Лекция 9 по теме Интеграл Фурье П. 1 Формула Фурье Пусть функция, т е. для нее существует, не является периодической. Рассмотрим периодическую функцию, для которой
![]()
|
ДИУ-лекция 9 по теме «Интеграл Фурье» П.1 Формула Фурье Пусть функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Предположим, что функция ![]() ![]() где ![]() Подставляя коэффициенты ![]() ![]() Обозначение ![]() ![]() Заметим, что величина ![]() ![]() ![]() и ее ![]() ![]() ![]() а ее правая часть называется интегралом Фурье. Внутренний несобственный интеграл в (2) понимается в смысле главного значения. Если функция ![]() ![]() Тогда интегральная формула Фурье для четных функций имеет вид: ![]() Аналогично, для нечетных функций ![]() ![]() Преобразуем интеграл Фурье (2) в иную форму: ![]() Тогда ![]() где ![]() Правую часть равенства (5) также называют интегралом Фурье. Для четных функций ![]() ![]() Для нечетных ![]() ![]() Отметим некоторые свойства функций ![]() 1. Если ![]() ![]() ![]() Докажем непрерывность ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() Оценим второй интеграл с учетом неравенства ![]() ![]() ![]() Объединяя две оценки, получим ![]() Доказательство непрерывности ![]() 2. ![]() ![]() Первый интеграл оценивается: ![]() Второй интеграл оценивается с помощью леммы Римана: ![]() Объединяя обе оценки, получим ![]() Пример. Представить функцию ![]() Воспользуемся формулой (7) и (8): ![]() ![]() Проинтегрируем оба интеграла по частям: ![]() Аналогично, ![]() Находим ![]() ![]() Пример. Представить функцию ![]() Воспользуемся формулой (7): ![]() Полагая в этой формуле ![]() ![]() П. Поточечная сходимость интеграла Фурье. Теорема (о по точечной сходимости) Пусть ![]() 1. ![]() ![]() 2. в каждой точке ![]() ![]() 3. в каждой точке разрыва производной существуют односторонние производные ![]() 4. ![]() Тогда ![]() ![]() П. Комплексная форма интеграла Фурье Пусть функция ![]() ![]() ![]() В силу четности функции ![]() ![]() В силу нечетности функции ![]() Тогда ![]() Если ![]() ![]() которая называется комплексной формой интеграла Фурье Пример. Представить интегралом Фурье функцию ![]() Решение ![]() ![]() |