Лекции по физике. Лекции по физике. Греческий алфавит пропис ные Строч ные Название Пропис ные Строч ные Название Пропис ные
 Скачать 0.5 Mb.
|
|
1–29 Приложение В прямоугольной декартовой системе координат каждый вектор ar можно однозначно представить в виде k a j a i a a z y x r r r r + + = , где k j i r r r , , — единичные векторы (орты) по осям координат z y x , , . Числа z y x a a a , , называются прямоугольными декартовыми координатами вектора ar 7. Скалярное произведение векторов. Скалярное произведение векторов ar и b r есть число y z y y x x b a b a b a ab b a b a + + = = = ϕ cos ) , ( r v r r где − ϕ угол между векторами ar и b r 8. Векторное произведение векторов. Под векторным произведением векторов ar и b r понимают вектор cr , имеющий длину ϕ sin ab c = (площадь параллелограмма, построенного на ar и b r как на сторонах) и направленный перпендикулярно к ar и b r , причем так, что векторы ar , b r и cr образуют правую тройку векторов. Обозначение: b a b a c r r r r r × ≡ = ] , [ 9. Скалярное поле. Если каждой точке M пространства ставится в соответствие скалярная величина U , то возникает скалярное поле ) (M U (например, поле температуры неравномерно нагретого тела, поле плотности в неоднородной среде, поле электростатического потенциала). Если M имеет декартовы координаты ) , , ( z y x , то пишут ) , , ( z y x U U = или ) (r U U r = с векторным аргументом (радиусом вектором) k z j y i x OM r r r r r + + = = 10. Векторное поле. Если каждой точке M ставится в соответствие вектор V r , то говорят о векторном поле ) (M V r (например, поле скоростей движущейся жидкости, гравитационное поле Солнца, поле электрической напряженности, поле магнитной напряженности). В декартовых координатах: k z y x V j z y x V i z y x V r V z y x V V z y x r r r r r r r ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) ( ) , , ( + + = = = где − rr радиус-вектор. Компоненты z y x V V V , , образуют три скалярных поля и однозначно определяют ) (r V r r — векторную функцию векторного аргумента. 11. Производная по направлению. Пусть скалярное поле ) (r U r имеет в некоторой точке 0 M значение 0 U , и пусть при перемещении ds по направлению вектора sr мы приходим из точки 0 M в точку M , где скалярное поле имеет значение s U . Приращение U при этом перемещении равно 0 U U dU s − = . Предел отношения этого приращения ar ϕ br ar b r cr ϕ 1–28 А.Н.Огурцов. Лекции по физике. 2. Производные некоторых элементарных функций. ( ) x x e e = ′ ( ) a a a x x ln = ′ ( ) x x cos sin = ′ ( ) x x 1 ln = ′ ( ) 1 − = ′ n n nx x ( ) x x sin cos − = ′ 3. Частная производная. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки ) , , ( 0 0 1 0 n x x P K . Функция f называется дифференцируемой по k x , если существует предел разностного отношения 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 ) , , , , , , ( ) , , , , , , ( lim 0 k k n k k k n k k k x x x x x x x x x f x x x x x f k k − − + − + − → K K K K этот предел называется частной производной функции f (по k x ) в точке 0 P и обозначается: k n x x x f ∂ ∂ ) , , ( 0 0 1 K или ) , , ( 0 0 1 n x x x f k K ′ 4. Полный дифференциал функции f в точке 0 P : ∑ = − ⋅ ′ = n k k k x x x P f P df k 1 0 0 ) ( ) ( ) ( 5. Определенный интеграл. Пусть функция ) (x f определена и ограничена на отрезке ] , [ b a . Разобьем этот отрезок на "элементарные" отрезки введением n точек i x следующим образом: b x x x x x a n n = < < < < < = −1 2 1 0 K Обозначим через dx длину элементарного отрезка 1 − − = i i x x dx . В каждом элементарном отрезке выберем произвольное число i ξ ) ( 1 i i i x x ≤ ≤ − ξ Число ∑ = − − = n i i i i x x f 1 1 ) )( ( ξ σ называется интегральной суммой. Функция ) (x f называется интегрируемой на отрезке ] , [ b a , если существует число I со следующим свойством: для любого 0 > ε найдется такое 0 ) ( > ε δ , что при любом разбиении на отрезки dx , для которого δ < dx , выполняется неравенство ε σ < − I независимо от выбора i ξ Число I называется определенным интегралом функции ) (x f на отрезке ] , [ b a и обозначается: ∫ = b a dx x f I ) ( . Здесь x называется переменной интегрирования, a и b — соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. 6. Вектор. Геометрический вектор ar — это направленный отрезок в простран- стве. Длина вектора ar называется его модулем и обозначается: a a r = 1–5 Механика 3. Скорость Скорость — это векторная величина, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени. Вектором средней скорости за интервал времени t ∆ называется отношение приращения rr ∆ радиуса-вектора точки к промежутку времени t ∆ Направление вектора средней скорости совпадает с направлением rr ∆ Единица скорости — м/с. Мгновенная скорость — векторная величина, равная первой производной по времени от радиуса-вектора rr рассматриваемой точки: r dt r d t r t &r r r r = = ∆ ∆ = → ∆ 0 lim υ Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения. Модуль мгновенной скорости (скалярная величина) равен первой производной пути по времени. dt ds t s t r t t = ∆ ∆ = ∆ ∆ = = → ∆ → ∆ 0 0 lim lim r r υ υ (Отсюда: dt ds υ = .) При неравномерном движении модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. Поэтому можно ввести скалярную величину υ — среднюю скорость неравномерного движения (другое название — средняя путевая скорость). Длина пути s , пройденного точкой за промежуток времени от 1 t до 2 t , задается интегралом: При прямолинейном движении точки направление вектора скорости сохраняется неизменным. Движение точки называется равномерным, если модуль ее скорости не изменяется с течением времени ) ( const = υ , для него t s ∆ ⋅ = υ Если модуль скорости увеличивается с течением времени, то движение называется ускоренным, если же он убывает с течением времени, то движение называется замедленным. 4. Ускорение. Ускорение — это векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по модулю и направлению. Среднее ускорение в интервале времени t ∆ — векторная величина, равная отношению изменения скорости υ r ∆ к интервалу времени t ∆ : Мгновенное ускорение материальной точки — векторная величина, равная первой производной по времени скорости рассматриваемой точки (второй производной по времени от радиуса-вектора этой же точки): r dt r d dt d t a t &&r r &r r r r = = = = ∆ ∆ = → ∆ 2 2 0 lim υ υ υ Единица ускорения — м/с 2 В общем случае плоского криволинейного движения вектор ускорения удобно представить в виде суммы двух проекций: τ a a a n r r r + = t r ∆ ∆ = r r υ t s ∆ ∆ = υ ∫ = 2 1 d ) ( t t t t s υ t a ∆ ∆ = υ r r 1–6 А.Н.Огурцов. Лекции по физике. Тангенциальное ускоре- ние τ ar характеризует быстро- ту изменения скорости по мо- дулю (рис.(А)), его величина: dt d a υ τ = Нормальное (центро- стремительное)ускорение n ar направлено по нормали к траектории к центру ее кривизны O и характеризует быстроту изменения направления вектора скорости точки. Величина нормального ускорения n a связана со скоростью υ движения по кругу и величиной радиуса R (рис.(В)). Пусть υ υ υ = = 2 1 . Тогда для 0 → α : α υ α υ υ ⋅ ≈ = ∆ sin n , R t R t s ) ( ∆ ⋅ ≈ ⇒ ⋅ ≈ ∆ ⋅ = ∆ υ α α υ , отсюда: R dt d a R t t R n n n n 2 2 2 υ υ υ υ υ υ = = ⇒ = ∆ ∆ ⇒ ∆ ≈ ∆ Величина полного ускорения (рис.(С)): 2 2 τ a a a n + = Виды движения: 1) 0 , 0 = = n a a r r τ — прямолинейное равномерное движение: 0 = ar 2) 0 , = = = n a const a a r r τ — прямолинейное равнопеременное (равноуско- ренное) движение. Если 0 0 = t , то t t t t a a 0 0 0 υ υ υ υ υ τ − = − − = ∆ ∆ = = ; t a ⋅ + = 0 υ υ ; ∫ + = + = t at t dt at s 0 2 0 0 2 ) ( υ υ 3) R const a a n 2 , 0 υ τ = = = — равномерное дви- жение по окружности. 4) 0 , 0 ≠ ≠ n a a r r τ — криволинейное равноперемен- ное движение. 5. Кинематика вращательного движения. При описании вращательного движения удобно пользоваться полярными координатами R и ϕ , где R — радиус — расстояние от полюса (центра вращения) до материальной точки, а ϕ — полярный угол (угол поворота). Элементарные повороты (обозначаются ϕ r ∆ или ϕ r d ) можно рассматривать как псевдовекторы. Угловое перемещение ϕ r d — векторная величина, модуль которой равен углу поворота, а направление совпадает с направлением поступа- тельного движения правого винта. 1–27 Механика Основной закон релятивистской динамики: Законы классической динамики получаются из законов релятивистской динамики в предельном случае c << υ (или ∞ → c ). Т.о. классическая механика – это механика макротел, движущихся с малыми скоростями (по сравнению со скоростью света в вакууме). Полная энергия тела массы m : Соотношение 2 mc E = носит универсальный характер, оно применимо ко всем формам энергии, т.е. можно утверждать, что с энергией, какой бы формы она не была, связана масса 2 c E m = и, наоборот, со всякой массой связана энергия. Покоящееся тело обладает энергией: 2 0 0 c m E = , называемой энергией покоя. Полная энергия замкнутой системы сохраняется. Закон сохранения энергии — следствие однородности времени. Кинетическая энергия: − − = − = 1 1 1 2 2 0 β mc E E K Релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом тела: 2 2 4 2 0 4 2 2 c p c m c m E + = = Величина 2 0 2 2 2 E c p E = − является инвариантом системы. В случае, когда масса покоя частицы равна нулю, то 0 2 2 2 = − p c E Следовательно, такая частица может обладать отличными от нуля энергией и импульсом только в том случае, когда она движется со скоростью света. К таким частицам относятся фотоны. Основной вывод теории относительности — пространство и время органически взаимосвязаны и образуют единую форму существования материи — пространство-время. П П Р Р И И Л Л О О Ж Ж Е Е Н Н И И Е Е Основные понятия математического аппарата физики 1. Понятие производной функции. Функция f называется дифференцируемой в точке 0 x , если существует предел разностного отношения функции f в точке 0 x 0 0 ) ( ) ( lim ) ( lim 0 0 x x x f x f x x x x x − − = → → ϕ Этот предел называется производной функции f в точке 0 x и обозначается: 0 , ) ( ), ( ), ( ), ( 0 0 0 x x dx df dx x df x dx df x dx df x f = ′ − = = 2 0 1 β υ r r r m dt d dt p d F 2 2 0 2 1 β − = = c m mc E |