Лекции по физике. Лекция 1 предмет физики. Измерения физических величин. Погрешности измерения физических величин и их оценки система отсчета, классификация движений, скорость и ускорение при поступательном и вращательном движении
 Скачать 0.81 Mb.
|
|
Внутренняя энергия идеального газа Во внутреннюю энергию тела входят кинетическая энергия поступательного и вращательного движений молекул, потенциальная энергия их взаимодействия, энер- гия колебательного движения атомов в молекулах и кристаллах, а также энергия раз- личных видов движения частиц в атомах, которую здесь мы рассматривать не будем. Внутренняя энергия некоторой системы является функцией состояния системы. Это означает, что система в данном состоянии всегда имеет одну и ту же внутреннюю энергию, каким бы путѐм она ни пришла в него. В случае идеального газа потенциальная энергия взаимодействия молекул пре- небрежимо мала, и внутренняя энергия равна сумме кинетических энергий отдельных молекул. До сих пор мы пользовались представлением о молекулах газа как об упругих шариках очень малого диаметра. Кинетическая энергия молекул считалась совпа- дающей с энергией их поступательного движения, а средняя кинетическая энергия молекулы определяется соотношением 2 3kT W . Эта энергия распределяется ме- жду тремя поступательными степенями свободы молекулы. Ввиду полной беспорядочности движения молекул в газе, все направления еѐ перемещения эквивалентны. Поэтому на одну степень свободы поступательного дви- жения приходится в среднем энергия kT W 2 1 (4) Представление о молекуле как о шарике хорошо оправдывается только для од- ноатомных газов. В случае многоатомных газов нужно рассматривать молекулы как 19 F dx S x Рис. 2 сложные системы, которые способны не только двигаться поступательно, но и вра- щаться как целое, причѐм атомы в них могут совершать колебательное движение. Та- ким образом, возрастает число независимых координат, определяющих положение и конфигурацию системы в пространстве. Число независимых координат называют числом степеней свободы системы. Соответственно увеличивается и энергия моле- кулы, которая складывается теперь из энергии поступательного движения W пост , вра- щательной энергии W вр и энергии колебаний W кол . Таким образом, W 0 = W пост +W вр +W кол (5) Полная беспорядочность движения характерна не только для поступательного движения, но и для всех остальных типов движения молекул, причѐм ни один из этих типов движения не имеет преимущества перед другим. Отсюда можно заключить, что и кинетическая энергия, приходящаяся на каждую степень свободы молекулы, в среднем должна быть одинакова. Это положение называется законом о равнорас- пределение энергии по степеням свободы. Число степеней свободы поступательного движения i пост = 3. Для вращательно- го движения, вообще говоря, i вр = 3, но в частном случае линейных молекул, i вр = 2. Число колебательных степеней свободы i кол зависит от числа атомов r в молекуле. В общем случае i = 3r - 6; у линейных молекул оно равно 3r - 5. Обозначая число степе- ней свободы молекул i, получим, что внутренняя энергия 1 моля идеального газа рав- на RT i U 2 (6) При комнатной температуре колебательную энергию молекул можно не учиты- вать. При ударах молекул вероятность возбуждения их колебаний мала. При данном состоянии всего тела (под телом мы при этом понимаем как твер- дые тела, так и заключѐнные в сосудах жидкость или газ), оно обладает вполне опре- делѐнными значениями механической W мех и внутренней U энергией. Если привести в соприкосновение два тела, то в процессе взаимодействия они смогут обмениваться энергией как в той, так и в другой форме. Этот обмен различными формами энергии характеризуется соответственно понятиями совершѐнной работы A и переданного тепла Q. Работа есть мера переданной другому телу или телам механической энер- гии. Теплота есть мера переданной телу или отданной им энергии беспорядочного молекулярного движения. Никакой другой разницы между теплотой и работой нет. Поэтому они должны измеряться в одних и тех же единицах (Дж). Работа расширения газа Рассмотрим газ, находящийся в цилиндрическом сосуде, закрытом с одной сто- роны подвижным поршнем (рис. 2). Пусть под действием внешней силы F поршень опустился на расстояние dx, сжав газ. Газ будет сжи- маться до тех пор, пока сила F не уравновесится