Лекции по физике. Лекция 1 предмет физики. Измерения физических величин. Погрешности измерения физических величин и их оценки система отсчета, классификация движений, скорость и ускорение при поступательном и вращательном движении
 Скачать 0.81 Mb.
|
|
Статистическое истолкование второго начала термодинамики и энтропии Статистический подход ко второму началу термодинамики основан на приме- нении к оценке того или иного состояния системы понятия вероятности. Чем ближе состояние системы к равновесному, тем большей мы можем считать его вероятность. Поэтому в системе происходят только такие самопроизвольные изменения, при кото- рых она переходит из менее вероятного состояния в более вероятное и в пределе в наиболее вероятное — равновесное состояние. Для того чтобы пояснить эти общие соображе- ния, рассмотрим газ, заключенный в сосуде, разде- ленном пополам решеткой (рис. 1). Вероятность того, что данная молекула А находится в левой половине сосуда, есть W A = 1/2. Такова же вероятность W B то- го, что какая-то другая молекула В расположилась слева. Вероятность того, что обе молекулы находятся слева, равна W AB = W A W B = (1/2) 2 . Если в сосуде на- ходится N молекул, то вероятность того, что все они соберутся слева, равна W N = (1/2) N (18) При большом числе молекул W N очень мало, т.е. вероятность того, что все мо- лекулы соберутся сами в одной половине сосуда, пренебрежимо мала, и мы считаем этот процесс невозможным. Если искусственно собрать все молекулы в одной половине сосуда, а потом уб- рать перегородку, то произойдет естественный процесс перехода из маловероятного состояния в более вероятное — газ расширится и распределится почти равномерно по обеим половинам сосуда. Этот процесс необратим в том смысле, что вероятность об- ратного попадания всех молекул в одну половину сосуда ничтожно мала. Дадим теперь более строгое определение понятия вероятности состояния. Вер- немся к распределению молекул в объеме сосуда, изображенного на рис. 1. Предпо- ложим, что в нем находится всего четыре молекулы, которые мы обозначим А, В, С, D. Эти молекулы можно разместить в обеих половинах сосуда 2 4 = 16 различными способами. Пусть каждому из размещений молекул соответствует определенное со- стояние системы. Такие состояния не одинаково вероятны. Например, состояние, при котором все молекулы собрались в левой половине сосуда, может осуществиться лишь одним спо- собом, и вероятность его равна 1/16. Состояние, при котором в левой части сосуда находится одна молекула, а в правой три, осуществляется четырьмя способами, и его вероятность равна 4/16. Состояние, при котором в каждой половине сосуда находится по две молекулы, осуществляется наибольшим числом способов — шестью, его ве- роятность равна 6/16. В общем случае, когда в сосуде находится N молекул, их можно разместить между двумя половинами сосуда 2 N способами, причем, число Г размещений, при ко- A C B D Рис. 1 28 тором в одной половине сосуда (например, в левой) находится n молекул, а в другой N - n молекул, равно )! ( ! ! n N n N Г (19) Вероятность этого размещения N N N n N n N Г ГW W 2 )! ( ! ! 2 (20) Если же рассматривается размещение молекул между частью объема сосуда V и остальным объемом, то N N N q n N n N q Г q ГW W )! ( ! ! ) ( (21) Величины Г и W не зависят от того, какие именно молекулы находятся в одной, а какие в другой части сосуда. Выше мы предполагали, что в принципе можно зану- меровать все молекулы и следить за ними. Однако фактически представляет интерес не распределение каких-то определенных молекул, а просто распределение числа мо- лекул по обеим частям сосуда. Полученные выше выражения отвечают именно на этот вопрос, т.е. могут служить для характеристики состояния системы. Число размещений Г и вероятность W достигают максимальных значений при n = N/2, т.е. при равномерном распределении молекул по обеим половинам сосуда. Это состояние газа в сосуде и является равновесным. Если в одной половине сосуда со- берется больше молекул, чем в другой, то такое состояние будет неравновесным, и будет происходить процесс, при котором система перейдет в более вероятное состоя- ние с равномерным распределением молекул по всему объему сосуда. Каждое состояние системы можно характеризовать не только его математической ве- роятностью W, но и числом способов Г, которым это состояние можно осуществить. Число Г называется статистическим весом состояния. Часто его называют также термодинамической вероятностью. Заметим, что в отличие от математической веро- ятности, которая не может превышать единицы, статистический вес Г (термодинами- ческая