Лекции по физике. Лекция 1 предмет физики. Измерения физических величин. Погрешности измерения физических величин и их оценки система отсчета, классификация движений, скорость и ускорение при поступательном и вращательном движении
 Скачать 0.81 Mb.
|
|
1 ЛЕКЦИИПО ДИСЦИПЛИНЕ «ФИЗИКА» Преподаватель – Нечаев В.В . Специальность – «Эксплуатация железных дорог/ Подвижной состав же- лезных дорог/ Строительство железных дорог» 1 курс 2018-2019 уч. год ЛЕКЦИЯ 1 ПРЕДМЕТ ФИЗИКИ. ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И ИХ ОЦЕНКИ СИСТЕМА ОТСЧЕТА, КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ, СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ПРИ ПОСТУПАТЕЛЬНОМ И ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ Рассматриваются понятия: точность измерений, виды погрешностей, обработка результатов измерений материальная точка, система отсчета, траектория, вектор перемещения, путь, скорость, ускорение. Криволинейное движение: равномерное движение по окружности, ускорение тела при движении по окружности. Абсолютно твѐрдое тело. Поступательное и вращательное движение абсолютно твѐрдого тела. Угловая скорость. Угловое ускорение. Период и частота обращения. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА И МОМЕНТ СИЛ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Понятие момента импульса. Движение под действием центральной силы. Мо- мент сил. Закон сохранения момента импульса. Примеры. Понятие момента инерции. Теорема Штейнера. Основное уравнение динамики вращательного дви- жения Основные характеристики движения материальной точки Механика представляет собой учение о простейшей форме движения материи – о перемещении тел или их частей друг относительно друга. Наиболее простым механическим движением является движение материальной точки. Под материальной точкой понимают в механике такое тело, размерами которого в данной физической задаче можно пренебречь. Для количественного описания механи- ческого движения мы должны, прежде всего, выбрать систему отсчѐта. Система отсчѐта – это тело (или система тел), которое в условиях данной физической задачи может считаться не- подвижным и относительно которого рассмат- y x z r r r r v s Рис. 1 2 ривается движение интересующего нас тела. Такой системой отсчѐта могут служить стены комнаты, Земля, солнечная система и т. п. С системой отсчѐта связывают сис- тему координат, которую используют для описания движения. Положение матери- альной точки в координатной системе в момент времени t определяется координатами x, y, z или радиус-вектором r (рис. 1) С течением времени положение рассматриваемой точки меняется – она пере- мещается. В процессе своего движения точка описывает некоторую воображаемую линию, называемую траекторией. Из курса элементарной физики мы знаем, что при равномерном движении путь s, проходимый материальной точкой, пропорционален интервалу времени t, в те- чение которого происходит движение. Величина t s характеризует скорость дви- жения материальной точки. Когда движение неравномерно, скорость материальной точки можно определять, по-прежнему, как отношение приращения пути s к прира- щению времени t, но такое определение будет справедливо лишь в пределе, для бес- конечно малых смещений ds и интервалов времени dt: v = dt ds (1.а) В общем случае, когда направление движения меняется, скорость должна ука- зывать направление движения. Предположим, что к моменту времени t + t рассмат- риваемая материальная точка, находившаяся в положении с радиусом-вектором r , переместилась в новое положение r r . При стремлении t к нулю ( 0 t ), при- ращение радиус-вектора r стремится к r d , и вектор скорости можно определить следующим образом v = dt r d (1.б) Согласно последнему соотношению, скорость есть производная радиус-вектора движущейся материальной точки по времени. Скорость является вектором, показы- вающим направление движения по траектории и лежащим вдоль касательной к траек- тории. Из уравнения (2.1б) следует определение проекций (или координат) вектора скорости dt dx v x , dt dy v y , dt dz v z Для характеристики изменения скорости с течением времени вводится новая векторная величина – ускорение, определяемое следующим образом: 2 2 dt v d dt v d a (2) Вектор ускорения принято раскладывать на две состав- ляющие: одна из них направлена по касательной к траектории и называется касательным или тангенциальным ускорением a , другая – по нормали к траектории и называется нормаль- ным или центростремительным ускорением n a (рис 2). Каса- тельное ускорение показывает только изменение величины скорости dt dv a , (3) (2.3) Рис. 2 O a a n a R 3 а центростремительное ускорение – только еѐ направление n R v a n 2 , (4) где R – радиус кривизны в некоторой точке траектории, т.