си- лой, действующей на поршень со стороны газа и рав- 20 ной по величине pS, где S – площадь сечения поршня, а р – давление газа. Работа dA, затраченная на перемещение поршня на расстояние dx, равна pSdx. Но Sdx есть не что иное, как уменьшение объѐма газа dV при сжатии. Следовательно pdV A (7) где dV положительно, если газ расширяется, и отрицательно, если он сжимается. По- этому и работа δA положительна при расширении газа (газ производит работу над ок- ружающей средой) и отрицательна, когда газ сжимается (внешние тела производят работу над газом). Полная работа, совершаемая газом при расширении от V 1 до V 2 , равна 2 1 12 V V pdV A (8) Графически процесс изменения состояния газа при его расширении или сжатии изображается участком кривой 1–2 в координатах (p, V) (рис. 3). Точка 1 соответствует начальному со- стоянию газа, точка 2 – конечному состоянию. При увеличении объѐма газа на dV совершаемая газом работа, изобразится площадью бесконеч- но узкого заштрихованного прямоугольника. Полная работа А 12 будет численно равна площа- ди под кривой 1–2. Рассмотрим некоторые частные случаи. При расширении газа при постоянном давлении (изобарный процесс) совершается работа ) ( 1 2 V V p A (9) При изохорном процессе, при котором объѐм газа остаѐтся постоянным, оче- видно, работа газом не совершается и A = 0. При расширении газа при постоянной температуре (изотермический процесс) работа газа, согласно выражению (8) равна 1 2 12 ln 2 1 V V RT M RTdV V M pdV A V V , (10) где М – масса, а µ – молярная масса газа. Теплота, работа и внутренняя энергия связаны между собой уравнением A dU Q (1) Это уравнение известно как первое начало термодинамики. Оно утверждает, что количество теплоты Q , переданное системе, идѐт на изменение еѐ внутренней энергии dU и на работу A , совершаемую силами, приложенными со стороны систе- мы к внешним телам. Первое начало термодинамики записано для элементарных ко- личества теплоты, работы и внутренней энергии. Оно выражает важнейший закон природы – закон сохранения энергии применительно к механической и тепловой энергии и было установлено экспериментально. Необходимо подчеркнуть, что в от- личие от внутренней энергии, произведѐнная газом работа А и сообщенная ему тепло- та зависят от того, какой процесс происходит в газе. В частности при круговом про- V 2 V 1 2 1 р V Рис. 3 21 цессе полное изменение внутренней энергии ΔU = 0, а поглощенное телом тепло и произведѐнная им работа отличны от нуля и связаны друг с другом равенством Q = A. Применение первого начала термодинамики к различным изопроцессам в газах Рассмотрим изохорный процесс. При изохорном процессе газ не совершает ме- ханической работы, и первое начало термодинамики принимает вид: dU Q , (2) т.е. всѐ сообщаемое газу тепло идѐт на увеличение его внутренней энергии. Введѐм понятие теплоѐмкости газа. Различают удельную и молярную теплоѐм- кости. Под удельной теплоѐмкостью с уд какого-либо вещества понимают физиче- скую величину, численно равную количеству теплоты, которое нужно сообщить единице массы этого вещества, чтобы нагреть еѐ на 1К. Под молярной теплоѐмкостью С мол вещества подразумевают физическую ве- личину, численно равную количеству теплоты, которое нужно сообщить 1 молю ве- щества, чтобы нагреть его на 1К. Молярная теплоѐмкость газа при изохорном процессе равна dT dU dT Q C V (3) В случае изобарного процесса первое начало термодинамики запишется так: A dU Q (4) Подводимое к газу тепло частично тратится на увеличение его внутренней энергии, а частично – на совершение работы. Молярная теплоѐмкость при изобарном процессе равна dT A dT dU dT Q C p (5) Но первое слагаемое от вида процесса не зависит и равно C V и, следовательно, dT pdV C C V p Принимая во внимание уравнение Клапейрона-Менделеева, получим R C C V p (6) Таким образом, молярная теплоѐмкость газа при постоянном давлении больше его молярной теплоѐмкости при постоянном объѐме на величину универсальной газовой постоянной R. Если в газе происходит изотермический процесс, то dU = 0 и A Q (7) Подводимое к газу при изотермическом процессе тепло целиком превращается в ра- боту расширения. Теплоѐмкость газа при изотермическом процессе становится бес- конечно большой. 