Лекция магниты. Лекция Магнитные явления. Переменный ток для ОЗО. Лекция магнитное поле . Магнитное взаимодействие электрических токов
![]()
|
. Лекция: МАГНИТНОЕ ПОЛЕ§. Магнитное взаимодействие электрических токов1. Природный магнетизм (от греч. magnetis- магнит) известен людям с древности. Было давно замечено, что некоторые куски железных руд отталкиваются или притягиваются друг к другу в зависимости от взаимного положения. Подвешенные на нити или лежащие на поплавке на поверхности жидкости такие вытянутые куски самопроизвольно разворачивались в направлении север-юг. Это привело к изобретению компаса. Научное изучение природного магнетизма началось в конце 16 века. Оказалось, что любой магнит имеет два разных полюса. Тот полюс, что указывал на север, назвали северным, а тот, что на юг – южным. Одноимённые полюса отталкиваются, а разноимённые притягиваются. Оказались безуспешными попытки разделением магнита получить одиночные магнитные полюса. Стало ясно, что способность магнитных стрелок ориентироваться в направлении север-юг обусловлена тем, что Земля – большой магнит. В районе её северного географического полюса в точке с координатами 70°30 с.ш. и 97°41 в.д. находится южный магнитный и наоборот, в районе южного географического полюса в точке с координатами 73°39 ю.ш. и 146°15 з.д. находится северный магнитный полюс. 2. Закон Кулона для магнитных полюсов. В 1788 г. Шарль Кулон, экспериментируя с постоянными магнитами в виде длинных стержней, установил, что магнитные полюса взаимодействуют так же, как и электрические заряды. ![]() Здесь ![]() ![]() Однако вплоть до начала XIX в. не было опытных научных фактов, позволяющих говорить о существовании связи между электрическими и магнитными явлениями. 3 ![]() В опытах Эрстеда был открыт новый вид взаимодействия. До сих пор физика знала лишь центральные силы. Провод же с током не притягивал и не отталкивал магнитной стрелки. Он лишь поворачивал её вокруг оси. Открытие Эрстеда побудило многих учёных к интенсивным исследованиям, в которых можно выделить два направления: а. Изучение действия магнитного поля на проводник с током; б. Изучение действия проводников с током на магнитную стрелку. Опыты первой группы привели к открытию закона Ампера, опыты второй – к открытию закона Био-Савара-Лапласа. 4. Действие магнитного поля на ток. Поскольку проводник с током действует на магнитную стрелку, то это значит, что вокруг проводника с током возникает магнитное поле. Поэтому для изучения действия магнитного поля на ток можно использовать не только поля постоянных магнитов, но и создавать их с помощью электрических токов. А ![]() Для количественного описания взаимодействия тока с магнитным полем потребовалось ввести модель элемента тока (как материальная точка, точечный заряд и др.). Элемент тока ![]() ![]() Результаты опытов Ампера и других исследователей позволили установить, что сила ![]() ![]() ![]() Вектор B называется магнитной индукцией и является основной характеристикой магнитного поля. Если поле B однородно в пределах прямого провода длины l, то формула (12.2) легко интегрируется и принимает вид: ![]() ![]() Определив величину и направление силы F, действующей на отрезок провода l c током I, можно найти величину и направление вектора индукции B. Е ![]() 5. Магнитное поле В, как и электрическое Е, можно графически изображать линиями. В каждой точке такой линии вектор В направлен по касательной. На практике направление линий В (силовых линий поля) определяются часто с помощью магнитной стрелки, которая располагается по касательной к линиям, или с помощью железных опилок. Оказалось, что система силовых линий поля постоянного магнита напоминает поле электрического диполя (рис.72), а магнитное поле прямого тока в любом нормальном к проводу сечении представляет собой систему концентрических окружностей (рис.73). М ![]() ![]() 6. Магнитное поле элемента тока подробно изучали в 1920 г. французы Жан Био и Феликс Савар. Обработав их экспериментальный материал, Пьер Лаплас установил, что индукция dB магнитного поля элемента тока ![]() ![]() З ![]() Силовые линии поля элемента тока представляют собой окружности, центры которых лежат на прямой MN, проходящей вдоль элемента тока. Направление силовых линий задаётся направлением вектора индукции dB. На практике его можно определить по правилу правого винта: если поступательное