лекция. Лекция 4 основные понятия гидродинамики распределение скоростей по радиусу трубы уравнение пуазейля

• Название: Лекция 4 основные понятия гидродинамики распределение скоростей по радиусу трубы уравнение пуазейля
• Анкор: лекция
• Дата: 11.11.2022
• Размер: 0.53 Mb.
• Имя файла: Lektsiya4.pdf
• Тип: Лекция; #783118

1
ЛЕКЦИЯ 4
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГИДРОДИНАМИКИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ПО РАДИУСУ ТРУБЫ
УРАВНЕНИЕ ПУАЗЕЙЛЯ
Гидравлический радиус и эквивалентный диаметр
При движении жидкостей по каналам произвольной формы, сечение которых отлично от круга, в качестве определяющего линейного размера принимается приведенная величина, которую называют гидравлическим радиусом канала.
Гидравлическим радиусом канала произвольного сечения называют отношение площади поперечного сечения потока S к смоченному периметру П.
r
г
= S/П
(4.1)
Для круглой трубы при сплошном ее заполнении жидкостью:
4 4
2
d
d
d
r
г




Диаметр, выраженный через гидравлический радиус, называют эквивалентным диаметром:
П
S
r
d
г
э
4 4


(4.2)
Эквивалентный диаметр канала круглого сечения:
d
d
d
d
э




4 4
2
Эквивалентный диаметр канала кольцевого поперечного сечения
нар
вн
нар
вн
нар
вн
э
d
D
d
D
d
D
d









)
(
4 4
4 2
2
(4.3)
Эквивалентный диаметр канала прямоугольного сечения (
a,b – стороны прямоугольника)
b
а
ab
b
а
аb
П
S
r
d
Г
э






2 2
4 4
4
)
)
(
(4.4)

2
Ламинарное и турбулентное течение. Критерий Рейнольдса.
Английским физиком Осборном Рейнольдсом в 1876–1883 гг. были проведены экспериментальные исследования движения жидкостей при различных скоростях потока, размерах канала и свойствах среды. Для этого им была собрана установка, состоящая из емкости с постоянным уровнем воды, горизонтальной стеклянной трубы и емкости с красящим веществом, которое вводилось в стеклянную трубу по ее оси через тонкую капиллярную трубку (Рис.4.1).
Рис.4.1. Экспериментальная установка для исследования режимов течения жидкости
При небольших расходах (небольших скоростях) воды в стеклянной трубе струйки красящего вещества вытягивались в тонкую нить, т.е. частицы красителя перемещались по параллельным траекториям, не перемешиваясь. Такое движение было названо ламинарным (вязким, струйным, слоистым).
С возрастанием расхода жидкости (скорости) окрашенная струйка приобретала поначалу волнообразное движение, а затем, при дальнейшем увеличении расхода, начинала размываться и полностью окрашивать всю массу жидкости в трубе. Это вызвано возмущением, перемешиванием частиц и вихреобразованием. Движение жидкости, когда основная масса перемещается в одном направлении, а отдельные частицы, или группы частиц, движутся по хаотическим неупорядоченным траектория, называют турбулентным.
Критерием перехода течения из одного режима в другой стал безразмерный комплекс величин, называемый числом (критерием) Рейнольдса Re:


vl

Re
(4.5) где
v – скорость жидкости (м/с), l – определяющий линейный размер (м), ρ - плотность
(кг/м
3
) и
μ -динамическая вязкость (Па.с) жидкости.

3
Принято считать, что в прямых круглых трубах критическое число Re равно 2 300.
При значениях Re

2 300 режим движения жидкостей и газов ламинарный, течение при
2 300

Re

10 000 называется неустойчивым турбулентным, при Re > 10 000 – развитым турбулентным.
Однако экспериментально было найдено, что критическое значение числа Re в круглых трубах может находиться в диапазоне 2 300

20 000. Такие высокие значения критического числа Re обусловлены особыми условиями проведения опытов: постоянной температурой, стабилизацией расхода, отсутствием возмущений потока, малыми значениями шероховатости стенок и т.д. Для идеально равномерного профиля скорости на идеально гладкой поверхности критическое число Re стремится к бесконечности. На практике принято считать турбулентным поток при Re > 2300, однако при наличии дополнительных турбулизаторов, ламинарное течение заканчивается при гораздо более низких значениях чисел Рейнольдса.
Турбулентное течение
Развитое турбулентное течение характеризуется сложным перемешиванием жидкости, вихреобразованием и случайными флуктуациями параметров. Так, например, истинная скорость в некоторой точке потока испытывает нерегулярные хаотические пульсации во времени.
Если взять одну фиксированную точку потока, то мгновенная скорость u пульсирует около некоторого среднего во времени значения
u
(Рис. 4.2).
Рис.4.2. Мгновенная
v и осредненная во времени

v локальные скорости при турбулентном течении потока

4
Подобная картина наблюдается в каждой точке турбулентного потока
Турбулентный поток можно описать следующими характеристиками:
1. Осредненная во времени локальная скорость для точки определяется как:
t
dt
v
v
t
o
x
x