вероятность) выражается большими числами. Сопоставляя поведение двух величин, а именно энтропии и вероятности какого- то состояния, можно найти в них много общего. И энтропия, и вероятность возраста- ют при приближении системы к равновесию, достигая максимума при равновесном состоянии. Поэтому естественно предположить, что энтропия связана с вероятностью состояния. Соотношение этих величин было установлено Больцманом. Для того чтобы найти связь энтропии состояния S и его вероятности W, вос- пользуемся их свойствами. Энтропия системы по своему смыслу представляет собой величину аддитивную. Это означает, что если система состоит, например, из двух ча- стей, то энтропия всей системы равна сумме энтропии S 1 и S 2 составляющих ее час- тей, т. е. S = S 1 +S 2 (22) С другой стороны, если вероятность состояния первой части системы есть W 1 , а вероятность состояния второй части системы равна W 2 , то вероятность состояния сис- темы в целом равна их произведению, т. е. W = W 1 +W 2 (23) 29 Предполагая, что S = f (W), и учитывая два последних соотношения, находим уравнение f (W 1 W 2 ) = f (W 1 ) + f (W 2 ). (24) Легко убедиться, что оно удовлетворяется при условии f (W) = a ln W + c, (25) где а и с — константы. Таким образом, энтропия системы в некотором состоянии пропорциональна логарифму вероятности этого состояния. Учитывая, что вероятность состояния системы пропорциональна статистиче- скому весу, формулу (13) можно привести к виду S = k ln Г. (26) Формула (26) называется формулой Больцмана. Таким образом, энтропия, соответствующая данному состоянию, равна про- изведению постоянной Больцмана на натуральный логарифм термодинамической ве- роятности этого состояния. Вследствие того, что энтропия, в согласии с формулой Больцмана, имеет про- стое статистическое истолкование, приобретает статистический характер и второе на- чало термодинамики. Формулировка второго начала, приведенная ранее, теряет свою категоричность. Второе начало термодинамики следует теперь понимать как утвер- ждение о наиболее вероятном направлении протекания процессов в изолированной системе. А именно, можно утверждать, что очень велика вероятность такого процес- са, при котором система переходит из какого-то начального состояния в более близ- кое к равновесному, и, значит, в более вероятное состояние. Самопроизвольное уда- ление системы от состояния равновесия имеет очень малую вероятность, но не ис- ключается полностью. Поэтому второе начало надо понимать следующим образом: если система находится в каком-то состоянии с данной энтропией, то с очень боль- шой вероятностью следует ожидать ее перехода в состояние с большей энтропией; иными словами, наиболее вероятным изменением энтропии является еѐ возрастание. Возможные в принципе процессы, в которых энтропия не возрастает, а умень- шается, все время происходят в природе. Однако вероятность таких процессов тем меньше, чем больше отклонение энтропии от значения, соответствующего равнове- сию. Таким образом, принцип возрастания энтропии носит лишь статистический ха- рактер и от него возможны отклонения. Вероятность отклонения состояния системы от равновесного, в соответствии с последним соотношением, определяется величиной флуктуации энтропии. Чем больше флуктуация, тем менее вероятно отклонение с та- кой флуктуацией. Однако в принципе не исключено возникновение даже очень боль- ших флуктуаций, соответствующих значительным отступлениям системы от равно- весного состояния. При увеличении плотности газа его свойствавсѐ сильнее и сильнее отклоняют- ся от свойств идеального газа. Эти отклонения обусловлены сложными межмолеку- лярными взаимодействиями, которые очень быстро изменяются при увеличении рас- стояния между молекулами и, вообще говоря, зависят от их взаимной ориентации. Молекулы представляют собой сложные системы электрических зарядов. Силы взаимодействия между ними могут быть охарактеризованы следующим образом: при больших расстояниях r между молекулами энергия взаимодействия между ними мала – молекулы можно считать невзаимодействующими. При сближении молекул сначала между ними действуют в основном силы притяжения. По мере уменьшения расстоя- 30 ния r, растѐт вклад сил отталкивания молекул. На расстоянии r = r 0 силы притяжения уравновешиваются силами отталкивания (r 0 – равновесное расстояние, при этом зна- чении расстояния между молекулами потенциальная энергия взаимодействия молекул имеет минимум). При r < r 0 силы отталкивания преобладают над силами притяжения. Величина r 0 играет роль «радиуса» молекул. Итак, реальные газы отличаются от иде- альных тем, что его молекулы имеют конечные размеры и взаимодействуют между собой. Для уточнения уравнения состояния газов нужно прежде всего учесть собст- венный объѐм молекул. Рассмотрим один моль газа. Вследствие конечного размера молекул объѐм, предоставленный для движения молекул, меньше геометрического объѐма сосуда V на некоторую величину b. Таким образом, в уравнении состояния вместо V нужно подставить (V-b). Тогда, уравнение состояния газа примет вид: RT b V p ) ( (1) По смыслу величины b она представляет собой объѐм 1 моля газа при очень большом давлении, т.