Главная страница
Навигация по странице:

  • Рис. 2.31. Определение ускорений с помощью М.Ц.У.

  • Лекция 15

  • Рис. 2.32. К выводу формул сложения скоростей и ускорений

  • Лекции по кинематике. Лекция 10 Кинематика Вопросы Основные понятия


    Скачать 5.66 Mb.
    НазваниеЛекция 10 Кинематика Вопросы Основные понятия
    АнкорЛекции по кинематике.doc
    Дата27.09.2017
    Размер5.66 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаЛекции по кинематике.doc
    ТипЛекция
    #9010
    страница3 из 3
    1   2   3

    Рис. 2.30. К определению положения мгновенного центра ускорений
    от точки А под углом к вектору проведем отрезок AQ. При этом отрезок AQ должен быть отклонен от вектора ускорения в сторону направления углового ускорения . Длина отрезка AQ определяется равенством:
    . (2.44)
    Найденная таким образом точка Q и будет являться мгновенным центром ускорений. Действительно, по формуле распределения ускорений, имеем
    , где .

    Подставляя сюда AQ из (2.44), находим, что WQA = WA. Кроме того, вектор должен образовывать с линией AQ угол и, следовательно, вектор параллелен , но направлен в противоположную сторону. Поэтому

    и . Если теперь за полюс выбрать точку Q , то ускорение произвольной точки М, согласно (2.43) будет равно:

    , ,

    Следовательно, ускорения точек плоской фигуры определяются в каждый данный момент времени так, как если бы движение плоской фигуры было вращением вокруг мгновенного центра ускорений Q (рис. 2.31). При этом ускорения точек плоской фигуры будут пропорциональны их расстояниям от М.Ц.У.

    .

    Рис. 2.31. Определение ускорений с помощью М.Ц.У.



    Пример 2. Равносторонний треугольник АВС движется в плоскости чертежа. Ускорения вершин А и В равны в данный момент времени 16 см/с2 и направлены по сторонам треугольника. Определить ускорение третьей вершины С треугольника.

    Решение. Определим ускорение точки С используя понятие мгновенного центра ускорений. Для определения его положения необходимо знать угол между вектором Цщш и отрезком АВ. (см. рис 2.30). Очевидно, что в нашем случае этот угол равен 30º. Положение мгновенного центра ускорений Q определим как точку пересечения двух прямых, проведенных под углом  к векторам Цш и Цщ. Так как расстояния вершин треугольника от точки Q одинаковы, ЦЪ=16 см/с2 . Направление этого вектора показано на рисунке.
    Лекция 15

    1. Сложное движение точки.

    2. Определение скоростей и ускорений точки в сложном движении.
    1. Во многих задачах механики удобно считать, что движение точки относительно основной (условно неподвижной) системы отсчета состоит из нескольких более простых движений. Для этого вводят в рассмотрение вторую (подвижную) систему отсчета, движущуюся относительно основной. Теперь движение точки относительно неподвижной системы можно рассматривать как сумму одновременно происходящих двух движений: движения относительно подвижной системы отсчета и движения точки вместе с подвижной системой относительно неподвижной. Так, например, можно считать, что движение человека, идущего по эскалатору метро, по отношению к неподвижной стене туннеля (относительно неподвижной системы отсчета) состоит из двух движений, а именно из движения человека относительно движущегося эскалатора (относительно подвижной системы координат) и его движения вместе с эскалатором относительно неподвижной стены. Аналогичным образом могут быть представлены движения человека, плывущего по реке, по отношению к неподвижному берегу, движение поднимаемого мостовым краном груза при одновременном перемещении кран балки, движение снаряда в канале ствола зенитного орудия при одновременном вращении ствола в процессе слежения за целью и т.п.

    Такое движение точки, рассматриваемое одновременно в неподвижной и в подвижной системах отсчета, называется сложным или составным. При этом движение точки относительно основной (неподвижной) системы отсчета называется абсолютным. Скорость и ускорение точки в этом движении называется абсолютной скоростью и абсолютным ускорением и обозначаются и соответственно. Движение точки относительно подвижной системы отсчета называется относительным, а скорость и ускорение в этом движении - относительной скоростью и относительным ускорением .

    Движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной называется переносным движением. Скорость и ускорение той, неизменно связанной с подвижной системой отсчета точки пространства, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка, называется переносной скоростью и переносным ускорением . Так, в случае движения человека, идущего по эскалатору, переносной скоростью человека будет скорость ступеньки, на которой он в данный момент находится.

    2. Пусть в некоторый момент времени t точка М занимает положение, указанное на рисунке 2.32. Ее относительная траектория - кривая АВ , неизменно связанная с подвижной системой координат (на рисунке не показана).



