Лекция 9 по теме Интеграл Фурье П. 1 Формула Фурье Пусть функция, т е. для нее существует, не является периодической. Рассмотрим периодическую функцию, для которой
 Скачать 160.43 Kb.
|
|
ДИУ-лекция 9 по теме «Интеграл Фурье» П.1 Формула Фурье Пусть функция  , т.е. для нее существует , не является периодической. Рассмотрим  периодическую функцию , для которой .Предположим, что функция раскладывается в ряд Фурье: (1)где  .Подставляя коэффициенты  в (1) и преобразуя полученное выражение, получим Обозначение  . Тогда Заметим, что величина  ограничена по : и ее  . Второе выражение является интегральной суммой для несобственного интеграла . Если он сходится, то справедлива интегральная формула Фурье , (2)а ее правая часть называется интегралом Фурье. Внутренний несобственный интеграл в (2) понимается в смысле главного значения. Если функция  четная, то формула (2) примет вид: Тогда интегральная формула Фурье для четных функций имеет вид:  (3)Аналогично, для нечетных функций  имеет место представление:  (4)Преобразуем интеграл Фурье (2) в иную форму:  Тогда  , (5)где  (6) Правую часть равенства (5) также называют интегралом Фурье. Для четных функций  формулы (6) принимают вид (7)Для нечетных : (8)Отметим некоторые свойства функций  :1. Если  , то - непрерывные функции на полуоси Докажем непрерывность  . Интеграл сходится для любой функции , причем сходимость по равномерная. Пусть любая точка полуоси . Тогда   Оценим второй интеграл с учетом неравенства  :  Объединяя две оценки, получим  Доказательство непрерывности  аналогичное. 2.   Первый интеграл оценивается:  Второй интеграл оценивается с помощью леммы Римана:  Объединяя обе оценки, получим  Пример. Представить функцию  в виде интеграла Фурье по косинусам и синусам.Воспользуемся формулой (7) и (8):  ,  Проинтегрируем оба интеграла по частям:  Аналогично,  Находим  и разложения Пример. Представить функцию  интегралом Фурье, продолжив ее как четную функцию на отрицательную полуось.Воспользуемся формулой (7):  Полагая в этой формуле  , получим . П. Поточечная сходимость интеграла Фурье. Теорема (о по точечной сходимости) Пусть удовлетворяет условиям:1. кусочно- гладкая на каждом конечном числовой оси;2. в каждой точке  разрыва функции существуют ;3. в каждой точке разрыва производной существуют односторонние производные  4.  Тогда  , где П. Комплексная форма интеграла Фурье Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы о поточечной сходимости. Тогда для любой точки справедлива формула Фурье: В силу четности функции  имеем .В силу нечетности функции  .Тогда  Если  , интеграл Фурье примет форму (9)которая называется комплексной формой интеграла Фурье Пример. Представить интегралом Фурье функцию  Решение  Тогда |