(4.6)
2. Мгновенная пульсационная скорость - разница между истинной мгновенной и осредненной во времени скоростями.
x
x
x
v
v
v



или
x
x
x
v
v
v



Если оценивать осредненные за небольшой промежуток времени (секунды) локальные скорости турбулентного потока, то оказывается, что эти значения остаются практически постоянными во времени из-за высокой частоты пульсаций.
Таким образом, турбулентное движение, являющееся неустановившемся, можно рассматривать как квазистационарное.
3. Интенсивность турбулентности.
v
v
I
T


(4.7)
где
v

- среднеквадратичное значение пульсационной скорости, т.е. осреднение мгновенных пульсационных скоростей по абсолютной величине во всех направлениях.
Эта величина - мера пульсации в данной точке потока. При турбулентном течении по трубам I
T
составляет величину 0,01-0,1.
Если средние пульсации скорости одинаковы во всех направлениях, то говорят об изотропной турбулентности.
Турбулентность практически изотропна у оси потока и все более отклоняется от изотропной при приближении к стенке трубы (канала).
4. Вихрем называется единая совокупность частиц, движущихся совместно.
5. Масштаб турбулентности – понятие, связанное с расстоянием между двумя ближайшими частицами жидкости, не принадлежащими одному вихрю.
6. Турбулентная вязкость.
Если в потоке, движущемся в направлении x, расстояние между двумя частицами в направлении перпендикулярном оси трубы
n
d
,
то вследствие разности осредненных во времени скоростей, возникает касательное напряжение, которое определяется по закону внутреннего трения Ньютона:
n
d
v
d
n
d
v
d
x
x
s







(4.8)

5
В ламинарном потоке мгновенные локальные скорости не нужно осреднять во времени.
В турбулентном потоке перемещения в поперечном направлении создают дополнительное касательное напряжение. По аналогии с ньютоновским касательным напряжением:
n
d
v
d
x
Т
Т




(4.9) где ν
Т
- коэффициент турбулентной вязкости. ν
Т не является физико-химической константой каждой жидкости, а определяется скоростью жидкости и степенью турбулентности, которая различна на разных расстояниях от оси потока.
Таким образом, для турбулентного потока суммарное касательное напряжение:
n
d
v
d
x
Т
Н
Т
Н
)
(











(4.10)
Понятие о пограничном слое
Для описания турбулентного течения жидкости в канале было предложено разделить поток на две области: тонкого вязкого пограничного слоя и области невязкого течения. Такой подход позволил значительно упростить описание движения жидкости.
Центральная часть потока - ядро потока - принято считать областью невязкого течения, т.е. областью, для описания которой применимы уравнения Эйлера.
Вторая область - гидродинамический пограничный слой. Это тонкая область течения, прилегающая к поверхности канала или обтекаемого тела, в которой силы трения велики и сравнимы с силами давления и инерции.
Рис.4.3. Ядро потока и пограничный слой
Толщиной гидродинамического пограничного слоя называется такое расстояние от поверхности, на котором силы трения становятся пренебрежимо малы по сравнению с силами давления и инерции. В пограничном слое скорость резко уменьшается, возникают

6 большие градиенты концентраций, и это свидетельствует о наличии сил трения (закон
Ньютона). За пределами пограничного слоя влиянием вязкости можно пренебречь
В пограничном слое движение может быть ламинарным и турбулентным, однако внутри выделяется подслой толщиной δ, в жидкость всегда движется ламинарно из-за наличия близко расположенной стенки.
Также в технике используется понятие вязкого подслоя, в котором влияние вязкости преобладает над влиянием турбулентных пульсаций, т.е. это область, прилегающая к стенке канала, где ν > ν
Т
Понятие «гидродинамический пограничный слой» очень важно для понимания процессов, происходящих при течении жидкости, а также в процессах тепло- и массообмена.
Распределение скоростей по радиусу трубы постоянного сечения при ламинарном
стационарном течении. Уравнение Пуазейля
Рассмотрим ламинарное стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости в прямой трубе круглого сечения. Поток жидкости в трубе мысленно можно разбить на
Рис.4.4. К выводу уравнения Пуазейля. ряд кольцевых слоев, соосных с трубой (Рис.4.4.)
Выделим в потоке жидкости, двигающейся по трубе с радиусом
R, цилиндрический слой длиной
l и радиусом r. Поскольку все элементы жидкости двигаются с постоянной скоростью (стационарно), то сумма внешних сил, приложенных к выделенному объему, равна нулю. На цилиндрический объем жидкости действуют силы давления и силы трения.
Силы давления действуют на левое и правое основания цилиндра. Результирующая сила давления ΔF
P
равна:

7 2
2 2
2 1
r
P
r
P
r
P
F
P








(4.11)
где P
1
и P
2
– давление на левое и правое основания выделенного цилиндра,

r
2
–площадь основания цилиндра
Движению выделенного цилиндра жидкости радиусом r оказывает сопротивление сила внутреннего трения Т (уравнение 1.8):
dr
dv
lr
dr
dv
F
T
r
r



2




(4.12)
где 2

rl – боковая поверхность цилиндра
Сумма внешних сил должна быть равна нулю с учетом того, что сила внутреннего трения направлена против потока жидкости:
, отсюда
(4.13)
dr
dv
lr
r
P
r



2 2



(4.14)
Разделим переменные и проинтегрируем.
Пределы интегрирования: при значении радиуса
r скорость v
r;
при значении радиуса
r = R скорость v
r
= 0.
(4.15)
Выражение для распределения скорости по трубе имеет вид:
(4.16)
Значение скорости на оси трубы максимально, т.е. при r = 0 получаем:
l
PR
v
v

4 2



max
(4.17)










2 2
1
R
r
v
v
r
max
(4.18)
Уравнение (4.18) выражает собой параболический закон распределения скорости в
сечении трубопровода при установившемся ламинарном движении (Закон Стокса)
Определим расход жидкости в прямой трубе круглого сечения
Запишем элементарный расход жидкости

V
d
через кольцевой канал площадью
 
dr
r
r
d
dS


2 2


:








R
r
v
R
r
r
dr
r
l
P
dr
r
l
r
P
d
r





2 2
0 2
















2 2
2 2
2 1
4 4
R
r
l
PR
r
R
l
P
v
r


0



Т
F
P

8
dr
r
v
dS
v
V
d
r
r

2



(4.19)
Проинтегрируем уравнение, используя выражение (4.16)
rdr
r
R
l
P
V
d
R
V


2 4
0 2
2 0







)
(
(4.20)
l
R
P
V


8 4



(4.21) или
l
d
P
V


128 4



(4.22)
Уравнение (4.21) называют уравнением Пуазейля. Согласно уравнению расход вязкой несжимаемой жидкости при ламинарном течении в прямой круглой трубе длиной
l определяется перепадом давления на концах трубы и зависит от вязкости жидкости и радиуса (диаметра) трубы в четвертой степени.
Средняя скорость в трубе с поперечным сечением
S =

R
2
может быть вычислена с учетом (4.21) по следующему уравнению:
l
R
P
R
l
R
P
S
V
v
ср





8 8
2 4
2






/
(4.23)
Так как по уравнению (4.17)
l
R
P
v


4 2


max
, то
2
max
v
v
ср

(4.24)
При ламинарном течении в прямой круглой трубе средняя скорость вязкой несжимаемой жидкости равна половине максимальной, т.е. скорости на оси трубы.
В случае турбулентного течения соотношение между средней и максимальной скоростями зависит от режима течения (Re) и от относительной шероховатости стенок канала. (
ε = e/d, где e - средняя высота выступов на стенках трубы, d - диаметр трубы).
Т.е.
)
(Re,
max

f
v
v
ср


, где
1

)
(Re,

f

9
Эпюры скоростей при ламинарном и турбулентном течении жидкости в трубе
Эпюра скоростей при ламинарном движении жидкости в трубопроводе круглого сечения представляет собой параболоид вращения, ось которого совпадает с геометрической осью трубы.
Эпюра скоростей турбулентного течения построена для значений скоростей осредненных во времени. Этому типу движения характерно выравнивание скоростей в ядре потока и резкое уменьшение скоростей вблизи стенки трубы в пограничном слое.
Рис. 4.5. Распределение скоростей в потоке жидкости при ламинарном (слева) и турбулентном (справа) режимах движения