е. радиус окружности, дуга которой совпадает с малым элементом изогнутой траектории. Вектора и n – еди- ничные вектора, направление первого совпадает с направлением вектора v , второй вектор направлен по нормали в сторону вогнутости траектории (рис. 2). Так как a и n a , являются векторами, составляющими вектор полного ускоре- ния, то 2 2 a a a n (5) Криволинейное движение происходит всегда с ускорением, так как в этом слу- чае скорость обязательно будет изменяться (по крайней мере, по направлению). Поступательное и вращательное движения твердого тела Каждое реальное тело можно рассматривать как совокупность материальных точек, более или менее прочно связанных между собой. Такими «материальными точ- ками» могут являться атомы, молекулы или ионы, которые в свою очередь представ- ляют собой достаточно сложные системы частиц. Во многих случаях, однако, слож- ную структуру тел мы вправе не учитывать, так как связи между материальными точ- ками очень прочны и в процессе движения тел их форма и размеры не изменяются. Такие тела выступают при движении как единое целое. Если при движении тела взаимное расположение его частей не изменяется, то такое тело называется абсолютно твердым. В этой главе мы будем рассматривать только движение абсолютно твердого тела, которое будем называть твердым. Простейшими движениями твѐрдого тела являются по- ступательное движение и вращательное движение вокруг оси. Любое сложное движение твердого тела сводится к посту- пательному движению и вращению. При поступательном движении твѐрдого тела все его точки имеют одинаковую скорость и описывают траектории одинаковой формы, только смещенные по отношению друг к другу. В каждом теле существует такая точка, что при описа- нии движения всю массу тела m можно считать сосредоточен- ной в этой точке, а все внешние силы приложенными к ней. Указанная точка называется центром масс или центром инерции. Поступательное движение тел обычно рассматривается как движение материальной точки с массой m, находящейся в центре инерции. При вращении твердого тела вокруг оси различные точки тела описывают ок- ружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси вращения; центры этих ок- ружностей лежат на оси вращения. Если за время t тело поворачивается на угол φ, то путь s, проходимый за это время какой либо точкой P тела, будет равен, очевидно, s = r φ, где r – расстояние от точки Р до оси вращения (рис. 3). Разделив s на t и устремив t к нулю, найдѐм скорость точки Р: R s Рис. 3 4 dt d r v (6) Величина dt d / одинакова для всех точек тела и представляет собой угловое перемещение тела за единицу времени. Эта величина называется угловой скоростью тела, мы будем обозначать еѐ буквой ω. Таким образом, скорости различных точек вращающегося вокруг некоторой оси твѐрдого тела определяются формулой r v , (7) где r – расстояние точки до оси вращения, скорость пропорциональна этому расстоя- нию. Величина ω, вообще говоря, меняется с течением времени. Если вращение про- исходит равномерно, т.е. с постоянной угловой скоростью, то ω можно определить, зная период вращения Т: T 2 (8) Вращение характеризуется направлением оси вращения и величиной угловой скорости. Их можно объединить вместе, введя вектор угловой скорости , имеющий направление оси вращения и равный по величине угловой скорости. Из двух направ- лений оси вращения вектору угловой скорости принято приписывать то, которое свя- зано с направлением оси вращения так называемым правилом винта, т.