алгебра. Лекция № 1 от 11.04. Лекция 1 Матрицы и операции над ними Матрицей называется прямоугольная таблица чисел

Название	Лекция 1 Матрицы и операции над ними Матрицей называется прямоугольная таблица чисел
Анкор	алгебра
Дата	13.04.2022
Размер	114.26 Kb.
Формат файла
Имя файла	Лекция № 1 от 11.04.docx
Тип	Лекция #469771

11.04.2022 г.

Лекция № 1

Матрицы и операции над ними
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Числа, образующие матрицу называются элементами.

Матрицу обозначают заглавными латинскими буквами А, В, С,…, а их элементы – соответствующими малыми буквами с индексом, указывающим местоположение этого элемента в матрице.

Пусть матрица А состоит из строк и столбцов, тогда – размер матрицы, – элементы матрицы, i – номер строки (i = 1, 2,…., m), j – номер столбца (j = 1, 2,…, n).

В общем виде матрица записывается в виде:

Количество строк и столбцов матрицы называется ее размерностью и обозначается dimA = или в виде нижнего индекса:

Элементы матрицы, у которых номер строки совпадает с номером столбца, образуют главную диагональ матрицы и называются диагональными элементами.

Если количество строк в матрице равно количеству ее столбцов, такая матрица называется квадратной. Для квадратной матрицы слово размерность обычно заменяют словом порядок: матрица n-го порядка имеет размерность .

Матрица, у которой все элементы не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Квадратная матрица, у которой на главной диагонали находятся единицы, а все остальные элементы – нули, называется единичной.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Две матрицы называются равными тогда и только тогда, когда совпадают их размерности и каждый элемент первой матрицы равен соответствующему элементу второй матрицы.

Над матрицами, как и над любыми объектами математики можно производить некоторые операции.

1. Сложение матриц. Если размерности матриц А и В совпадают, то матрица С = А + В будет их суммой тогда и только тогда, когда имеет такую же размерность, как А и В, а каждый элемент матрицы С равен сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Пример 1:

_{2. Умножение матрицы на число.}_{Матрица С будет равна матрице А, умноженной на число λ тогда и только тогда, когда имеет такую же размерность, как А, а каждый элемент матрицы С равен произведению соответствующего элемента матрицы А и числа λ.}

Пример 2: Дана матрица А. Найти С = 3·А.

Решение:

_{Свойства}_{сложения матриц и умножения их на число:}

_1._{А + В = В + А;}

_2._{( А + В) + С = А + (В + С);}

_3._{α·(А + В) = α·А + α·В;}

_4._{(α + β)·А = α·А + β·А;}

_5._{α·(β·А) = (α·β)·А.}

3. Транспонирование матриц. При транспонировании матрицы ее строки меняются местами со столбцами (первая строка становится первым столбцом и т.д.).

Операция над матрицей, при которой ее строки становятся столбцами с теми же номерами, а столбцы – строками, называется транспонированием и обозначается А^Т.

Пример 3:Найти матрицу, транспонированной к матрице А.

Решение:

Операция транспонирования обладает следующими свойствами:

(А+В)^Т = А^Т + В^Т;

(αА)^Т = αА^Т;

(А^Т)^Т = А.

(А·В)^Т = В^Т·А^Т

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований и обозначается А

В.

Элементарные преобразования матриц:

1) перестановка местами двух строк матрицы (столбцов);

2) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;

3) прибавление ко всем элементам одно строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

4) вычеркивание нулевой строки (столбца) матрицы;

5) транспонирование матрицы.

С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому (треугольному) виду:

4. Произведение матриц. Две матрицы А и В называются согласованными, если число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй.

Матрица С называется произведением согласованных матриц А и В, если она содержит столько же строк, сколько и матрица А и столько же столбцов, сколько матрица В, а элемент с_ij произведения равен сумме попарных произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В:

Пример 4:Даны матрицы А и В. Найти С = А·В и D = В·А.

Решение: Найдем матрицу С.

_{Найдем произведение матриц В и А:}

_{Этот пример доказывает, то А·В ≠ В·А.}

_{Матрицы, для которых А·В = В·А, называются}_{перестановочными}_{. Очевидно, что для перестановочности необходимо (но не достаточно), чтобы А и В были квадратными матрицами одного порядка.}

_{Свойства}_{умножения матриц:}

_1._{(А·В)·С = А·(В·С);}

_2._{А·(α·В) = (α·А)·В = α·(А·В);}

_3._{(А + В)·С = А·С + В·С;}

_4._{С·(А + В) = С·А + С·В;}

_5._{А·Е = Е·А = А, где Е – единичная матрица.}
Степени матриц. Многочлены от матриц.

