17. Лекция по элементарной математике. Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5

• Название: Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5
• Дата: 30.03.2021
• Размер: 186.94 Kb.
• Имя файла: 17. Лекция по элементарной математике.docx
• Тип: Лекции; #189455
• страница: 24 из 25

§23 Соотношения между аркфункциями

Теорема. При всех допустимых значениях х имеют место тож- дества:

arcsin x

arctg x

; (1)
arcctg x . (2)

2

Доказательство. Перенося ^{arccos x} из левой части равенства (1) в правую, получим равносильное равенству (1) соотношение

arcsin x

arccos x. (1’)

2

Докажем, что оно верно при всех x [ 1;1] . Оценим промежутки

изменения левой и правой частей этого равенства.

(по определению арксинуса); 0
определению арккосинуса), откуда

(по
. Итак, и

левая, и правая части равенства (1') принадлежат одному и тому же

промежутку [

; ] . Так как этот промежуток является промежут-

2 2

ком монотонности синуса, то из равенства синусов от левой и правой частей можно будет сделать вывод о равенстве этих выражений. Таким образом, остаётся взять синус от обеих час- тей равенства (1') и убедиться, что они равны:

sin(arcsin x)

(1) доказано.

x, sin

2

arccos x

cos(arccos x)

x. Тождество

Аналогично доказывается тождество (2).

Ниже приведены формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых принадлежат одному и тому же проме- жутку длиной (одной и той же полуокружности тригонометриче- ской окружности).

1. 
   Выражение arcsin x через арктангенс.
   

Поставим задачу выразить arcsin x (x через арктангенс:

arcsin x

arctg( f (x)) . Найдём

f (х) .

Обе части предыдущего равенства при x принадлежат
промежутку , поэтому, беря от обеих частей одну и ту же
тригонометрическую функцию, монотонную на этом промежутке (синус или тангенс), получим равенство, равносильное предыдуще-

му (при x

1), из которого выразим

f (х)

через ^x . В нашем слу-

чае целесообразно взять тангенс от обеих частей. Получим:

^{f(х) tg(arcsin x) x} .

1 x²

Итак,

arcsin x

arctg

x _,

1 x<sup>2

x ( 1;1)</sup> . (3)

1. 
   Выражение arctg x через арксинус. Так как
   

arctg x

arcsin

sin(arctg x)
^x , x

1 x²

, то

( ; )

(4)

2. 
   Выражение arccos x через арккотангенс. Аналогично соотноше-
   

нию (3), из равенства

ctg arccos x

следует

arccos x

arcctg

x _,

1 x²
x ( 1;1) . (5)

Далее будем рассматривать пары аркфункций, области изменения которых являются несовпадающими промежутка- ми (например, арксинус и арккосинус, арккосинус и арктан- генс). Их можно выразить одна через другую на пересечении областей изменения. Если аргумент какой-либо аркфункций (то есть значение тригонометрической функции) положите- лен, то значения этой аркфункций заключены в промежутке

. Отсюда следует, что каждая из аркфункций от по-
ложительного аргумента может быть выражена через лю- бую другую аркфункцию. Так. например,
.
Значение какой-либо аркфункций от отрицательного ар-

гумента принадлежит либо промежутку

, либо

и не

может быть представлено в виде аркфункций, значение кото- рой принадлежит другому (из этих двух) промежутку. Так. например,

arccos ^{3 5} arcsin ¹ .

2 6 6 2

Ниже приведены формулы преобразований одних аркфунк- ций в другие, значения которых выбираются в различных

промежутках (полуокружностях тригонометрической окруж- ности).

4. 
   Выражение арксинуса через арккосинус.
   

Пусть y

arcsin x . Если 0

x 1, то 0 y

.Поскольку

2

. Если же

.

Таким образом, имеем окончательно:
arcsin x (6)
Это соотношение можно переписать следующим образом:

arcsin

4. 
   Выражение арккосинуса через арксинус. Аналогично ус-
   

танавливается, что при 0 arccos x ,

если же 1 x 0 , то

arccos x .

Таким образом,

arccos x

(7)

3. 
   Выражение арктангенса через арккосинус.
   

Из соотношения

cos(arctg x) ¹

1 x²

при

x получим:

arctg x

arccos ¹ .

1 x²

Если же x

0 , то ^{arctg x}

arctg(

^{х) arccos 1} .

1 x²

Итак, arctg x (8)

3. 
   Выражение арккосинуса через арктангенс.
   

Если 0 x

чим arccos x
1, то из соотношения
.

x
tg(arccos x)
полу-

x

При 1

x 0

1 x²

имеем:

1 x²

arccos x

arccos(

х) arctg arctg

x x

1 x²

Итак,

arccos x

arctg , если 0

x

x 1,

(9)

1 x²

arctg , если 1 x 0.

x

Аналогично, следуя методу, применённому в предыдущих че- тырёх пунктах, можно установить справедливость следующих ра- венств:

3. arctg x

1

arcctg , если x x

(10)

arcctg ¹

x

1

, если
_x2

x 0.

3. arcsin x

arcctg , если 0

x

x 1,
(11)

1 x²

arcctg , если 1 x 0.

x

3. 
   arcctg x (12)
   

3. 
   arcctg x (13)