    Рис. 2.32. К выводу формул сложения скоростей и ускорений

    Найдем абсолютное перемещение точки М за малый промежуток времени t = t1 - t . Точка М, двигаясь по кривой АВ (относительное движение), совершает за промежуток времени t относительное перемещение ММ" . В это же самое время сама кривая АВ перемещаясь с подвижными осями (переносное движение) займет положение А2В2. В результате этих двух перемещений точка М займет положение М1, относительно основной неподвижной системы отсчета 0xyz, совершив за время t абсолютное перемещение ММ1. Переносное движение относительной траектории, в свою очередь, можно считать состоящей из поступательной части (перемещение АВ в положение А1В1) и вращательной части (перемещение А1В1 в положение А2В2 вращением вокруг точки М' с мгновенной угловой скоростью ). Из рисунка видно, что если бы кривая АВ двигалась только поступательно, то она за время t пришла бы в положение А1В1, а точка М - в положение М". Появление перемещения М"M1, следовательно, обусловлено вращательной частью переносного движения кривой АВ. Из рисунка видно, что абсолютное перемещение точки М за время t можно выразить следующим векторным равенством:
    . (2.45)
    Известно, что перемещение точки, разлагая его в ряд по степеням малой величины t, можно представить в виде

    . (2.46)

    где и - скорость и ускорение точки в момент времени t .

    На основании (2.46) абсолютное, относительное и переносное перемещение в (2.45) можно представить в виде :

    (2.47)

    (2.48)

    (2.49)

    где , , , , , - абсолютные, относительные и переносные скорости и ускорения точки М.

    Вектор представляет собой перемещение конца радиуса-вектора M'M" при его вращении вместе с кривой A1B1 вокруг точки М'. Скорость точки M"в этом вращении определяется формулой Эйлера:
    . (2.50)
    Принимая во внимание равенства (2.48) и (2.50) вектор M"M1 можно представить в виде:

    (2.51)
    С учетом равенств (2.47) - (2.49) и (2.51) выражение (2.45) можно переписать в виде:


    Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в левой и правой частях последнего равенства, находим:

    , (2.52)
    , (2.53)
    где вектор называется ускорением Кориолиса. (2.54)
    Формулу (2.52) называют формулой сложения скоростей точки в сложном движении. Согласно этой формуле, абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее относительной и переносной скоростей. Формулу (2.53) называют формулой сложения ускорений. Согласно (2.53), абсолютное ускорение точки в сложном движении равно геометрической сумме трех ускорений: относительного, переносного и ускорения Кориолиса. Модуль ускорения Кориолиса согласно (2.54) равен:
    . (2.55)
    Очевидно, что данное ускорение равно нулю:

    - в случае поступательного переносного движения ( e = 0 );

    - когда векторы и параллельны ( тогда );

    - в отдельные моменты времени, когда относительная скорость меняет свое направление на противоположное и точка (в относительном движении) должна на мгновение остановиться . Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу определения направления векторного произведения. Согласно (2.54) вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы и , в ту сторону, откуда поворот от вектора к вектору на наименьший угол виден происходящим против хода часовой стрелки.



    Пример 1. Точка М движется с постоянной скоростью V=1 м/с от начала координат внутри трубки, вращающейся в плоскости x0y с постоянной угловой скоростью Я = 2с-1. Определить величину абсолютного ускорения точки М в момент, когда расстояние ОМ = 0,5 м.

    Решение. В данной задаче движение точки М внутри трубки - относительное, вращение вместе с трубкой - переносное. Так как относительная скорость по условию задачи постоянна, то и, согласно (2.53), . Поскольку в переносном движении точка М вращается по окружности радиуса ОМ с постоянной угловой скоростью Я, переносное ускорение равно и направлено к центру вращения. Модуль ускорения Кориолиса равен 4 м/с2, а его направление, определяемое векторным произведением (2.54), показано на рисунке. Так как переносное и кориолисово ускорения направлены под углом 90° по отношению друг к другу, 4,47 м/с2.


    Пример 2. Кольцо радиуса r = 0,5м вращается с постоянной угловой скоростью Я = 4 рад/с в плоскости чертежа. По кольцу движется точка М с постоянной скоростью V = 2м/с. Определить величину абсолютного ускорения точки М в указанном на чертеже положении.

    Решение. В данной задаче движение точки М по кольцу - относительное, вращение вместе с кольцом - переносное. Для определения абсолютного ускорения воспользуемся формулой сложения ускорений:

    .

    Для изучения относительного движения отвлечемся от переносного т.е. пусть кольцо не вращается, а точка М движется по кольцу с постоянной скорость V=2 м/с. Найденное в этом движении ускорение и будет относительным: . Данное ускорение будет направлено к центру кольца, так как точка в относительном движении движется равномерно. Для определения переносного ускорения отвлечемся от относительного движения точки: точка зафиксирована в положении, указанном на рисунке и лишь вращается вместе с кольцом с постоянной угловой скоростью по окружности радиусом ОМ=2R вокруг точки 0. Найденное в этом движении ускорение и будет переносным: 16м/с2. Его направление показано на рисунке и обусловлено равномерной скоростью вращения. Модуль ускорения Кориолиса вычисляем по формуле (2.55):

    =читываем, что вектор направлен вдоль оси вращения кольца и перпендикулярен вектору ). Направление вектора ,определяемого правилом векторного умножения (2.54), показано на рисунке. Складывая найденные ускорения, определяем
    1   2   3


    написать администратору сайта