е. собственный объѐм молекул при их плотной «упаковке». Бо- лее точный подсчѐт даѐт b = 4N A V 1 , где V 1 – объѐм одной молекулы. Наличие сил притяжения между молекулами приводит к появлению дополни- тельного давления p i , которое называется внутренним или молекулярным давлением. Таким образом, вместо p нужно взять в уравнении состояния p +p i . Уравнение со- стояния реального газа для одного моля принимает вид: RT b V p p i ) ( ) ( (2) Уравнение состояния в этой форме было установлено Ван-дер-Ваальсом. Мож- но показать, что внутреннее давление p i равно 2 V a p i Введѐнные таким образом величины a и b называются поправками Ван-дер- Ваальса. Их значения зависят от природы газа. Для исследования поведения реального газа, рассмотрим определяемые урав- нением Ван-дер-Ваальса изотермы – кривые зависимости p от V при заданных значе- ниях T. С этой целью перепишем уравнение (2) в виде 0 ) ( 2 3 p ab V p a V p RT b V (3) При заданных значениях р и Т это уравнение является уравнением третьей сте- пени относительно неизвестного V. Как известно уравнение третьей степени имеет три корня, из которых вещест- венными могут быть либо все три, либо один (другие два корня будут комплексно- сопряженными). Физическим смыслом могут обладать лишь вещественные (причѐм положительные) корни. Поэтому заданным значениям температуры и давления по уравнению Ван-дер-Ваальса соответствуют либо три различных, либо одно значение объѐма. На рис. 1. изображена одна из изотерм Ван-дер-Ваальса. Выясним, какой смысл имеют различные еѐ участки. На участках ge и ca зависимость давления от объѐма имеет нормальный харак- тер – давление возрастает при уменьшении объѐма. Участок же ec соответствовал бы 31 неестественному положению, ко- гда сжатие вещества приводило бы к уменьшению давления. Та- кие состояния не могут осуществ- ляться в природе. Наличие заведомо неосуще- ствимого участка ec изотермы оз- начает, что при постепенном из- менении объѐма вещество не мо- жет оставаться всѐ время в виде однородной среды; в некоторый момент должно наступить скачко- образное изменение состояния и распадения вещества на две фазы. Другими словами, истинная изотерма будет иметь вид ломаной линии abfg. Часть еѐ ab отвечает газообразному состоянию вещества, а часть fg – жидкому состоянию. Горизонтальный же прямолинейный отрезок bf соот- ветствует двухфазным состояниям – переходу газа в жидкость, происходящему при определенном постоянном давлении. При повышении температуры прямолинейный участок изотермы уменьшается и при критической температуре стягивается в одну точку. Эта точка называется критической. В этой точке все три корня уравнения Ван- дер-Ваальса совпадают и равны V к ., поэтому, при критических параметрах Т к , р к уравнение Ван-дер-Ваальса должно иметь вид 0 ) ( 3 k V V (4) Сравнивая его с уравнением (17.3) нетрудно установить, что bR a T b a p b V k k k 27 8 , 27 , 3 2 c e f g р V a b d Рис. 1 32 ЛЕКЦИЯ 2 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК Закон Ома для замкнутой цепи. Сторонние силы ЭДС источника тока. Закон Ома для неоднородного участка цепи. Напряжение. Тепловое действие тока. КПД цепи постоянного тока. Если бы все действующие на носители тока силы сводились к силам электроста- тического поля, то под действием этих сил положительные носители перемещались бы из мест с большим потенциалом к местам с меньшим потенциалом, а отрицатель- ные носители двигались бы в обратном направлении. Это привело бы к выравнива- нию потенциалов, и в результате все соединенные между собой проводники приобре- ли бы одинаковый потенциал, а ток прекратился. Чтобы этого не произошло, в цепи постоянного тока наряду с участками, где по- ложительные носители тока движутся в сторону уменьшения потенциала φ, должны иметься участки, на которых перенос положительных носителей происходит в сторо- ну возрастания φ, т. е. против сил электрического поля. Перенос носителей на этих участках возможен лишь с помощью сил не электростатического происхождения. Это так называемые