е. то направле- ние, в котором ввинчивается винт (с правой резьбой), вращающийся одинаково с твѐрдым телом. В случае, когда вращение происходит неравномерно, вращение можно охарак- теризовать с помощью ещѐ одной величины – углового ускорения. По определению это вектор равный первой производной по времени от вектора угловой скорости: dt d (9) При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения лежит вдоль вектора угловой скорости, либо сонаправленно, либо противоположно направленно. В первом случае тело вращается ускоренно, во втором – замедленно. При вращательном движении угловая скорость и угловое ускорение одинаковы в каждый данный момент времени для всех частиц тела. В связи с неизменностью взаимного расположения частиц линейные скорости и линейные ускорения пропор- циональны расстоянию частиц от оси вращения. Общие законы механики были установлены Ньютоном в результате обобщения экспериментальных данных. Первый закон Ньютона (или закон инерции) касается движения тел, не испыты- вающих внешних воздействий. Он формулируется следующим образом. Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Как указывалось ранее, движение происходит всегда относительно некоторой системы отсчета. С точки зрения кинематики все системы отсчета совершенно равно- правны. С точки зрения динамики это не так: характер движения зависит от того, ка- 5 ким образом выбрана система отсчета. Первый закон Ньютона позволяет из всех сис- тем отсчета выбрать так называемые инерциальные системы отсчѐта. Инерциальными называются такие системы отсчѐта, в которых выполняется первый закон Ньютона. Второй закон Ньютона устанавливает связь между изменением движения и внешними воздействиями, которым подвергается рассматриваемое тело; он формули- руется следующим образом. Изменение скорости движения тела (ускорение) пропорционально приложен- ной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует. Сила вводится здесь как физическая величина, характеризующая взаимодейст- вие тел. Учитывая всѐ сказанное выше второй закон Ньютона можно записать в фор- ме a m F , (1) здесь коэффициент пропорциональности m называется массой тела. Масса тела зави- сит от его размеров и природы вещества. В механике масса – основная характеристи- ка тела, показывающая его способность противостоять ускоряющим силам. Это ут- верждение справедливо лишь при небольших скоростях. Последующее развитие фи- зики привело к выводу, что масса тела зависит от еѐ скорости. Однако при малых скоростях (подразумевается, что скорости тел малы по сравнению со скоростью све- та) эта зависимость очень слаба и масса может считаться постоянной. Масса тел является одной из основных физических величин. Существенно, что она характеризует не только инерцию тел, но и их гравитационные свойства. Второму закону Ньютона можно придать другую форму. Используя определе- ние вектора ускорения, из формулы (1) получим: F dt v d m (2) или F dt v m d ) ( (3) Векторная величина v m p называется импульсом материальной точки. Та- ким образом, второй закон Ньютона записывается в виде F dt p d , (4) т.е. производная импульса по времени равна силе, действующей на тело. Третий закон Ньютона, дополняя содер- жание второго закона, подчеркивает, что воздей- ствие тел, ведущие к изменению состояния их движения, носит характер взаимодействия. Этот закон формулируется следующим образом. Если тело В действует на тело А с силой 1 F (рис. 1), то тело А в свою очередь действует на тело В с силой 2 F , численно равной 1 F и на- правленной в противоположную сторону. Иными словами, 1 F 2 F A B Рис. 1 6 1 2 F F (5) Существенно, что силы 1 F и 2 F («действие» и «противодействие») приложены к разным телам. Закон сохранения импульса Применяя законы механики, мы обычно выделяем по тем или иным признакам группу ограниченного числа тел, считая, что эта группа образует систему. Силы, дей- ствующие между телами, образующими систему, называются внутренними силами. Силы, обусловленные воздействием на тела системы тел, не принадлежащих данной системе, называются внешними силами. Если тела рассматриваемой системы взаимодействуют только друг с другом и не взаимодействуют ни с какими иными телами, то система называется замкнутой или изолированной. Применим второй закон Ньютона к телам А и В, образующим изолированную систему. Имеем 2 B 1 A , F dt p d F dt p d Используя третий закон Ньютона, получим 0 B A dt p d dt p d (6) или const B A p p (7) Последнее равенство выражает закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы тел, представляющий собой векторную сумму импульсов тел, образующих эту систему, во всѐ время движения остается постоянным. Закон сохранения импульса – один из основных законов физики. Он широко применяется в физике