Лекции по физике. Лекция 1 предмет физики. Измерения физических величин. Погрешности измерения физических величин и их оценки система отсчета, классификация движений, скорость и ускорение при поступательном и вращательном движении
 Скачать 0.81 Mb.
|
|
Момент инерции Из определения момента инерции следует, что он определяется формой разме- рами тела и выбором оси вращения. Вычисление момента инерции в случае твѐрдого тела представляет собой сложную задачу. Для вычисления I нужно взять сумму большого числа малых элементов 2 i i i r m . Эта сумма может быть вычислена путѐм интегрирования. Заменив малые конечные элементы тела бесконечно малыми, мы по- лучим: dm r I 2 , (1) где интегрирование должно быть распространено на все элементы тела, т.е. интеграл должен быть взят по всему объѐму тела. Таким образом, вычисление момента инер- ции тела сводится к объѐмным интегралам. Мы ограничимся только простейшими случаями вычисления момента инерции. Положим, что наше тело представляет собой однородный цилиндр или диск толщины h (рис 1). Найдѐм момент инерции диска относительно его геометрической оси. Разобьѐм диск на отдельные бесконечно ма- лые элементы при помощи концентрических окруж- ностей, отстоящих друг от друга на расстоянии dr. Мы получим ряд колец с внутренним радиусом r и внешним r + dr. Момент инерции каждого такого кольца мы можем вычислить, пренебрегая dr по сравнению с r, т.е. считая, что расстояние от всех точек одного кольца до оси равно r. Поэтому для каждого отдельного кольца момент инерции равен dm r dI 2 , где dm есть масса все- го кольца. Сечение кольца есть dr h и его длина 2 r, поэтому объѐм кольца равен dr hr 2 , и если материал диска однороден, то масса всего кольца dr hr dm 2 , где ρ – плотность материала кольца. Следовательно, момент инерции одного кольца равен dm hr dI 3 2 , а всего диска h dr r O O’ Рис. 1 11 R dr r h dI I 0 3 2 (2) Так как r меняется от 0 до R, то интеграл должен быть взят в пределах от 0 до R. Про- изведя интегрирование и подставив пределы получим: 4 2 1 hR I Но 2 hR есть объѐм диска. Поэтому масса диска равна 2 hR m . Окончательно момент инерции диска массы m и радиуса R выразится так: 2 2 1 mR I (3) Моменты инерции других тел могут быть найдены принципиально тем же пу- тѐм. Однако практически расчѐт получается достаточно простым только для тел вра- щения, особенно для тел цилиндрической формы. Приведѐм (без вывода) формулы для моментов инерции некоторых других тел (предполагается, что каждое из этих тел однородно, т.е. имеет одинаковую во всех своих участках плотность). Момент инерции тонкого кольца радиуса R и массой m относительно оси, про- ходящей через его центр и перпендикулярной к его плоскости: 2 mR I (4) Момент инерции тонкого круглого диска относительно оси, совпадающей с его диаметром: 2 4 1 mR I (5) Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр шара: 2 5 2 mR I (6) Момент инерции стержня длиной l относительно оси, проходящей через его ко- нец и перпендикулярной к нему: 2 3 1 ml I (7) Для тел неправильной формы или неоднородных (с пустотами) вычисление мо- ментов инерции оказывается довольно сложным. Этих расчѐтов мы приводить не бу- дем. Для качественного сравнения моментов инерции двух тел одинаковой массы, но распределѐнной по-разному, часто можно пользоваться следующими соображениями. Если одинаковые элементы массы в одном теле расположены дальше, чем в другом, то момент инерции первого тела будет больше, чем второго. Теорема Штейнера Если нам известен момент инерции тела относительно оси, относительно оси, проходящей через центр тяжести тела, то легко найти его момент инерции относи- тельно любой параллельной ей оси: 2 0 md I I , (8) 12 где I 0 – момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести, d – рас- стояние между осями. Равенство (10) выражает так называемую теорему Штейнера. Таким образом, момент инерции относительно любой оси вращения равен моменту инерции относительно парал- лельной оси, проходящей через центр тяжести, сложен- ному с произведением массы тела на квадрат расстояния центра тяжести тела от оси вращения. Основное уравнение динамики вращения твердого тела Пусть к некоторому телу, которое может вращаться около неподвижной оси О и имеет момент инерции I, при- ложена сила F с плечом r (рис. 2). Определим угловое ускорение dt d , приобретаемое телом под действием указанной силы. Допустим, что за время dt тело поворачивается с угловой скоростью ω на угол dt d , причѐм точка приложения силы описывает дугу rd dl . Работа, совер- шаемая силой F за время dt, будет равна Fdl, иначе, Frωdt. Эта работа идѐт на увели- чение кинетической энергии вращения тела, т.