17. Лекция по элементарной математике. Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5

• Название: Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел 5 Метод математической индукции 5
• Дата: 30.03.2021
• Размер: 186.94 Kb.
• Имя файла: 17. Лекция по элементарной математике.docx
• Тип: Лекции; #189455
• страница: 22 из 25

§21 Аркфункции; их определения, свойства и графики

Функция y (арксинус)

Для тригонометрической функции y sin x , рассматриваемой на

всей области определения ( , ) , переход к обратной функции невозможен, так как она не является монотонной ( прин и-

мает всякое значение y на бесконечном множестве значений

аргумента). Переход к обратной функции станет возмо ж-

ным, если рассмотреть y на каком-либо промежутке моно-

тонности, на котором sinx принимает все свои значения. Известно, что

функция y sin x монотонно возрастает от – 1 до 1 на каждом из

промежутков [

2

2 n;

2

2 n] (n Z)

и монотонно убывает от

1. 
   до – 1 на любом из промежутков [ 2 n; ³
   
2. 
   n] (n Z) . На
   

2 2

каждом из промежутков монотонности функция y имеет об-

ратную функцию. Остаётся зафиксировать какой -либо из этих отрезков. В качестве такого промежутка принято брать

[ ; ] . Функцию, обратную синусу, взятому на указанном про-

2 2

межутке монотонности, называют арксинусом и обозначают arcsin .

Определение 1. Арксинусом называется функция, обратная

функции y на промежутке .

По общему правилу построения обратной функции ра з-

решим равенство y

относительно x:

x arcsin y , затем

меняем местами обозначения аргумента х и функции у, п о-

лучаем: y (1)

График обратной функции симметричен графику основной функ- ции (для которой построена обратная) относительно прямой, содер- жащей биссектрисы первого и третьего координатных углов.

На рис. 13 изображены графики функций.

y

Свойства функции y

и обратной ей y

arcsin x

arcsin x .

1. 
   . Область определения ^D_y
   

чений синуса).

[ 1;1]

(совпадает с областью зна-

2. 
   Область значений E_y
   

(совпадает с выбранным

промежутком области определения исходной функции — синуса).

3. 
   Функция y
   

нечётная: arcsin(

x) arcsin x(так

как синус — нечётная функция).

4. 
   Функция y монотонно возрастает (так как моно-
   

тонно возрастающей на промежутке [ является исходная

функция y sin x).

y=arccos(x) _y π

π/2

1

-1 0
y=cos(x)

x
¹ π/2 π

- 1

5. 
   График пересекает оси Ox и Oy в точке O 0;0 .
   

6. 
   arcsin x при 0
   

x 1, arcsin x

0 , arcsinx < 0 при 1 x 0 .

Все свойства функции y arcsin x вытекают из свойств функции
y на промежутке [ ; ] .

2 2

Функция y arccos x(арккосинус)

^{Тригонометрическая функция} y cos x ^{, рассматриваемая на всей}

области определения ( , ) , не является монотонной (принимает

всякое значение y

[ 1;1]

на бесконечном множестве значений ар-

гумента), поэтому переход к обратной функции невозм о-

жен. Этот переход станет возможным, если рассмотреть y cos x на

каком-либо промежутке монотонности, на котором cosx принимает

^{все свои значения. Функция} y cos x ^{монотонно возрастает от —1}

до 1 на каждом из промежутков [ 2

n; 2

n], (n Z ) и монотон-

но убывает от 1 до – 1 на любом из промежутков

[2 n; 2 n], (n Z ) . На любом из промежутков монотонности

функция y cos xимеет обратную функцию. В качестве промежут-

ка, на котором рассматривается функция y cos x и строится обрат-

ная к ней функция, обычно берут [0; ]. Функцию, обратную

косинусу, взятому на указанном промежутке монотонности, называют арккосинусом и обозначают ^arccos .

Определение 2. Арккосинусом называется функция, обратная

функции y cos x на промежутке 0 .

Разрешив равенство y

cos x относительно x :

x arccos y,

затем меняя местами обозначения аргумента х и функции у, получаем:

y arccos x (2)

График функции y arccos x симметричен графику функции

y cos x(0

относительно прямой, содержащей биссектри-

сы первого и третьего координатных углов. Эти графики изо- бражены на рис. 14.

Свойства функции y arccos x

1. 
   . Область определения D_y = [-1:1] (совпадает с областьюзначе- ний косинуса).
   
2. 
   Область значений Е_у = [0;π] (совпадает с выбранным проме- жутком области определения исходной функции — косинуса).
   
3. 
   Функция y arccos x ни чётная, ни нечётная. Для неё выпол-
   

няется тождество arccos x arccos x. (3)

4. 
   Функция y arccos x монотонно убывающая.
   
5. 
   График пересекает ось (Ох) в точке (1;0), а ось (Оу) – в точке
   

.