22 Адиабатный процесс При адиабатном процессе газ не отдаѐт окружающим телам теплоту, так же как и не получает еѐ извне ( Q = 0). Из первого начала термодинамики имеем: pdV A dU (8) Для идеального газа изменение внутренней энергии согласно определению внутренней энергии и молярной теплоемкости (3) равно dT C dU V , где ν – число молей газа. Подставляя это выражение в (8), находим pdV dT C V Отсюда следует, что если газ адиабатически расширяется (dV > 0), то dT < 0, т.е. газ охлаждается. Наоборот, при сжатии газа, газ нагревается. Разделив обе части по- следнего уравнения на обе части уравнения Клапейрона-Менделеева pdV RT , по- лучим T dT R C V dV V Интегрируя это выражение, находим const ln ln T V C R V Воспользовавшись уравнением состояния в виде R pV T , после несложных вычислений получаем const ln ln 1 p V C R V Поскольку V p C C R и обозначая V p C C , имеем const ln ln p V или const pV (9) Это соотношение называется уравнением Пуассона или уравнением адиабаты. Графически в координатах (p, V) адиабата изображается кривой, которая спадает с ростом объѐма более круто, чем изотерма. Это непосредственно следует из того, что γ > 1. Найдѐм работу расширения газа при адиабатическом процессе: ) ( 1 2 12 2 1 T T C dT C A T T V V (10) Выше было указано, что при адиабатическом расширении идеального газа он охлаждается, а при сжатии нагревается. Следует, однако, заметить, что само по себе расширение газа не может привести к его охлаждению, если расширяющийся газ не производит работу. Если идеальный газ расширяется таким образом, что к сосуду, в котором он находится, присоединен пустой сосуд, то температура газа не изменится. 23 Наряду с сохранением энергии при различных процессах, в термодинамике фундаментальное значение имеет вопрос об их направлении. Опыт показывает, что при соприкосновении двух тел с разной температурой всегда более нагретое тело от- даѐт тепло менее нагретому телу. Первое начало термодинамики не исключает обрат- ного процесса – перехода тепла от менее нагретого тела к более нагретому. Однако такой переход самопроизвольно никогда не происходит. Точно так же, расширивший- ся и занявший объѐм какого-либо сосуда газ, никогда не соберется самопроизвольно в одной из его частей. Подобных примеров можно привести очень много и в связи с этим встаѐт общий вопрос об обратимости и необратимости различных процессов. Обратимым процессом называется такое изменение состояния системы (или одного отдельного тела), которое, будучи проведено в обратном направлении, воз- вращает еѐ в исходное состояние так, чтобы система прошла через те же проме- жуточные состояния, что и в прямом процессе, но в обратной последовательности, а состояние тел вне системы осталось неизменным. В механике, если можно не учитывать силы трения, каково бы ни было движе- ние тела, всегда возможно движение, при котором тело проходит те же точки про- странства с теми же скоростями, что и в исходном движении, но только в обратном направлении. Совершенно другое положение характерно для тепловых явлений. Если проис- ходит какой-либо тепловой процесс, то обратный процесс, т.е. процесс, при котором система проходит те же тепловые состояния, но только в обратном порядке, как пра- вило, невозможен. Обратимый тепловой процесс является всегда в большей или меньшей степени идеализацией. Процесс может быть практически обратимым лишь при условии, что изменение параметров системы происходит очень медленно и что сама она в каждый момент находится в состоянии равновесия. Принцип Кельвина Термодинамика развивалась на основе потребностей техники в усовершенство- вании тепловых машин, в особенности паровых. Наиболее важен здесь вопрос о по- лучении работы в результате периодически повторяющихся круговых процессов, или циклов. Метод циклов и до сих пор широко применяется в термодинамике. Возникает вопрос: можно ли и при циклическом процессе получить работу, равную теплоте, полученной от источника? На первый взгляд кажется, что для этого никаких препятствий нет. В действительности, однако, совокупность опытных дан- ных заставляет дать на поставленный вопрос отрицательный ответ. Он был сформу- лирован Кельвином в виде следующего общего принципа: невозможно осуществить циклический процесс, единственным результатом которого было бы превращение в механическую работу теплоты, отнятой у какого-нибудь тела, без того, чтобы произошли какие-либо изменения в другом теле или телах. Значит в процессе пре- вращения