Лекция 1 Приближённые методы решения слау
 Скачать 0.74 Mb.
|
|
2.1) Отделение корней. Всякое значение λ, обращающее функцию f(x) в нуль, т. е. такое, что f(λ) = 0, называется корнем уравнения (1) или нулём функции f(x). Отделить корни − это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень. Отделение корней можно произвести двумя способами − графическим и аналитическим. Графический метод отделения корней: a) строят график функции у = f(x) для уравнения вида f(x) = 0. Значения действительных корней уравнения являются абсциссы точек пересечения графика функции у = f(x) с осью Ох (рис.1); b) представляют уравнение (1) в виде φ(х) = g(x) и строят графики функций у = φ(х) и у = g(x). Значения действительных корней уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций у = φ(х) и у = g(x) (рис.2). Отрезки, в которых заключено только по одному корню, легко находятся.  Рис.1. Рис.2. А  налитический метод отделения корней основан на следующей теореме: если непрерывная на отрезке  функция  принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е.  , то внутри этого отрезка находится хотя бы один корень уравнения  ; если при этом производная  сохраняет знак внутри отрезка , то корень является единственным.Уточнение корней до заданной точности. То есть сужение отрезка локализации корня [a,b]. Рассмотрим несколько методов. 1) Метод половинного деления (дихотомии). Пусть корень отделён и принадлежит отрезку . Находим середину отрезка по формуле  (рис.3). Если  , то с – искомый корень.  Если  , то в качестве нового отрезка изоляции корня  выбираем ту половину  или  , на концах которой  принимает значения разных знаков. Другими словами, если  , то корень принадлежит отрезку , если  - отрезку . Полученный отрезок снова делим пополам, находим  , Рис. 3. Рис.3 Вычисляем  , выбираем отрезок  и т.д. Как только будет выполнено  , то в качестве приближенного значения корня, вычисленного с точностью  , можно взять  . После каждой итерации отрезок, на котором расположен корень уменьшается вдвое, то есть после n итераций он сокращается в 2n раз. Таким образом, число итераций n в данном методе зависит от предварительно заданной точности ε и от длины исходного отрезка и не зависит от вида функции f(x). Это является важным преимуществом метода половинного деления по сравнению с другими методами. Метод, однако, медленно сходится при задании высокой точности расчёта.2) Метод хорд. Пусть на отрезке [a,b] функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производные f ′(x) и f ″(x) сохраняют постоянный знак на интервале (a,b). Тогда возможны четыре случая расположения дуги кривой (рис.4).     Рис.4. В методе хорд за очередное приближение берём точку пересечения с осью Х прямой (рис.5), соединяющей точки (a,f(a)) и (b,f(b)) Причём одна из этих точек фиксируется − та, для которой знаки f(x) и f ″(x) одинаковы. Для рис.5 неподвижным концом хорды является х =a. Уравнение хорды АВ:  Точка пересечения хорды с осью Х (у=0):  .Теперь корень находится на отрезке [a,c1]. Заменяем b на с1.  Рис.5. Иллюстрация метода хорд. Применяя метод хорд к этому отрезку, получим:  .Продолжим и т.д., получим:  (2) Условие окончания вычислений: │сn+1 − cn│< ε или │f(cn)│< ε1. Для оценки погрешности можно пользоваться общей формулой:  , где  Итак, если f (x)∙f″(x) > 0, то приближённое значение корня находят по формуле (2), если f′(x)∙f″(x) < 0 (т.е. фиксируется х = b), то по формуле:  . (3)3) Метод Ньютона (касательных). Пусть на отрезке [a,b] функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производные f ′(x) и f ″(x) сохраняют постоянный знак на интервале (a,b). Геометрический смысл метода касательных состоит в том, что дуга кривой y = f(x) заменяется касательной к этой кривой.  Рис.7. Иллюстрация метода касательных. Выберем в качестве начального приближения х0 = a и проведём в точке А0(a,f(a)) касательную к графику функции f(x). Абсцисса пересечения касательной с осью Ох (у = 0) является первым приближением к корню (рси.7):  или х0 =   .Через точку А1(х1;f(x1)) снова проведём касательную, абсцисса точки пересечения которой даст второе приближение х2 корня ξ и т.д. Очевидно, что в точке Аn(xn;f(xn)): y − f(xn) = f ′(xn)(x−xn) и алгоритм метода Ньютона запишется так:  (4)Заметим, что в нашем случае, если положить х0 = b и провести касательную к кривой у = f(x) в точке b, то первое приближение не принадлежит отрезку [a,b]. Таким образом, в качестве начального приближения х0 выбирается тот конец интервала [a,b], для которого знаки f(x) и f ″(x) одинаковы. Условие окончания вычислений: │сn+1 − cn│< ε или │f(cn)│< ε1. Для оценки погрешности можно пользоваться общей формулой , где 4) Комбинированный метод (хорд и касательных). Методы хорд и касательных дают приближения корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом, и уточнение корня происходит быстрее. Пусть дано уравнение f(x)=0, корень ξ отделён и находится на отрезке [a,b]. Применим комбинированный метод хорд и касательных с учётом типа графика функции (рис.4). Если f (x)·f ″(x) < 0 (рис.4 в, г), то методом хорд получаем значение корня с избытком, а методом касательных – с недостатком. Если f (x)·f ″(x) > 0 (рис.4 а, б), то метод хорд даёт приближение корня с недостатком, а метод касательных – с избытком. Рассмотрим случай, когда f (b) < 0, f ″(x) > 0 (рис.8), то со стороны конца а лежат приближённые значения корня, полученные по методу касательных, а со стороны конца b – значения, полученные по методу хорд.  