6. 
   arccos x на всём отрезке 1
   

x 1.

Свойства функции y arccos x выводятся из свойств функции

y cos x ^{, взятой на промежутке} [0; ]^.

Функция y (арктангенс)

Рассмотрим функцию y tg x . Областью определения этой

функции является множество действительных чисел, за ис-

ключением , область значений — множество

^{действительных чисел} R ^{. Функция} y tg x ^{монотонно возрастает от}

до на любом интервале вида

n, n

2 2

, n Z.

Для того чтобы получить функцию, обратную тангенсу,

рассматривают функцию y на промежутке монотонности
, на котором она монотонно возрастает, принимая
все значения от до . Функцию, обратную тангенсу, взятому на указанном промежутке монотонности, называют арктан- генсом и обозначают arctg .

Определение 3. Арктангенсом называется функция, обратная

функции y

на промежутке

2 2

Разрешив равенство y относительно x:

затем меняя взаимно обозначения х и у получаем:

y arctg x (4)

График функции y arctg x симметричен графику функции

y (где

2

x ) относительно прямой, содержащей бис-

2

сектрисы первого и третьего координатных углов. Эти графи- ки изображены на рис. 15.

Свойства функции у = arctg x

1. 
   . Область определения ^D_y
   

тангенса).

2. 
   Область значений E_y
   

(совпадает с областью значений

(совпадает с выбранным

промежутком области определения исходной функции — тангенса).

3. 
   Функция y нечётная (так как нечётной является ис-
   

ходная функция – тангенс): arctg( x) arctg x.

4. 
   Функция y монотонно возрастающая.
   
5. 
   График пересекает оси (Ох) и (Оу) в точке O(0; 0) .
   

6. arctg

при

и arctg

при

x 0 .

7. 
   П р я м ы е y
   

графика функции y

2

arctg x.

y горизонтальные асимптоты

2

Свойства функции y arctg x вытекают из свойств функции
y tg x, взятой на промежутке ; .

2 2

Функция y

Функция y

arcctg x (арккотангенс)

ctg x , рассматриваемая на всей области определения

( , ), x n, n Z не является монотонной и принимает всякое значение y R на бесконечном множестве значений аргумента,

поэтому переход к обратной функции невозможен. Построить об-

ратную функцию станет возможным, если рассмотреть y на

каком-либо промежутке монотонности на котором ctg xпринимает

все свои значения. Функция y ctg x монотонно убывает от до

на каждом из промежутков (2

n; 2

n)(n Z ) . На любом из

промежутков монотонности функция y

функцию.

ctg x имеет обратную

В качестве промежутка, на котором рассматривается функция

y и строится обратная к ней функция, обычно берут (0; ) ¹.

Функцию, обратную котангенсу, взятому на указанном промежутке монотонности, называют арккотангенсом и обозначают arcctg .

Определение 4. Арккотангенсом называется функция, обратная

функции y на промежутке 0 .

Разрешая равенство y ctg x ; относительно x:

затем меняя местами обозначения аргумента х и функции у,

получаем:

y arcctg x

(5)

График функции y arcctg x симметричен графику функции

y ctg x

(0 x

) относительно прямой, содержащей бис-

сектрисы первого и третьего координатных углов. Эти гра- фики изображены на рис. 16.
¹ В некоторых старых учебниках и даже в новейших компьютерных математических системах, таких как Mathematica, рекомендуется для по- строения функции, обратной котангенсу, брать его на промежутке ( / 2;0) (o; / 2] . Это мотивируется тем, что на данном промежутке котангенс принимает любое заданное значение; кроме того, промежуток сим- метричен относительно нуля, а поскольку котангенс – нечётная функция, то нечётной будет и обратная к ней. Однако такой выбор был бы неудобен, так как в точке 0 котангенс неопределён, поэтому обратная функция имела бы разрыв. К тому же существует традиция российской математической школы, согласно которой при построении обратной функции котангенс рассматрива- ется на промежутке (0; ) .

Свойства функции y arcctg x

1. 
   . Область определения D_y
   

котангенса).

2. 
   Область значений E_y
   

R (совпадает с областью значений
(совпадает с выбранным проме-

жутком области определения исходной функции — котангенса).

3. 
   Функция y arcctg x ни чётная, ни нечётная. Для неё выпол-
   

няется тождество arcctg(

х) arcctg x

(6)

4. 
   Функция y arcctg x монотонно убывающая.
   

4. 
   График пересекает ось (Оу) в точке
   

ресекает.

, а ось (Ох) не пе-

4. 
   arcctg x 0 на всём интервале .
   

4. 
   Прямые y
   

тами графика.

0 и y являются горизонтальными асимпто-

Свойства функции y arcctg x выводятся из свойств функции

y ctg x , взятой на промежутке (0; ) .