теплоты в работу кроме источника теплоты, от которого теплота от- нимается, и тела, совершающего работу, которому теплота непосредственно пере- даѐтся, должно участвовать ещѐ какое-то третье тело. Какова его роль в процессе превращения тепла в работу? Для преобразования теплоты в работу нужно «отнять» теплоту от источника и передать еѐ телу с более низкой температурой. Но сама по себе такая передача ни с какой передачей не связана. Поэтому такая передача осуществляется не непосредст- венно, а через другое тело, которое, расширяясь, совершает «по дороге» механиче- скую работу и возвращается к исходному состоянию. Оно называется рабочим телом, 24 в то время как источник теплоты называют нагревателем, а тело с более низкой тем- пературой, которому теплота передаѐтся – холодильником. Именно холодильник и есть то третье тело, о котором говорится в принципе Кельвина. Утверждение о том, что для совершения работы в циклической машине необхо- димо участие двух тел с различной температурой, называется принципом Карно. Цикл Карно Рассмотрим теперь круговой процесс, при помощи которого тепло, отнятое от какого-нибудь тела, можно превратить в работу, и притом наилучшим образом, т.е. так, чтобы полученная работа была максимально возможной. Такой круговой процесс впервые был исследован французским учѐным С. Карно и носит название цикла Кар- но. Этот цикл представляет собой обрати- мый круговой процесс, состоящий из двух изотерм и двух адиабат (рис. 1). Разберѐм цикл Карно, выбрав в качестве рабочего вещества 1 моль идеального газа, ко- торый первоначально находится в состоянии 1, характеризуемом объѐмом V 1 , давлением р 1 и температурой T 1 . Заставим газ изотермически расширяться, пока он не займѐт объѐм V 2 при давлении p 2 (состояние 2). При этом изотерми- ческом расширении газ получит от нагревате- ля количество теплоты Q 1 и совершит работу A 1 = Q 1 Исходя из состояния 2, предоставим газу расширяться адиабатически до состояния 3, характеризуемого объѐмом V 3 и давлени- ем р 3 . При этом температура газа упадѐт до некоторого значения Т 2 Исходя из состояния 3, начнем газ сжимать изотермически (при постоянной температуре Т 2 ) до состояния 4, характеризуемого объѐмом V 4 , давлением p 4 . При этом газ отдаѐт холодильнику теплоту Q 2 Наконец, исходя из состояния 4, сожмѐм адиабатически газ так, чтобы он при- нял исходные объѐм V 1 и давление p 1 и нагрелся до температуры T 1 Анализ кругового цикла Карно показывает, что при его посредстве нельзя пол- ностью превратить тепло, заимствованное от нагревателя, в работу. Часть этого тепла непременно должна быть передана холодильнику. Если количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя равно Q 1 , а в работу преобразована часть энергии Q 1 -Q 2 , то отношение 1 2 1 Q Q Q (11) представляет собой коэффициент полезного действия цикла (точнее – тепловой ма- шины, работающей по этому циклу). Карно показал, что в случае идеального цикла 1 2 1 1 2 1 T T T Q Q Q (12) Коэффициент полезного действия (к. п. д.), следовательно, всегда меньше еди- ницы и зависит от соотношения между температурами нагревателя и холодильника. V p 1 2 3 4 T 1 T 2 Рис. 1 25 Цикл Карно на всех стадиях был проведѐн так, чтобы нигде не было соприкос- новения тел с различными температурами, что исключает возможность необратимых процессов теплопроводности. Это значит, что были обеспечены наилучшие условия для использования тепловой энергии. Поэтому более высокий к. п. д., чем представ- ленный формулой (2), получить принципиально нельзя. Тепловая машина, работающая при данных значениях температур нагревателя и холодильника, не может иметь к. п. д. больший, чем машина, работающая по об- ратимому циклу Карно при тех же значениях температур нагревателя и холодиль- ника. (Это утверждение составляет содержание первой теоремы Карно). Из формулы (12) видно, что коэффициент полезного действия цикла Карно не зависит от рода рабочего тела, а только от температур нагревателя и холодильни- ка. ( Это вторая теорема Карно). Вернѐмся к циклу Карно и обратим более пристальное внимание на те измене- ния состояния, которые претерпело рабочее тело в этом цикле. Мы видели, что обра- тимый переход из состояния 1 в состояние 2 и обратный переход из 2 в 1 сопровож- даются не одинаковыми количествами поглощенного и выделенного