сторонние силы. Сторонние силы непрерывно разделяют электриче- ские заряды и поддерживают постоянство имеющихся полей. Физическая природа сторонних сил может быть весьма различной. Они могут быть обусловлены, например, химической и физической неоднородностью проводни- ка – таковы силы, возникающие при соприкосновении разнородных проводников (гальванические элементы, аккумуляторы) или проводников различной температуры (термоэлементы) и др. Обобщенный закон Ома в дифференциальной форме имеет вид: * ( ) j E E Сторонние силы совершают работу. Электродвижущей силой (ЭДС) источника тока называют величину E , равную отношению работы сторонних сил при переме- щении положительного заряда по всей цепи к заряду. Закон Ома для замкнутой цепи имеет вид: I R r E , где ( R r ) – полное сопротивление цепи, которое складывается из сопротивления на- грузки R и внутреннего сопротивления источника тока r, а ЭДС равна * l E dl E Общее количество выделяемой за единицу времени джоулевой теплоты (мощность тока) во всей цепи равно мощности только сторонних сил: 0 dQ dt I N E , Это соотношение с учѐтом обобщѐнного закона Ома можно переписать в виде: 33 2 2 0 I R r R r E N Полная мощность 0 N , развиваемая источником тока, идѐт на выделение тепла во внешнем и внутреннем сопротивлениях. Мощность, выделяемая на внешнем сопро- тивлении, называется полезной мощностью и равна 2 2 2 полезн R I R IU R r E N Мощность, выделяемая на внутреннем сопротивлении, использована быть не может и называется теряемой мощностью 2 2 2 тер r I r R r E N Коэффициент полезного действия цепи η равен 0 полез R R r N N ЗАКОНЫ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА Цепи квазистационарного переменного тока, векторные диаграмммы. Работа и мощность переменного тока. Эффективные значения силы тока и напряжения. Резонансы в цепи переменного тока. Если в цепях переменного тока, кроме резисторов, имеются емкости или индук- тивности, то максимальные значения тока 0 I и напряжения 0 U не будут совпадать по времени. Переменный ток считают эквивалентным постоянному току такой же мощ- ности, и таким образом определяют эффективные (или действующие) значения на- пряжения и силы тока: 0 2 д I I , 0 2 д U U Сопротивление проводников, вычисляемые по закону Ома для участка цепи, одинаково как для постоянного, так и для переменного тока. Его называют омическим или активным сопротивлением. Кроме активных в цепях переменного тока есть ре- активные сопротивления, они отличаются от активных тем, что не преобразуют элек- трическую энергию в тепло. Резистор в цепи переменного тока. Сила тока и напряжение на нем изменяются в фазе, т.е. одновременно достигают экстремальных значений. Мгновенная мощность, рассеиваемая на резисторе R, равна 2 2 2 0 sin I R I R t N Средняя мощность равна 2 2 0 0 1 1 2 2 U I R R N Конденсатор в цепи переменного тока. Конденсатор имеет в цепи постоянного тока 34 бесконечно большое сопротивление. Если же приложить к конденсатору переменное напряжение, то он будет периодически перезаряжаться, и в цепи потечет ток. Заряд q на обкладках изменяется в фазе с напряжением. Сила тока опережает напряжение на π/2 радиан или на 90˚. Конденсатор в цепи переменного тока, подобно резистору, затрудняет перетекание заряда, так как на его обкладках накапливается заряд. Для конденсатора амплитудные значения тока и на- пряжения связаны между собой законом Ома 0 C C U I X , где 1 C X C Величина X C называется реактивным емкостным сопротивлением и измеряется в омах. Индуктивность в цепи переменного тока. Индуктивность в цепи переменного тока вызывает запаздывание тока, сила тока отстает от напряжения на 2 Амплитудное значение силы тока 0 0 I L E Как и в случае конденсатора, можно написать соотношение между пиковыми значениями силы тока и напряжения на катушке 0 0 L U I X , где величина L X L − реактивное индуктивное сопротивление, также измеряется в омах. Полное сопротивление Z цепи переменного тока определяется геометрической суммой активного и реактивных сопротивлений: 2 2 2 2 1 L C Z R X X R L C Напряжение источника сдвинуто по фазе относительно силы тока на угол : 0 0 cos R U R Z E , где 0 E – пиковое значение ЭДС источника. Мощность рассеивается только на активном сопротивлении R; на реактивном сопротивлении катушки или конденсатора мощность не рассеивается. Следовательно, средняя мощность 2 эфф I R N . Но cos R Z , откуда 2 cos cos эфф эфф эфф I Z I E N Множитель cos называется коэффициентом мощности цепи. Для чисто актив- ного сопротивления cos = 1. Для чисто реактивного сопротивления cos = 0, и рассеиваемая мощность равна нулю. |