Рис.8 Иллюстрация комбинированного метода. Тогда  ,  .Теперь истинный корень ξ находится на интервале [a1,b1]. Применяя к этому интервалу комбинированный метод, получаем  ,  и вообще  ,  . (5)Для случая, когда f (b)·f ″(x) > 0, то рассуждая аналогично, получим следующие формулы для уточнения корня уравнения:  ,  . (6) Комбинированный метод очень удобен при оценке погрешности вычислений. Процесс вычислений прекращается, как только станет выполняться неравенство |bn+1–an+1| < ε. Корень уравнения есть среднее арифметическое последних полученных значений: ξ=(an+1+bn+1)/2 Лекция 5. Приближённое решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть функция у = f(x,y) отражает количественную сторону некоторого явления. Рассматривая это явление, мы можем установить характер зависимости между величинами х и у, а также производными от у по х, т.е. написать дифференциальное уравнение. Определение: Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y=f(x) и её производные. Запись: F( x, y, y′, y′′,…, y(n)) = 0 или  .Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. у′-2ху3+5=0----- уравнение первого порядка, у″+ky′-by-sinx=0------ уравнение второго порядка. Задача Коши (для уравнения первого порядка): у′ = f(x, y) (1) найти решение y = y(x), удовлетворяющее начальному условию: у(х0)=у0. (1*). Т.е. найти интегральную кривую, проходящую через точку М(х0, у0). Если f(x,y) непрерывна в области R: |x-x0| < a, |y-y0| < b, то существует по меньшей мере одно решение у = у(х), определённое в некоторой окрестности: |х-х0| < h, где h ― положительное число. Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица:  (2)Где N― постоянная (константа Липшица), зависящая в общем случае от a и b. Если f(x,y) имеет ограниченную производную  в R, то можно положить:  Для дифференциального уравнения n-го порядка: у(n)=f(x,y,y′,…,y(n-1)) задача Коши состоит в нахождении решения у = у(х), удовлетворяющего начальным условиям: у(х0) = у0, у′(х0) = у′0, …, у(n-1)(x0) = y(n-1)0 ― заданные числа.  Функция у = f(x, C1, C2,…, Cn), где С1,…, Сn― произвольные постоянные, называется общим решением ОДУ или общим интегралом. Эти постоянные можно определить с помощью начальных условий. Решение ДУ при заданных начальных условиях называется его частным решением. Определение: задача называется краевой, если указывается интервал интегрирования [a,b] и ставятся дополнительные условия для значений функции у и её производных на концах этого интервала. Процесс познания закономерностей и стремление создать детальную картину исследуемых явлений приводит к более сложной количественной оценке, отражающей эти явления, а именно к функции многих переменных, зависящих как от пространственных координат, так и от времени u = f(x1, x2,…, xn, t). Определение: Дифференциальным уравнением с частными производными называется уравнение, связывающее независимую переменные х1, х2, …, хn, t, искомую функцию u = f (х1, х2, …, хn, t) и её частные производные:  .Постановка задачи. Дано дифференциальное уравнение первого порядка: у′ = f(x,y) (1). Требуется найти решение этого уравнения на отрезке [x0, xmax], удовлетворяющее начальным условиям: у(х0) = у0 (2). В вычислительной практике более предпочтительным являются численные методы нахождения приближённого решения в фиксированных точках: х0 Большинство численных методов решения задачи (1) с начальными условиями (2) можно привести к виду:  (3).― при r = 1, а1 = 1, b0 = 0 методы вида (3) называются одношаговыми ( чтобы найти yi+1 требуется информация только о предыдущей точке (xi, yi)). ― при r > 1 и b0 = 0 ― явными многошаговыми. ― при r > 1 и b0 ≠ 0 ― неявными многошаговыми. Многошаговость нарушает однородность вычислительного процесса, используя для получения недостающей информации другие вычислительные схемы ( например, одношаговые). А) Метод Эйлера.
строится по формулам: yk+1 = yk + h∙f(xk,yk) xk+1 = xk + h, k = 0,…,n-1, h=(xn-x0)/n (4) Абсолютная погрешность формулы (4) на каждом шаге имеет порядок h2  (5)Формула (4) означает, что на отрезке [xk, xk+1] интегральная кривая y = y(x) приближённо заменяется прямолинейным отрезком, выходящим из точки М(хk;уk) с угловым коэффициентом f(хk;уk). В качестве приближения искомой интегральной кривой получаем ломаную линию с вершинами в точках М0(х0;у0), М1(х1;у1),…, Мn(хn;уn). Первое звено касается истинной интегральной кривой в точке М0(х0;у0). Метод Эйлера может быть применён к решению системы ОДУ и ДУ высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе ОДУ первого порядка. Пусть задана система ОДУ первого порядка:  (6)с начальными условиями: у(х0) = у0, z(х0) = z0 (7) Приближённые значения у(хi) ≈ yi, z(хi) ≈ zi вычисляются по формулам:  (8)Метод Эйлера обладает двумя существенными недостатками: 1) малой точностью (метод первого порядка точности); 2) систематическое накопление ошибок. |