Лекция 2(1). Определители
 Скачать 302.5 Kb.
|
|
Лекция 2(1). Определители Перестановка, транспозиция, инверсия. Четность (нечетность) перестановки. Определитель  -го порядка. Правила Саррюса вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.Вычисление определителей с помощью свойств определителей. Возьмем первые  натуральных чисел:  . Набор  этих чисел, расставленных в некотором порядке, называется перестановкой.Пример 1. Наборы  представляют собой перестановки из первых четырех натуральных чисел:  .Число различных перестановок из чисел равно  .Если в некоторой перестановке поменять местами два числа (не обязательно соседние), то получится новая перестановка. Такое преобразование перестановки называется транспозицией. Пример 2. Перестановка  получается транспозицией чисел 3, 4 из перестановки  . Эту транспозицию запишем так:  . В свою очередь, запись  означает, что перестановка  получена транспозицией чисел 4, 2 из перестановки  .В перестановке  числа  составляют инверсию, если  и  .Пример 3. Перестановка  содержит 8 инверсий:  .Перестановка называется четной (нечетной), если она содержит четное(нечетное) число инверсий. Перестановка  из примера 3 содержит 8 инверсий. Следовательно, эта перестановка - четная.Отметим без доказательства следующее важное свойство перестановки: любая транспозиция перестановки меняет ее четность. Пример 4. Рассмотрим четную перестановку  из примера 3. Произведем в ней транспозицию чисел 3 и 1. Полученная перестановка будет нечетной. Действительно, перестановка содержит 5 инверсий:  .Четность (нечетность) перестановки  можно также определить по количеству транспозиций, переводящих эту перестановку в перестановку  .Перестановка будет четной (нечетной), если для этого требуется провести четное (нечетное) число транспозиций. Пример 5. Перестановку можно перевести в перестановку  следующими тремя транспозициями: ;  ;  . Следовательно, перестановка  - нечетная, что подтверждает вывод примера 4.С каждой квадратной матрицей  связано число, называемое определителем (детерминантом) матрицы . Это число обозначается  или  . Если  - квадратная матрица -го порядка, то по определению ее определитель (детерминант) равен , (1)где сумма берется по всем  перестановкам  чисел , - четность перестановки  :  , если перестановка четная и  , если перестановка нечетная. Т.к. имеется  различных перестановок, то в сумме (1) присутствуют  слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение элементов  матрицы  (взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы), умноженное на число  .Выясним, к каким результатам приводит формула (1) для определителей 1,2,3-го порядка. 1) Пусть  - квадратная матрица 1-го порядка, тогда согласно (2.1) . - единственная перестановка из числа 1. Она является четной, т.к. в ней 0 инверсий и поэтому  .2) Пусть  - квадратная матрица 2-го порядка. Количество всех перестановок  из двух чисел 1;2 равно 2! =2. Укажем эти перестановки и их четность: - четная (0 инверсий), для этой перестановки  ; - нечетная (1 инверсия), для этой перестановки .Следовательно, согласно формуле (2.1) определитель 2-го порядка равен  .В результате получаем,  . (2)3) Пусть  - квадратная матрица 3-го порядка. Количество всех перестановок  из трех чисел 1,2,3 равно 3! =6. Укажем все эти перестановки и их четность: - четная (0 инверсий)  ; - четная (2 инверсии: 2>1, 3>1)  ; - четная (2 инверсии: 3>1, 3>2)  ; - нечетная (1 инверсия: 2>1)  ; - нечетная (1 инверсия: 3>2)  ; - нечетная (3 инверсии: 3>2,3>1,2>1)  .Таким образом, в силу (1) определитель 3-го порядка равен   .Окончательная формула для вычисления определителя 3-го порядка имеет такой вид  (3)Формулы (2), (3) вычисления определителей 2-го и 3-го порядков называются правилами Саррюса. Их легко запомнить и использовать при вычислении определителей 2-го и 3-го порядков. Пример 6.  . .  .Вычисление определителей 4-го, 5-го и более высокого порядка по определению становится громоздким и неэффективным из-за большого количества слагаемых в правой части формулы (1). Так, определитель 4-го порядка имеет 4!=24 слагаемых, определитель 5-го порядка имеет 5!=120 слагаемых и т.д. Поэтому, на практике вычисление определителей высокого порядка проводится другими методами. Один из этих методов основан на свойствах определителей, которые позволяют проводить простые операции с его строками и столбцами. Они упрощают заданный определитель до такого состояния, когда его вычисление становится элементарным. Сформулируем без доказательства эти свойства, которые верны для определителей любого порядка.  . Если в определителе поменять местами любые две строки (или любые два столбца), то определитель изменяет знак.Покажем действие свойства  на примере определителя 3-го порядка. .Здесь над определителем проведены следующие преобразования: 1) в заданном определителе поменяли местами 1-й и 3-й столбцы; 2) во втором определителе поменяли местами 2-ю и 3-ю строчки.  . Определитель не меняет своего значения, если к любой его строке прибавить любую другую строку, умноженную на некоторое число. Аналогичное действие применимо к столбцам определителя, т.е. определитель также не меняет своего значения, если к любому его столбцу прибавить любой другой столбец, умноженный на некоторое число.Приведем действие свойства на примере определителя 4-го порядка. .Здесь, над определителем последовательно проведены следующие действия: 1) ко 2-му столбцу прибавили 1-й столбец, умноженный на (-1); 2) затем в полученном (втором определителе) ко 2-й строке прибавили 4-ю строку, умноженную на число (-2). В результате этих действий пришли к новому (третьему) определителю, содержащему пять нулевых элементов. Очевиден следующий факт: чем больше нулевых элементов в определителе, тем проще его вычисление.  . Определитель, содержащий нулевую строку (или нулевой столбец) равен нулю.Например,  . . Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на ее главной диагонали. Напомним: квадратная матрица является треугольной, если все ее элементы, стоящие под (или над) главной диагональю равны нулю.Так, например,  ,  , . . Если какая-то строка (столбец) определителя имеет общий множитель  , то число можно поставить множителем перед определителем, уменьшив при этом все элементы соответствующей строки (столбца) в раз.Например,  ,  .В первом определителе множитель 2 вынесен из второй строки. Во втором определителе множитель 4 вынесен из третьего столбца. С помощью свойств  вычисление любого определителя можно свести к вычислению определителя треугольной матрицы.Пример 7. Вычислить определитель  .Решение.   Здесь, при вычислении заданного определителя были последовательно проведены следующие преобразования. 1) В определителе  ко 2-му столбцу прибавили 1-й столбец, умноженный на  .2) В определителе  поменяли местами 1-й и 2-й столбцы. При этом изменился знак.3) В определителе  поменяли местами 2-ю и 4-ю строки. Опять поменялся знак.4) В определителе  к 3-й строке прибавили 2-ю строку и к 4-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на число  .5) В определителе  к 3-й строке прибавили 4-ю строку.6) В определителе  к 4-й строке прибавили 3-ю строку, умноженную на число 4.7) Определитель  вычислили, пользуясь свойством  .В заключение, отметим следующие факты: 1. Определители матриц и  равны, т.е.  .2. Определитель произведения двух квадратных матриц  равен произведению их определителей, т.е.  .Докажем их для матриц  второго порядка.  .     |