движение винта совпадает с направлением элемента тока Idl, то вращение винта происходит вдоль по силовой линии. С увеличением расстояния r от элемента тока до точки поля А индукция убывает пропорционально ![]() Вдоль прямой MN, на которой находится элемент тока Idl, поле равно нулю. Угол между векторами Idl и r в этом случае равен нулю, и ![]() 7. Проблема магнитных зарядов. В электрическом поле покоящихся зарядов силовые линии разомкнуты. Они начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах. Замкнутость линий магнитного поля можно толковать как результат того, что в природе нет магнитных зарядов. Но возникает вопрос: что же является источником магнитного поля постоянных магнитов? Андре Ампер высказал гипотезу, что источником магнитного поля во всех случаях являются электрические токи. Он предложил разделить учение об электричестве на два раздела: электростатику – учение о покоящихся зарядах и электродинамику – учение о движущихся зарядах. Магнетизм в системе Ампера – раздел электродинамики. Внутри постоянных магнитов, по мнению Ампера, циркулируют замкнутые микроскопические токи, которые и создают магнитное поле. Эта глубокая догадка о замкнутых микротоках оставалась гипотезой почти в течение столетия, прежде чем в начале ХХ в. она получила опытное и теоретическое обоснование. Оказалось, что основным источником магнитного поля намагниченных тел является внутриатомное движение электронов. Но поскольку магнитных зарядов в природе нет, то закон Кулона, описывающий взаимодействие магнитных полюсов (магнитных зарядов, как мыслилось в начале) теряет свою значимость и сохранят лишь историческое значение. 8. Взаимодействие элементарных токов. Закон Ампера. Если в формулу силы Ампера (12.2) вместо B подставить выражение индукции dB из закона Био-Савара-Лапласа (12.5), то получим формулу, определяющую силу dF взаимодействия двух элементарных токов. Присвоим элементу тока, создающему поле dB1 (формула 12.5) индекс “1” , а элементу тока, испытывающему действие поля dB2, индекс “2”. Тогда сила действия поля элемента тока I1dl1 на элемент тока I2dl2 определяется выражением. ![]() Это основной закон электромагнетизма. Если сравнить закон Ампера с законом Кулона для электрических зарядов, то можно увидеть как сходство, так и различие. В законе Кулона характеристикой вещества является диэлектрическая проницаемость среды , в законе Ампера – магнитная проницаемость среды . Величина силы взаимодействия между электрическими зарядами убывает с квадратом расстояния между ними. Так же убывает величина силы взаимодействия между элементами тока. В законе Кулона ![]() ![]() Принципиальным отличием является то, что кулоновская сила – это центральная сила. Она всегда направлена вдоль прямой линии, проходящей через взаимодействующие заряды. Сила Ампера в данном случае не является центральной. Рассмотрим несколько случаев. а ![]() ![]() ![]() Ч ![]() ![]() ![]() Параллельные токи притягиваются с одинаковыми по величине силами, dF12 = dF21. б ![]() в. Взаимодействие перпендикулярных токов. В случае скрещенных токов, показанном на рис.77, силы, действующие на оба элемента тока, равны нулю, dF12 = dF21 = 0. О ![]() Однако это нарушение относится к моделям – элементам тока. На опыте нельзя реализовать ограниченные по длине отрезки провода с током. Для замкнутых же проводников 3-й закон Ньютона выполняется совершенно точно. ![]() ![]() Здесь L1 контур первой замкнутой цепи с током I1, L2- контур второй замкнутой цепи с током I2. Пример 12.1 Магнитное поле конечного отрезка прямого тока. Вычислим индукцию поля B, создаваемого прямым отрезком провода с током I на некотором произвольном расстоянии Rот провода в точке А (рис.79). Поскольку магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции, то индукцию поля в точке А можно найти как сумму индукций полей в точке А, создаваемых элементами токов Idl, уложенных вдоль всей длины провода. По закону Био-Савара-Лапласа индукция поля элемента токаIdl в точке А, удалённой от элемента тока на расстояние r, есть ![]() Пусть О – точка на проводе или на его продолжении, из которой построен перпендикуляр R в точку поля А. Положение точки О относительно элемента тока, определяется вектором ![]() ![]() Преобразуем выражение (12.8) к виду, удобному для интегрирования. Так как ![]() ![]() ![]() ![]() Коэффициент перед выражением ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Проинтегрировав от угла 1, под которым виден из точки А конец провода N, до угла 2, под которым виден другой конец провода M, получаем: ![]() Для модуля В формула упрощается: ![]() Для бесконечно длинного провода ![]() ![]() ![]() 9. Единица тока – ампер. Если поместить рядом два очень тонких параллельно расположенных провода бесконечной длины, расстояние между которыми R, токаждая точка одного провода будет находиться в постоянном магнитном поле другого. Силы, действующие на одинаковые отрезки l в любом месте любого провода одинаковы. Допустим, для отрезка l2 второго провода ![]() Данная ситуация используется для определения единицы тока в СИ – ампера. Если ![]() ![]() ![]() Ампер – сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызывает между ними силу, равную ![]() §13. Вычисление магнитных полей 1. Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) Ф вводится так же, как поток вектора напряжённости электрического поля. Магнитный поток dФ через элементарную площадку dS равен скалярному произведению векторов Bи dSn: ![]() г ![]() ![]() Магнитный поток через конечную площадку ![]() ![]() Если поле в пределах площадки однородно, а угол между векторами Bи n равен ![]() ![]() Единица магнитного потока в СИ – вебер (Вб), ![]() 2 ![]() Полный поток складывается из суммы потоков через боковую поверхность цилиндра и через его основания, Ф = Фбок + Фосн. Магнитные силовые линии прямого тока есть окружности с центрами на проводе и лежащие в сечениях, нормальных проводу. Поэтому углы ![]() Отсюда Bn = Bcos = 0. ![]() Поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю. Результат не изменится, если поверхность имеет произвольную форму. Ведь её всегда можно охватить цилиндрической поверхностью. Поскольку линии ![]() Т ![]() (13.5) ![]() ![]() Если направление тока совпадает с направлением обхода по правилу правого винта, ток берётся со знаком “плюс”, если не совпадает - со знаком “минус”. В примере рисунка 83 ![]() Теорема о циркуляции играет в электромагнетизме примерно такую же роль, как теорема Гаусса в электростатике. Она упрощает расчёт магнитных полей при наличии симметрии токов. Исходным уравнением для вычисления магнитных полей постоянных токов является уравнение Био-Савара-Лапласа, имеющее элементарный характер. Задача в общем случае сводится к суммированию полей элементов тока, уложенных по всей длине данного проводника с током. Так вычислялось поле прямого тока в примере 12.1 В некоторых случаях симметричных токов можно воспользоваться результатами интегрирования, полученными в законе полного тока. В результате задача решается методами алгебры. Пример 13.1.Магнитное поле внутри прямолинейного цилиндрического провода радиусом ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В ![]() По закону полного тока она пропорциональна току внутри этой окружности. ![]() Отсюда ![]() Здесь 1- магнитная проницаемость вещества провода. И ![]() ![]() Индукция магнитного поля максимальна на поверхности проводника. В центре проводника и на бесконечности от него индукция равна нулю (рис.85). При использовании закона полного тока находится лишь модуль вектора B. Направление вектора B определяется из геометрии тока. Пример 13.2. Магнитное поле внутри тороидальной катушки. Из соображений симметрии следует, что индукция B по величине одинакова во всех точках окружности радиуса R, центр которой лежит на оси AA тороида (рис.86). Поэтому циркуляция вектора индукции вдоль этой окружности равна B2R.. По закону полного тока она пропорциональна сумме токов, охватываемой этой окружностью. Очевидно ![]() ![]() З ![]() ![]() С ![]() Пример 13.3. Поле внутри прямого бесконечного соленоида. Соленоидом называют катушку в виде намотанного на цилиндрическую поверхность изолированного провода, по которому течёт ток I(рис.87). Найдём индукцию поля внутри бесконечного соленоида. Для этого воспользуемся законом полного тока. В качестве замкнутого контура для вычисления циркуляции ![]() Из соображений симметрии следует, что вектор B внутри соленоида параллелен его оси. Поэтому вклад в циркуляцию участка АВ равен Bl. Участки ВС и DA перпендикулярны вектору B. Их вклад в циркуляцию равен нулю. Сторона CD бесконечно удалена от соленоида. Поскольку поле каждого отдельного тока убывает с расстоянием, то на бесконечности оно равно нулю. Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Здесь N0- число витков, приходящееся на единицу длины соленоида. Формула справедлива не только для соленоидов круглого, но и любого другого поперечного сечения. Внутри бесконечного соленоида поле однородно и параллельно оси соленоида. Силовые линии внутри соленоида идут в одну сторону, снаружи – в другую, внутри они пронизывают конечную площадь сечения соленоида, снаружи - бесконечное пространство. Поэтому плотность силовых линий вне бесконечного соленоида равна нулю. Поля вне соленоида нет, индукция равна нулю на любом от бесконечного соленоида расстоянии. Пример 13.4. Поле кругового тока. Пусть проводник имеет форму окружности радиуса R. По проводнику течёт постоянный ток I. Вычислим магнитное поле на оси данного кругового тока в некоторой точке А, которая находится на расстоянии x от его центра (рис.88). В ![]() ![]() Выберем два диаметрально противо-положных элемента тока Idl1 и Idl2 и определим суммарную индукцию их полей в точке А. Нормальные к оси ОХ составляющие индукции dB1n и dB2n для каждой пары элементов токов взаимно уничтожаются, а составляющие вдоль оси ОХ суммируются. Так что ![]() Здесь n- единичный правовращательный вектор площади контура, совпадающий здесь с положительным направлением оси ОХ. Поскольку направление вектора dB определилось (вдоль оси ОХ), то в выражении закона Био-Савара-Лапласа для dB1 (формула 12.5) оставляем только численную компоненту. Угол между любым элементом тока Idl и проведённым из него в точку А вектором r равен 90. Поэтому ![]() Индексы “1” и “2” у элементов тока и радиусов r были введены для упорядочения рисунка и рассуждений. Далее их опускаем. Приняв во внимание, что sin = Rr, интегрируем выражение (13.11) по половине длины окружности от 0 до R (потому что два элемента тока). ![]() Здесь S = R2 - площадь контура. Выражение ![]() называют магнитным моментом тока. Поле на оси кругового тока изменяется так же, как поле на оси электрического диполя (формула 3.34). На достаточно большом расстоянии, когда r >> R, магнитное поле кругового тока, выглядит так же, как поле магнитного диполя, то есть двух одинаковых по величине и разных по знаку магнитных зарядов, лежащих на оси кругового тока по разные стороны его центра точки О. Поэтому взаимодействие полюсов постоянных магнитов, чьи поля создаются круговыми атомными токами, подчиняются закону Кулона для магнитных зарядов (формула 12.1). Измерив силу взаимодействия двух контуров с током, можно ввести единицу измерения этих условных магнитных зарядов. Пример 13.5. Поле короткого соленоида. Коротким называется соленоид, чья длина соизмерима с его диаметром. Вычисление циркуляции вектора В здесь так же представляет сложную задачу, поскольку индукция В изменяется не только в окрестности концов, но и вдоль оси соленоида. Вычислим индукцию поля в произвольной точке О оси соленоида радиусом R (рис.89), воспользовавшись формулой осевого поля кругового тока (пример 13.4). У ![]() ![]() Здесь n - единичный вектор, направленный вдоль оси соленоида и согласованный с током. Индукция в точке О, создаваемая всеми витками соленоида, найдётся интегрированием по всей его длине. Выберем в качестве переменной интегрирования угол между радиусом r и осью соленоида (рис.89). Тогда ![]() ![]() ![]() ![]() Здесь 1 - угол между осью соленоида и направлением из точки О в точку А, 2- угол между осью и направлением в точку С. Если катушка очень длинная, то можно считать, что 1 = 0, 2 = . Тогда формула (13.16) переходит в формулу индукции поля внутри бесконечно длинного соленоида (13.10). ![]() 4. Магнитное поле одиночного движущегося заряда. Магнитное поле, создаваемое элементом тока Idl, логично рассматривать как сумму полей одиночных движущихся зарядов. Поэтому при малом отрезке dl можно записать: ![]() Здесь Be индукция магнитного поля, создаваемого одиночным движущимся зарядом, N - число этих зарядов в элементе тока Idl. Так как ![]() ![]() Знак вектора с элемента проводника dl перешёл на скорость дрейфа зарядов v. Это справедливо, поскольку направление вектора элемента тока Idl ещё в самом начале было определено через направление движения положительных зарядов. П ![]() ![]() Можно сказать, что поле равномерно движущегося заряда определяется формулой Био-Савара-Лапласа, в которой вместо элемента тока Idl стоит произведение заряда на скорость его движения ev. |