Лекции по кинематике. Лекция 10 Кинематика Вопросы Основные понятия

• Название: Лекция 10 Кинематика Вопросы Основные понятия
• Анкор: Лекции по кинематике.doc
• Дата: 27.09.2017
• Размер: 5.66 Mb.
• Имя файла: Лекции по кинематике.doc
• Тип: Лекция; #9010
• страница: 1 из 3

Лекция 10

Кинематика

Вопросы

1. Основные понятия

2. Основные задачи кинематики

3. Способы задания движения точки
1. Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучаются геометрические свойства механического движение тел, без учета их масс и действующих на них сил.

Под механическим движением понимается изменение с течением времени положение тела в пространстве по отношению к другим телам. Для того чтобы определить изменение положения тела по отношению к другому телу, с последним связывают какую-либо систему координатных осей, называемую системой отсчета. В зависимости от тела, с которым она связана, система отсчета может быть как подвижной, так и неподвижной. Тело движется по отношению к выбранной системой отсчета, если с течением времени изменяются координаты хотя бы одной из его точек; в противном случае тело по отношению к данной системе отсчета будет находиться в состоянии покоя. Таким образом, покой и движение - понятия относительные, зависящие от выбора системы отсчета.

Механическое движение происходит в пространстве и во времени. При этом пространство считается трехмерным евклидовым пространством. Все измерения в нем производятся на основании методов евклидовой геометрии. За единицу длины при измерении расстояния принят 1 метр. Время в механике считается универсальным, т.е. протекающем одинаково во всех системах отсчета. За единицу времени принимается 1 секунда.

В задачах кинематики время t принимается за независимое переменное (аргумент). Все другие переменные величины (расстояние, скорость, ускорение и т.д. ) рассматриваются как функции времени t. Отсчет времени ведется от некоторого начального момента (t = 0), о выборе которого в каждом случае уславливаются. Всякий данный момент времени t определяется числом секунд, прошедшим от начального момента; разность между какими-нибудь двумя моментами времени называется промежутком времени.

Для решения задач кинематики необходимо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано). Движение тела считается заданным, если известно положение всех его точек (относительно выбранной системы отсчета) в любой момент времени.
2. Две основные задачи кинематики

Основными задачами кинематики являются:

а) установление математических способов задания движения тел в произвольно выбранной системе отсчета,

б) определение по заданному движению тела всех основных кинематических характеристик (траектории, скорости, ускорения) любой из его точек. Рассмотрим решение этих задач для одной точки.
Кинематика точки

3. 
   Способы задания движения точки
   

Для задания движения в кинематике используются три способа: векторный, координатный и естественный.
а) Векторный способ задания движения точки.

Пусть точка М движется по некоторой кривой АВ. Положение точки M относительно начала некоторой системы координат можно однозначно определить с помощью радиус-вектора , начало которого неизменно связано с точкой О. Движение точки М будет полностью определено, если ее радиус вектор задан как функция времени. Векторное равенство:

(2.1)

называется векторным уравнением движения или законом движения точки в векторной форме.


Рис. 2.1. Векторный способ задания движения точки
При движении точки М длина и ориентация вектора будет меняться, а его конец будет вычерчивать в пространстве линию называемую годографом радиуса - вектора или траекторией движения точки М (рис. 2.1).

Выражая в (1) вектор через его проекции , получим:

,

или учитывая, что проекции радиуса-вектора равны координатам точки М:

r_x = x, r_y = y, r_z = z,

, (2.2)

где x(t), y(t), z(t) - текущие координаты движущейся точки М.
б) Координатный способ задания движения точки.

С векторным способом тесно связан координатный способ задания движения точки. Очевидно, что положение движущейся точки в пространстве будет однозначно определено, если будут известны текущие координаты точки, фигурирующие в выражении (1.2):

x = x(t), y = y(t), z = z(t). (2.3)

Уравнения (2.3) называются уравнениями движения или законом движения точки в координатной форме. Эти же уравнения можно трактовать как параметрические уравнения траектории, в которых роль параметра играет время t. Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, нужно из уравнений (3) исключить время t.

Пример 1.

Пусть движение точки задано уравнениями:

x = t², y = t,

где t измеряется в секундах, x и y в метрах. Определить уравнение траектории.

Исключая из уравнений движения t, получим уравнение траектории

t = y, x = y².


Поскольку время t >0, координата y в исходных уравнениях движения не может быть отрицательной. Следовательно, траекторией движения будет лишь верхняя ветвь параболы x = y² .

Рис. 2.2. Вид траектории точки в примере 1
Пример 2.

Движение точки в плоскости xOy описывается уравнениями:

x = 3 sin 4t , y = 4 cos 4t .

Найти уравнение траектории в координатной форме.

Решение: Перепишем исходные уравнения движения в виде:

x/3 = sin4t , y/4 = cos4t

возводя оба уравнения в квадрат и складывая их почленно, получим уравнение траектории в координатной форме: .


Рис. 2.3. Вид траектории движения точки в примере 2
в) Естественный способ задания движения точки.

