Лекции по физике. Лекции по физике. Греческий алфавит пропис ные Строч ные Название Пропис ные Строч ные Название Пропис ные
 Скачать 0.5 Mb.
|
|
1–26 А.Н.Огурцов. Лекции по физике. эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются и неодновременными. Пусть в некоторой точке x в системе O происходит событие длительностью 1 2 t t − = τ , то в системе O ′ длительность этого же события τ β τ β β υ β υ τ > − = − − = − − − − − = ′ − ′ = ′ 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 / 1 / t t c x t c x t t t Т.о. длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси x ′ и покоящийся относительно системы O ′ . Его длина в системе O ′ будет 1 2 0 x x l ′ − ′ = ′ . Чтобы определить длину 1 2 x x l − = этого стержня в системе O , относительно которой он движется со скоростью v , измерим координаты его концов 1 x и 2 x в один и тот де момент времени t l l x x t x t x x x l > − = − − = − − − − − = ′ − ′ = ′ 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 0 1 1 1 1 β β β υ β υ Размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения, причем лоренцово сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Поперечные размеры тел не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Если материальная точка движется в системе O ′ вдоль оси x ′ со скоростью υ ′ , а сама система O ′ движется со скоростью u относительно системы O , то релятивистский закон сложения скоростей: В качестве величины, инвариантной по отношению к преобразованию координат в четырехмерном пространстве Эйнштейна (не зависящей от выбора системы отсчета) вводится интервал между событиями: 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 12 ) ( ) ( ) ( ) ( z z y y x x t t c s − − − − − − − = , где 12 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ) ( ) ( ) ( l z z y y x x = − − − − − — расстояние между точками обычного трехмерного пространства. Обозначив 1 2 12 t t t − = , получим 2 12 2 12 2 12 l t c s − = 40. Основные соотношения релятивистской динамики Релятивистская масса m движущихся релятивистских частиц (тел) зависит от их скорости. 0 m — масса покоя частицы, т.е. масса, измеренная в той инерциальной системе отсчета, в которой частица находится в покое. Релятивистский импульс pr . Релятивистский импульс системы сохраняется. Закон сохранения релятивистского импульса — следствие однородности пространства. 2 1 c u u υ υ υ ′ + + ′ = c υ β = 2 0 1 β − = m m 2 0 1 β υ − = r r m p 1–7 Механика Угловая скорость: ϕ ϕ ω &r r r = = dt d . Угловое ускорение: ϕ ϕ ω ω β &&r r &r r r = = = = 2 2 dt d dt d Вектор ω r направлен вдоль оси вращения так же как и вектор ϕ r d , т.е. по правилу правого винта. Вектор β r направлен вдоль оси вращения в сторону вектора приращения угловой скорости (при ускоренном вращении вектор β r сонаправлен вектору ω r , при замедленном — противонаправлен ему). Единицы угловой скорости и углового ускорения — рад/с и рад/с 2 Линейная скорость точки связана с угловой скоростью и радиусом траектории соотношением: R t R t R t s t t t ω ϕ ϕ υ = ∆ ∆ ⋅ = ∆ ∆ ⋅ = ∆ ∆ = → ∆ → ∆ → ∆ 0 0 0 lim lim lim В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение: ] , [ R r r r ω υ = По определению векторного произведения (см. стр.1-29) его модуль равен α ω υ sin R = r , где α — угол между векторами ω r и R r , а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от ω r к R r При равномерном вращении: const dt d = = ϕ ω , следовательно t ⋅ = ω ϕ Равномерное вращение можно характеризовать периодом вращения T — временем, за которое точка совершает один полный оборот, T ⋅ = ω π 2 Частота вращения — число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени: Единица частоты вращения — герц (Гц). При равноускоренном вращательном движении const = β : t ⋅ + = β ω ω 0 ; 2 2 0 t t ⋅ + ⋅ = β ω ϕ ; R R R R a n 2 2 2 2 ω ω υ = = = ; β ω ω υ τ R dt d R dt R d dt d a = = = = ) ( ; ∫ ∫ ∫ = = = = 2 1 2 1 2 1 t t t t t t R dt dt d R Rdt dt s ϕ ϕ ω υ Динамика материальной точки 6. Первый закон Ньютона. Материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции. Первый закон Ньютона ω π 2 = T π ω 2 1 = = T n n ⋅ = π ω 2 ϕ R s = ω υ R = β τ R a = 2 ω R a n = 1–8 А.Н.Огурцов. Лекции по физике. постулирует существование инерциальных систем отсчета— таких, относительно которых, материальная точка, не подверженная воздействию других тел, движется равномерно и прямолинейно. Чтобы описывать воздействия, упоминаемые в первом законе Ньютона, вводят понятие силы. Для описания инерционных свойств тел вводится понятие массы. 7. Сила. Сила — векторная величина, являющаяся мерой механического действия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет форму и размеры. Механическое взаимодействие может осуществляться как между непосредственно контактирующими телами (например, при ударе, трении, давлении друг на друга и т. п.), так и между удаленными телами. Особая форма материи, связывающая частицы вещества в единые системы и передающая с конечной скоростью действие одних частиц на другие, называется физическим полем или просто полем. Взаимодействие между удаленными телами осуществляется посредством связанных с ними гравитационных и электромагнитных полей. Пользуясь понятием силы, в механике обычно говорят о движении и деформации рассматриваемого тела под действием приложенных к нему сил. При этом, конечно, каждой силе всегда соответствует какое-то определенное тело или поле, действующее с этой силой. Сила F r полностью задана, если указаны ее модуль F , направление в пространстве и точка приложения. Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Центральными называются силы, которые всюду направлены вдоль прямых, проходящих через одну и ту же неподвижную точку — центр сил, и зависят только от расстояния до центра сил. Поле, действующее на материальную точку с силой F r , называется стационарным полем, если оно не изменяется с течением времени. Одновременное действие на материальную точку нескольких сил эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующей, или результирующей, силой и равной их геометрической сумме. Единица силы — ньютон (Н): 1Н — сила, которая массе в 1кг сообщает ускорение 1м/с 2 в направлении действия силы. 8. Механические системы. Механической системой называется совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое. Тела, не входящие в состав исследуемой механической системы, называются внешними телами. Силы, действующие на систему со стороны внешних тел, называются внешними силами. Внутренними силами называются силы взаимодействия между частями рассматриваемой системы. Механическая система называется замкнутой, или изолированной, системой, если она не взаимодействует с внешними телами (на нее не действуют внешние силы). Тело называется свободным, если на его положение и движение в пространстве не наложено никаких ограничений, и — несвободным — если на его возможные положения и движения наложены те или иные ограничения, 1–25 Механика (принцип относительности Галилея): законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Рассмотрим две системы отсчета: инерциальную систему K (с координатами z y x , , ), которую будем считать неподвижной, и систему K ′ (с координатами ' ,' ,' z y x ), движущуюся относительно K равномерно и прямолинейно с постоянной скоростью const u = r В начальный момент времени начала координат O и O ′ этих систем совпадают. В произвольный момент времени t : t u r r r = 0 Для произвольной точки A : t u r r r r r r r r r + ′ = + ′ = 0 . Или в проекциях на оси координат: t u z z t u y y t u x x z y x + ′ = + ′ = + ′ = , , Эти соотношения называются преобразованиями координат Галилея. Продифференцировав их по времени получим правило сложения скоростей в классической механике: В классической механике предполагается, что ход времени не зависит от относительного движения систем отсчета, поэтому к преобразованиям Галилея можно добавить еще одно соотношение: t t ′ = Ускорение в системах отсчета, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, одинаково: a dt d dt u d dt d a ′ = ′ = − = = r r r r r r υ υ υ ) ( . Это и служит доказательством принципа относительности Галилея. 38. Постулаты Эйнштейна. 1) Принцип относительности: никакие опыты, проведенные внутри данной инерциальной системы отсчета, не дают возможность обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной системы отсчета к другой. 2) Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. 39. Преобразования Лоренца. Пусть система O ′ движется относительно системы O со скоростью const = υ , причем c ≈ υ ( − c скорость света (скорость распространения электромагнитных взаимодействий) в вакууме). Обозначим отношение скоростей υ и c через c υ β = . Пусть вектор скорости υ r направлен вдоль оси OX Тогда релятивистские преобразования координат и времени будут иметь вид: Эти соотношения — преобразования Лоренца — при c << υ переходят в преобразования Галилея. Они устанавливают взаимосвязь пространства и времени — в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени — пространственные координаты. Следствием этого является тот факт, что если два события в системе O происходят одновременно но в разных точках ( 2 1 2 1 , x x t t ≠ = ), то в системе O ′ ur r r + ′ = υ υ 2 2 2 1 , , , 1 β υ β υ − ′ + ′ = ′ = ′ = − ′ + ′ = c x t t z z y y t x x 1–24 А.Н.Огурцов. Лекции по физике. Следовательно, силы тяготения консервативны, а поле тяготения является потенциальным. Работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии системы с обратным знаком. ( ) 1 2 W W A − − = . Поэтому, потенциальная энергия поля сил тяготения: R mM G W − = Для любого потенциального поля можно определить скалярную энергетическую характеристику поля — потенциал. Потенциалом поля тяготения в данной точке поля называется скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии материальной точки, помещенной в рассматриваемую точку поля, к массе материальной точки: Рассмотрим связь между потенциалом поля тяготения и его напряженностью: dr d g mgdr Fdr dA md dA ϕ ϕ − = ⇒ = = − = , или ϕ ϕ −∇ = − = grad gr В общем случае для любого потенциального поля между напряжен- ностью и потенциалом существует связь: ϕ ϕ −∇ = − = grad E r Эта формула является следствием соотношения Π −∇ = Π − = grad F r Знак минус указывает на то, что вектор напряженности направлен в сторону убывания потенциала. 36. Космические скорости. Первой космической скоростью называют такую минимальную скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли по круговой орбите, т.е. превратиться в искусственный спутник Земли. R m ma R GmM n 2 1 2 υ = = (2 й закон Ньютона); 2 R GM m P g = = ( − R радиус Земли) км/с 9 , 7 1 = = gR υ (у поверхности Земли ( 0 → h )) Второй космической скоростью называется наименьшая скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло преодолеть притяжение Земли и превратиться в спутник Солнца. В этом случае кинетическая энергия тела должна быть равна работе, совершаемой против сил тяготения: ∫ ∞ = = ⇒ = = R gR R GmM dr r mM G m км/с 11,2 2 2 2 2 2 2 υ υ Третьей космической скоростью называется скорость, которую необходимо сообщить телу на Земле, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы, преодолев притяжение Солнца: км/с 7 , 16 3 = υ Элементы специальной теории относительности 37. Преобразования Галилея В классической механике, при скоростях тел значительно меньших, чем скорость света ) ( c << υ , справедлив механический принцип относительности R M G m W − = = ϕ |