Аналогично получается

. (13)

sin(arcc tg x) ¹

1 x²

(14)

Учитывая, что sin tg cos и применяя формулы (3) и (13), получим формулу

sin(arctg x) . (15)

Наконец, подобным же образом получится формула

cos(arcctg x)

Пример. Преобразовать выражения

(16)

sin(2arcsin x),

cos(2 arccos x),

tg(2 arctg x) .

Решение. Применив формулу sin 2 2sin cos , а затем фор- мулы (1) и (5), получим:

sin(2arcsin x) .

Подобным же образом получаем тождества

cos(2 arccos x) 2 cos² (arccos x) 1 2x² 1;

tg(2 arctg x) .

Пользуясь теоремами сложения для тригонометрических функций и применяя формулы (1) - (16), можно доказать следующие тождества:

sin(arcsin x cos(arccos x sin(arcsin x

arccos y) xy

arccos y) xy

1 x² 1

1 x² 1

;

y² ;

y² ;

cos(arcsin x

arccos y) 1

x² y x1

y² ;

tg(arctg x

arctg y)

x y_;

1 xy

x 1 y² y 1 x²

tg(arcsin x arcsin y) ^.

1 x² 1 y² xy

Теоремы сложения тригонометрии и формулы (1) – (16) служат основой и для вывода других подобных формул. Естественно, нуж- но иметь в виду, что каждая из этих формул рассматривается на пересечении областей определения её левой и правой частей.