Целая неотрицательная степень матрицы определяется равенством:

Аn = А·А·А·….·А = Аn-1·А = А·Аn-1.

Пример 5: Найти значение многочлена f(A), если f(х) = х² – 5х + 3 и

Решение: f(A) = A² – 5A + 3E

_{Определитель и его свойства}
_{Для каждой квадратной матрицы А по определенному правилу можно вычислить число, называемое}_{определителем}_{этой матрицы.}

_{Обозначается определитель}_n_{-ного порядка следующим образом:}

_{Определение определителя требует знание дополнительных понятий.}

_{Минором}_М_ij_{элемента а}_ij_{называется определитель, который получается из исходного определителя Δ(А) после вычеркивания}_i_{-той строки и}_j_{-того столбца, на пересечении которых стоит элемент а}_ij_.

_{Алгебраическим дополнением}_А_ij_{элемента а}_ij_{называется произведение соответствующего минора М}_ij_{на коэффициент (-1)}_i₊_j_:

_А_ij_{= (-1)}_i₊_j_·М_ij_.

_{Определитель}_n_-ного_{порядка матрицы А равен сумме произведений элементов какой-либо строки или какого-либо столбца на алгебраические дополнения к этим элементам.}

_{Определитель 1-го порядка:}

_{Определитель 2-го порядка при разложении по элементам первой строки:}

_{Определитель 3-го порядка при разложении по элементам первой строки:}

_{Пример 6:}_{Вычислить определители}

_{Решение}_:

Мы вычислили определитель третьего порядка, раскладывая по элементам первой строки, но можно и по любому столбцу, например, по второму.

Одним из часто используемых методов вычисления определителя третьего порядка является вычисление по правилу Саррюса (или правила треугольников):

Запомнить эту формулу достаточно легко, если применить правило треугольников по схеме, по которой три произведения элементов в первом определителе берутся со знаком «+», а три других произведения элементов во втором определителе берутся со знаком «-».

Пример 6 (б):

Свойства определителей

_{Строку или столбец определителя называют его рядом.}

_1._{Определитель не изменится, если все строки определителя заменить столбцами, и наоборот (транспонировать определитель).}

_2._{Если в определителе поменять местами двапараллельных ряда, то определитель изменит знак.}

_3._{Если определитель содержит нулевую строку, то он равен нулю.}

_4._{Если определитель содержит два одинаковых параллельных ряда, то он равен нулю.}

_5._{Если определитель содержит пропорциональные параллельные ряды, то он равен нулю.}

_6._{Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.}

_7._{Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей вида:}

_8._{Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.}

_9._{Сумма произведений всех элементов некоторого ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого ряда равна нулю.}

_{Пример 7:}_{Вычислим определители из}_{примера 6(б, в)}_{по свойству 8.}

_{Обратная матрица}
_{Матрица А-1 называется}_{обратной}_{к матрице А, если выполняется равенство: А·А-1 = А-1·А =}_E_{, где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А.}

_{Легко увидеть, что двойное равенство требует, чтобы матрицы А и А-1 были квадратными одного порядка. Однако, данное требование является необходимым, но не достаточным для существования обратной матрицы.}

_{Квадратная матрица А называется}_{невырожденной}_{, если определитель}данной матрицы не равен нулю:

_{Теорема}_:_{Всякая невырожденная матрица имеет обратную}_.

Для любой невырожденной матрицы А существует единственная обратная матрица А^-1, которую можно вычислить оп формуле:

, где А_пр. – матрица алгебраических дополнений.

, А_ij – алгебраические дополнения элемента а_ij.

Свойства обратной матрицы

_{(А·В)-1 = В-1·А-1;}
(А^-1)^-1 = А;
(А^Т)^-1 = (А^-1)^Т;
|А^-1| = |А|^-1 = 1/|А|.

Пример 8: Найти обратную матрицу.

_{Решение:}_{а) Вычислим определитель матрицы А.}

_{Найдем алгебраические дополнения:}

Тогда получаем А-1:

Проверка:

_{б) Вычислим определитель матрицы В.}

_{Найдем алгебраические дополнения:}

_{Тогда обратная матрица имеет вид:}

Сделаем проверку:

_{Обратная матрица связана с понятием деления и необходима тогда, когда требуется найти неизвестный множитель в матричном уравнении вида А·Х=В, где матрицы А и В известны, а матрицу Х необходимо найти. Очевидно, что задача однозначно решается только в случае, когда А квадратная и невырожденная, и следовательно существует А-1.Пусть А·Х = В и}_det_{А ≠ 0, тогда Х = А-1·В.}