тепла. Очевидно, это связано с тем, что оба перехода были произведены различными путями: в одном случае (из 1 в 2) процесс расширения происходил при давлении более высоком, чем процесс сжатия в другом (при переходе из 2 в 1). Иначе говоря, количество теплоты не является функцией состояния системы. В первом начале термодинамики это под- черкивалось тем, элементарные количества теплоты и работы обозначались как Q и A Но если сами количества теплоты Q 1 , доставленной телу от нагревателя при температуре T 1 , и Q 2 , переданной им холодильнику при температуре Т 2 , не равны друг другу, то отношения этих теплот к тем температурам, при которых они были по- глощены или отданы, численно равны между собой (но имеют противоположные зна- ки) 2 2 1 1 T Q T Q Отношение Q i /T i называют приведѐнной теплотой, так что последнее равенство гово- рит о равенстве приведенных теплот, полученных и отданных рабочим телом при круговом процессе. Эта особенность теплоты позволяет ввести особую термодинамическую функ- цию – энтропию, имеющую фундаментальное значение в физике. Можно показать, что для обратимых круговых процессов 0 T Q (13) Это означает, что при всяком обратимом некруговом процессе значение T Q не зависит от пути, по которому происходит процесс. Это даѐт право утверждать, что существует некоторая величина S, являющаяся функцией состояния системы, изменение которой S 1 -S 2 при обратимом переходе сис- темы из состояния 1 в состояние 2 равно: 2 1 1 2 T Q S S (14) 26 Равенство (2) позволяет определить не абсолютное значение функции, соответст- вующее данному состоянию, а лишь еѐ изменение при переходе из одного состояния в другое. Определѐнная таким образом величина S называется энтропией. На практике всегда требуется знать не саму величину S, а только еѐ изменение при изменении состояния системы. Поэтому безразлично, какому именно состоянию приписать нулевую энтропию. Принято считать, что энтропия равна нулю при абсо- лютном нуле температуры. Изменение энтропии системы, которой сообщено бесконечно малое количество тепла δQ, определяется, очевидно, соотношением: T Q dS (15) Перепишем первое начало термодинамики в виде: A dU TdS (16) Это уравнение носит название термодинамического тождества. Его часто на- зывают вторым началом термодинамики для обратимых процессов. Если система замкнутая (замкнутая в том смысле, что она изолирована от внешних источников теп- лоты, как отдающих ей тепло, так и поглощающих теплоту) то при любом обратимом процессе в ней энтропия в ней остаѐтся неизменной. Если круговой процесс необратим, то 0 T Q (17) Это соотношение называется неравенством Клаузиуса. Используя неравенство Клаузиуса, можно доказать, что энтропия замкнутой системы при необратимом про- цессе возрастает. Этот закон возрастания энтропии при необратимых процессах – одна из важнейших особенностей величины энтропии. Он тем более важен, что как уже ука- зывалось, понятие об обратимом процессе является идеализацией. Для необратимых процессов в замкнутых системах энтропия, как показывает опыт и теория, всегда возрастает, и это свойство так же присуще энтропии, как энер- гии свойственно сохраняться при любых процессах в замкнутых системах. Именно потому, что энергия обладает свойством сохраняться в замкнутой сис- теме, энергия не может служить функцией, показывающей, в каком направлении идут процессы в такой системе. При любом изменении состояния системы энергия в нача- ле и в конце процесса одна и та же и, поэтому, она не даѐт возможности отличить друг от друга начальное и конечное состояния. Энтропия же при естественно идущих процессах всегда возрастающая, и, поэтому, позволяет судить, какое направление процесса возможно, а какое нет, какое состояние является начальным, а какое конеч- ным. Рост энтропии в любом процессе продолжается не беспредельно, а лишь до оп- ределенного максимального значения, характерного для данной системы. Это мак- симальное значение энтропии соответствует состоянию равновесия, и после того, как оно достигнуто, какие бы то ни было изменения состояния, в отсутствие внешне- го воздействия, прекращаются. Таким образом, энтропия как функция состояния системы существенно отлича- ется от энергии. В то время как энергия не может быть ни создана, ни уничтожена, энтропия может создаваться и она постоянно создаѐтся во всяком процессе перехода |