Рассмотрим естественный способ задания движения точки, когда отдельно задается:

- траектория движения;

- начало и положительное направление отсчета;

- закон движения точки по траектории: S = S(t),

где S - дуговая координата (расстояние, измеренное от выбранного на траектории начала отсчета до текущего положение точки на траектории).


Рис. 2.4. Естественный способ движения точки
Поскольку одно и то же движение точки может задаваться тремя различными способами, между ними должна существовать связь и от одного способа задания можно переходить к другому. Такой переход от векторного способа к координатному и наоборот очевиден (формулы 2.2, 2.3). Рассмотрим пример перехода от естественного способа задания движения к координатному:

Пусть точка движется по окружности x² + y² = a² по закону S = Vt, где a и V заданные константы (рис. 2.5). Начало отсчета - точка М(а,0). Положительное направление отсчета координаты S - против хода часовой стрелки. Определить уравнения движения точки в координатной форме: x = x(t), y = y(t).



Рис. 2.5. Траектория, начало отсчета и положительное направление движения

Для обратного перехода к естественному способу задания движения нужно исключив время t из полученных уравнений движения, получить уравнение траектории , а затем по формуле и закон движения точки по траектории: .

Лекция 11

Вопросы

1. 
   Скорость точки.
   

2. Ускорение точки.
Перейдем к решению второй основной задачи кинематики точки - определению скорости и ускорения по уже заданному векторным, координатным или естественным способом движению.

1. 
   Скоростью точки называется векторная величина, характеризующая быстроту и направление перемещения точки. В системе СИ скорость измеряется в м/с.
   

a) Определение скорости при векторном способе задания движения.

Пусть движение точки задано векторным способом, т.е. известно векторное уравнение (2.1): .


Рис. 2.6. К определению скорости точки
Пусть за время t радиус-вектор точки М изменится на величину . Тогда средней скоростью точки М за время t называется векторная величина

.

Мгновенной скоростью (или далее - просто скоростью) называется предел при t стремящемся к нулю, т.е.

. (2.4)

Вспоминая определение производной, заключаем:

. (2.5)

Здесь и в дальнейшем знаком будем обозначать дифференцирование по времени. При стремлении t к нулю вектор , а, следовательно, и вектор , поворачиваются вокруг точки М и в пределе совпадают с касательной к траектории в этой точке. Таким образом, вектор скорости равен первой производной от радиус-вектора по времени и всегда направлен по касательной к траектории движения точки.
б) Скорость точки при координатном способе задания движения.

Выведем формулы для определения скорости при координатном способе задания движения. В соответствии с выражением (2.5), имеем:

.

Так как производные от постоянных по величине и направлению единичных векторов равны нулю, получаем

. (2.6)

Вектор , как и любой вектор, может быть выражен через свои проекции:

(2.7)

Сравнивая выражения (2.6) и (2.7) видим, что производные координат по времени имеют вполне определенный геометрический смысл - они являются проекциями вектора скорости на координатные оси. Зная проекции, легко вычислить модуль и направление вектора скорости (рис. 2.7):

или , (2.8)

, , . (2.9)


Рис. 2.7.К определению величины и направления скорости
в) Определение скорости при естественном способе задания движения.




Рис. 2.8. Cкорость точки при естественном способе задания движения

Согласно (2.4) ,

где - единичный вектор касательной. Таким образом,

, (2.10)

Величина V=dS/dt называется алгебраической скоростью. Если dS/dt>0, то функция S = S(t) возрастает и точка движется в сторону увеличения дуговой координаты S, т.е. точка движется в положительном направлении Если же dS/dt<0, то точка движется в противоположном направлении.
2. Ускорение точки

Ускорением называется векторная величина, характеризующая быстроту изменения модуля и направления вектора скорости. В системе СИ ускорение измеряется в м/с².
a) Определение ускорения при векторном способе задания движения.

Пусть точка М в момент времени t находится в положении М(t) и имеет скорость V(t), а в момент времени t + t находится в положении М(t + t) и имеет скорость V(t + t) (см. рис. 2.9).


Рис. 2.9. Ускорения точки при векторном способе задания движения
Средним ускорением за промежуток времени t называется отношение изменения скорости к t , т.е.

.

Предел при t  0 называется мгновенным (или просто ускорением) точки М в момент времени t

. (2.11)

Согласно (2.11), ускорение при векторном способе задания движения равно векторной производной от скорости по времени.

б). Ускорения при координатном способе задания движения.

Подставляя (2.6) в (2.11) и дифференцируя произведения в скобках, находим:

.

Учитывая, что производные от единичных векторов равны нулю, получаем:

. (2.12)

Вектор может быть выражен через свои проекции:

. (2.13)

Сравнение (2.12) и (2.13) показывает, что вторые производные от координат по времени имеют вполне определенный геометрический смысл: они равны проекциям полного ускорения на координатные оси, т.e.

, , .

Зная проекции, легко вычислить модуль полного ускорения и направляющие косинусы, определяющие его направление:

, , , . (2.14)

в).