и технике. Движение центра масс твердого тела Уравнения движения твердого тела должны дать указания о движении всех то- чек твѐрдого тела. Применяя законы Ньютона к отдельным элементам тела, мы, пре- жде всего, установим законы движения одной фиксированной точки твердого тела, а именно, законы движения его центра масс. Разбив твѐрдое тело на отдельные малые элементы, мы сможем каждый из этих элементов рассматривать как материальную точку и применить к каждому из этих элементов второй закон Ньютона. Обозначив массу элемента номера i через Δm i , и его скорость через i v , мы можем для каждого из элементов написать второй закон Нью- тона в виде: i i i i Φ F v m dt d ) ( , (1) 7 где i Φ – внутренние силы, действующие на данный элемент тела со стороны осталь- ных элементов, а i F – внешние силы, действующие на этот элемент. Складывая уравнения для всех элементов тела, мы получим (так как i i Φ = 0 по третьему закону Ньютона): i i i i i F v m dt d ) ( , (2) т. е. так же, как и для всякой системы материальных точек, производная от общего импульса тела равна сумме всех внешних сил, действующих на тело. Но в случае твердого тела это уравнение гораздо больше говорит о движении тела, чем о движе- нии системы материальных точек. Обусловлено это тем, что в твѐрдом теле расстоя- ние между отдельными точками (отдельными элементами тела) всегда остаѐтся неиз- менным, в то время как в системе материальных точек оно может изменяться. Чтобы извлечь из уравнения (2) более детальные указания о характере движе- ния твердого тела, посмотрим, как связан общий импульс твердого тела с движением его центра масс. Центр масс твѐрдого тела определяется следующим образом. Обозначим коор- динаты элемента массы Δm i через x i , y i , z i , а массу тела – через m. Тогда, величины i i i i i i i i i z m m z y m m y x m m x 1 , 1 , 1 (3) представляют собой координаты центра масс тела. Определѐнная таким образом точ- ка тела совпадает с точкой приложения равнодействующей сил тяжести, действую- щих на все элементы тела, т.е. центр масс совпадает с центром тяжести тела. Центр масс называют также центром инерции. Дифференцируя по времени выражения (5.3), мы получим i i i i i dt dx m dt dx m , dt dy m dt dy m i i i i i , (4) dt dz m dt dz m i i i i i Мы можем вместо этих трѐх выражений в координатах написать одно вектор- ное соотношение: i i i v m v m ) ( (5) где v – вектор скорости центра масс, а m – масса всего тела. Твердое тело обладает таким импульсом, каким обладала бы материальная точка массы, равной массе тела, и движущаяся так, как движется центр масс тела. Подставляя полученное выражение (5) в уравнение (2), имеем i i F v m dt d , 8 или, так как масса твѐрдого тела постоянна, i i F dt v d m (6) Это уравнение совершенно аналогично уравнению для материальной точки. Центр масс твѐрдого тела движется так же, как двигалась бы материальная точка той же массы под действием тех внешних сил, которые действуют на твѐр- дое тело. Моментом импульса (или угловым моментом) материальной частицы относи- тельно точки О называется векторная величина L r p , где r – радиус-вектор, определяющий положение частицы относительно точки О, p – импульс частицы, а квадратные скобки означают вектор- ное произведение (рис. 1). Модуль этой величины, sin L rp , можно представить в виде произведения плеча l импульса на модуль вектора p . Плечом импульса называ- ется длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой направлен импульс. Направлен век- тор L перпендикулярно плоскости, в которой лежат им- пульс и радиус-вектор, так, что образуют правовинтовую тройку. Проекция вектора L на произвольную ось z, прохо- дящую через точку О, называется моментом импульса относительно этой оси: z z L r p Очевидно, что момент импульса системы зависит от выбора точки, относительно которой он определяется. Однако в системе центра масс момент импульса совокупно- сти частиц не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют. Этот момент называется собственным моментом импульса. Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси под действием силы F , лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения и приложенной в точке с радиус-вектором r . Аналогично моменту импульса определяется и момент силы M относительно точки: M r F и относительно оси: z z M r F Когда сила приложена к одной из точек твердого тела, вектор M характеризует способность силы вращать тело вокруг точки О. Поэтому момент силы называется вращающим моментом. Если тело может вращаться вокруг точки О произвольным образом, то под действием силы тело повернется вокруг оси, совпадающей с направ- лением вращающего момента. Так как взаимодействие между телами осуществляется в соответствии с третьим законом Ньютона, суммарный момент внутренних сил системы относительно любой O L r p l Рис. 1. 9 точки равен нулю: 0 внутр M . Соответственно, и проекция моментов всех внут- ренних сил на любую ось равна нулю. Суммарный момент внешних сил, вообще го- воря, зависит от выбора точки О, относительно которой его определяют. Однако, если векторная сумма действующих на тело внешних сил равна нулю, то суммарный мо- мент сил уже не будет зависеть от выбора точки О. Это имеет место в случае, если к телу приложена пара сил. Две равные по величине и противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной прямой, называются парой сил. Расстояние между прямыми, вдоль кото- рых действуют силы, называется плечом пары. Единицей момента импульса в СИ является 1 кг·м 2 /с, а момента силы – 1 Н·м. Если на твердое тело, имеющее закреплѐнную ось вращения, действует сила F , приложенная в точке А (рис. 2), то, очевидно, что составляющая 1 F этой силы, парал- лельная оси вращения, не даѐт никакого вращательного эффекта. Только составляю- щая 2 F , лежащая в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, даѐт вращательный эффект, который тем более значителен, чем больше кратчайшее расстояние между прямой, по которой действует сила, и осью вращения. Поэтому моментом силы относительно оси назы- вают произведение, составленное из проекции силы (на плоскость, перпендикулярную к оси) и кратчайшего рас- стояния между прямой, по которой действует сила, и осью. Из рис. 2 видно, что момент силы M = F 2 l. Момент силы относительно оси рассматривают как вектор, направленный по оси таким образом, чтобы вра- щение, рассматриваемое с конца вектора момента, пред- ставлялось происходящим против часовой стрелки. На рис. 2 момент силы M направлен вниз. Рассмотрим действие на тело двух равных, но про- тивоположно направленных сил, не лежащих на одной прямой. Такие две силы не могут быть заменены одной равнодействующей. Они не могут вызвать вращение тела около некоторой оси, перпендикулярной к плоскости, в которой лежат обе силы. Эти силы, или пара сил, пред- ставляют собой совершенно особый, неприводимый к од- ной силе динамический элемент. Назовѐм плечом пары кратчайшее расстояние между линиями действия сил, со- ставляющих пару. Вращательное действие пары всегда определяется произведением силы на пле- чо. Это произведение называется моментом пары. Момент пары рассматривают как вектор, перпендикулярный к плоскости пары и направленный туда, куда нужно смот- реть, чтобы видеть силы, обращенными в сторону движения часовой стрелки. Пара сил, действующая на свободное твѐрдое тело, где бы ни были приложены силы, составляющие пару, вращает тело вокруг оси, проходящей через центр массы тела и перпендикулярной к плоскости пары. Действительно, геометрическая сумма сил, составляющих пару, равна нулю, поэтому центр массы тела должен оставаться в покое. M F 1 F 2 F R l Рис. 2 A 10 Закон сохранения момента импульса: В инерциальной системе отсчета момент импульс замкнутой системы частиц остается постоянным как по величине, так и по направлению, т.е.: const L . Это справедливо для момента импульса, взято- го относительно любой точки инерциальной системы отсчета. С помощью законов сохранения можно, не решая уравнений динамики, сделать во многих случаях ряд заключений о свойствах процессов, не вникая в их детальное рассмотрение. Законы сохранения представляют собой общие фундаментальные принципы и отражают свойства пространства и времени. В основе закона сохранения энергии ле- жит однородность времени, т.е. равнозначность всех моментов времени при прочих равных условиях. В основе закона сохранения импульса лежит однородность про- странства, т.е. равнозначность всех точек пространства при прочих равных условиях. В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропность пространства, т.е. равнозначность всех направлений в пространстве при прочих равных условиях. |