е. 2 2 I d dt Fr Но при неизменности момента инерции тела d I I d 2 2 Стало быть (произведя сокращение на ω и введя момент силы M = Fr), получа- ем: dt d I M (9) Мы видим, что это основное уравнение динамики вращательного движения по своему начертанию аналогично основному уравнению динамики поступательного движения dt v d m F Однако, в уравнении (9) вместо силы фигурирует момент силы, вместо масс – момент инерции и вместо линейного ускорения – угловое ускорение. Величина I L называется моментом импульса тела относительно оси вращения (он равен произведению момента инерции на угловую скорость). Следова- тельно, основное уравнение динамики вращательного движения мы можем записать в виде: dt L d M (10) O r d dl F Рис. 2 13 ЛЕКЦИЯ 2 ЭЛЕКТРОСТАТИКА Электрические заряды. Дискретность заряда. Закон Кулона. Электростатическое поле. Напряженность электростатического поля. Прин- цип суперпозиции. Электростатика – раздел электродинамики, изучающий взаимодействие неподвиж- ных заряженных тел. Электрическое поле, осуществляющее это взаимодействие, называется электростатическим. Разнородные материальные тела в результате тесного контакта способны наэлектри- зовываться, т.е. приобретать электрический заряд, что обнаруживается по их способ- ности притягивать мелкие, легкие предметы. Из опыта известно, что электрические заряды обладают следующими свойствами: 1) бывают двух видов – условно называемых положительными и отрицательными; В качестве положительного был выбран заряд, возникающий на стекле при натира- нии его шелковой тканью. 2) все заряды дискретны и кратны элементарному заряду e = 1.602·10 -19 Кл. e n q (1) Формула (1.1) выражает закон квантования электрического заряда. Одноименно заряженные тела отталкиваются, а разноименно заряженные – притягиваются. Заряженные тела, размерами которых можно пренебречь по сравне- нию с расстояниями между ними, называют точечными зарядами. Точечный заряд это удобная физическая модель, аналогичная материальной точке в механике. Полный заряд электрически изолированной системы остается постоянным: const q q n i i 1 Система называется электрически изолированной, если через ограничивающую ее по- верхность невозможен перенос зарядов, т.е. протекание электрического тока. Основной закон, описывающий взаимодействие элементарных зарядов – закон Ку- лона. В век- торной форме закон Кулона записывается в виде В природе существует 2 типа полей: скалярное поля и векторные поля. Скалярным полем называется такое соответствие при котором каждой точке про- странства ставится в соответствие число. Пример скалярного поля может служить по- ле температуры в комнате. Векторным полем называется такое соответствие при котором каждой точке про- странства ставится в соответствие вектор. Рис. 1. 14 Пример: поле вектор скорости течения жидкости в реке (вектор скорости везде раз- ный). Электрическое поле сложно будет представить как скалярное и как векторное по- ле. Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Принцип суперпози- ции электрических полей. Взаимодействие электрических зарядов осуществляется через особый вид мате- рии, порождаемой заряженными частицами - электрическое поле. Электрические за- ряды изменяют свойства окружающего их пространства. Проявляется это в том, что на помещенный вблизи заряженного тела другой заряд (назовем его пробным) дейст- вует сила (рис. 2). По величине этой силы можно судить об «интенсивности» поля, созданного зарядом q. Для того, чтобы сила, действующая на пробный заряд, харак- теризовала электрическое поле именно в данной точке пространства, пробный заряд, очевидно, должен быть точечным. Рис. 2. К определению напряженности электрического поля. Поместив пробный заряд q пр на некотором расстоянии r от заряда q (рис. 2), мы обнаружим, что на него действует сила, величина которой зависит от величины взято- го пробного заряда q пр Легко, однако, видеть, что для всех пробных зарядов отношение F/ q пр будет одно и тоже и зависит лишь от величин q и r , определяющих поле заряда q в данной точке r. Естественно, поэтому, принять это отношение за величину, характеризующую «интенсивность» или, как говорят, на- пряженность электрического поля (в данном случае поля точечного заряда): 2 0 4 r q q F E пр Таким образом, напряженность электрического поля является его силовой ха- рактеристикой. Численно она равна силе, действующий на пробный заряд q пр = +1, помещенный в данное поле. Напряженность поля – вектор. Его направление совпадает с направлением век- тора силы, действующей на точечный заряд, помещенный в это поле. Следовательно, если в электрическое поле напряженностью E поместить точечный заряд q, то на не- го будет действовать сила: 2 0 4 r q q F пр 15 E q F Размерность напряженности электрического поля в СИ: м В E Электрическое поле удобно изображать с помощью силовых линий. Силовая ли- ния – линия, вектор касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора напряженности электрического поля в этой точке. Принято считать, что сило- вые линии начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных (или уходят на бесконечность) и нигде не прерываются. Примеры силовых линий не- которых электрических полей приведены на рис. 3. Рис. 3. Примеры изображения электрических полей с помощью силовых линий: то- чечного заряда (положительного и отрицательного), диполя, однородного электриче- ского поля. Электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции (сложения), который можно сформулировать следующим образом: напряженность электрического поля, созданного в некоторой точке пространства системой зарядов, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, созданных в этой же точке простран- ства каждым из зарядов в отдельности: n E E E E 2 1 q q 16 Пример. Найти напряженность электрического поля Е диполя (системы двух жестко связанных точечных зарядов противоположного знака) в точке, находящейся на рас- стоянии r 1 от заряда - q и на расстоянии r 2 от заряда +q (рис.1.7). Расстояние между зарядами (плечо диполя) равно l. Рис. 4. К расчету напряженности электрического поля системы двух точечных заря- дов. 2 1 E E E 2 2 2 1 2 1 2 ) ( 2 E E E E E cos 2 2 1 2 2 2 1 E E E E E , где 2 1 0 1 4 r q E , 2 2 0 2 4 r q E Угол α определяется по теореме косинусов: cos 2 2 1 2 2 2 1 2 r r r r l 17 ЛЕКЦИЯ 3 ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ Понятие термодинамического процесса. Равновесные процессы. Изопроцессы. Внутренняя энергия идеального газа. Число степеней свободы молекулы. Работа расширения газа. ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ Теплоемкость. Первое начало термодинамики. Применение первого начала термодинамики к различным изопроцессам в газах. Адиабатный процесс. Уравнение Пуассона. Политропические процессы. Уравнение политропы. Обратимые и необратимые процессы. Циклические процессы. Цикл Карно. Энтропия. Уравнение состояния модели реального газа (Уравнение Ван-дер- Ваальса). Изотермы вандервальсового газа. Термодинамика описывает тепловые явления с энергетической точки зрения и поэтому основными величинами, использующимися в этом разделе физики, являются внутренняя энергия, теплота и работа. Особое положение термодинамики в физике связано с тем, что любая форма энергии при еѐ превращениях, в конце концов, пере- ходит в энергию тепловых движений. Термодинамический метод рассуждений имеет не только исключительно большое принципиальное, но и практическое значение. Весьма обширный класс технических проблем, связанный с переводом энергии из од- них форм в другие и с получением за счѐт энергии работы, может быть разобран с термодинамической точки зрения. Законы, лежащие в основе термодинамики, носят название начал термодина- мики. Эти начала установлены как обобщение экспериментальных данных. Прежде чем перейти к обсуждению законов термодинамики введѐм понятие равновесного процесса. Процессом, происходящим в газе, называется переход данного газа из одного равновесного состояния в другое, при котором нарушается термодинамическое рав- новесие. Процесс, протекающий настолько медленно, что нарушением равновесия в системе можно пренебречь, называется равновесным. При этом можно считать, что равновесный процесс состоит из последовательности равновесных состояний. Изопроцессы Примерами равновесных процессов могут служить изопроцессы – процессы, при которых один из параметров остаѐтся постоянным. Из уравнения состояния идеального газа можно получить соотношения между значениями параметров, характеризующими различные равновесные состояния газа ( 1 1 1 T V p и 2 2 2 T V p ), при проходящих в нѐм изопро- цессах: изотермическом, изобарическом и изохориче- ском. Процесс, при котором остаются постоянными температура и масса газа, называется изотермиче- ским. При этом произведение параметров объѐма и дав- V p Рис. 1 18 ления определѐнного количества газа является постоянной величиной const T , 2 2 1 1 V p V p (1) Графически изотермический процесс в координатах (p, V) изображается гипер- болой (рис. 1). Процесс, при котором определѐнное количество газа находится при постоянном давлении, называется изобарическим. При этом объѐм пропорционален абсолютной температуре газа: const р , 2 1 2 1 T T V V (2) График процесса в координатах (p, V) представляет собой горизонтальную ли- нию (рис. 1) Аналогичным образом определяется изохорический процесс, при котором объ- ем газа остается постоянным, const V , 2 1 2 1 T T p p (3) График процесса в координатах (p, V) имеет вид вертикальной линии (рис. 1) Соотношения (1) – (3) также выполняются в случае если происходящий процесс не является равновесным, а значения параметров 1 1 1 T V p и 2 2 2 T V p соответствуют на- чальному и конечному равновесному состоянию газа. |