Лекция магниты. Лекция Магнитные явления. Переменный ток для ОЗО. Лекция магнитное поле . Магнитное взаимодействие электрических токов
 Скачать 2.07 Mb.
|
§16. Электромагнитная индукция1  . Электромагнитная индукция – это явление, состоящее в том, что изменяющееся магнитное поле создаёт в замкнутых проводниках электрические токи. ЭДС, возбуждающую эти токи, называют электродвижущей силой индукции, а токи – индукционными. Явление электромагнитной индукции открыл Майкл Фарадей в 1831 г.В основе открытия Фарадея лежат результаты многочисленных опытов, выполненных им в течение 9 лет. Укажем 4 наиболее характерные группы. О  пыт 1. На деревянную катушку были намотаны изолированным медным проводом две обмотки длинной по 203 фута ( 61 м) каждая. Концы одной обмотки присоединялись к тангенс-гальванометру, концы другой – к химическому источнику тока (к батарее из элементов Вольты) через ключ (рис.109). При замыкании ключа стрелка гальванометра отклонялась на короткое время в одну сторону, при размыкании – в другую.Опыт 2. Повторяет 1-й с той разницей, что обмотки наматывались на замкнутый железный сердечник (рис.110). По сравнению с деревянной катушкой эффект значительно усиливался. Этот опыт считается решающим. О  пыт 3. Повторяет опыт 1-й с той разницей, что обмотки наматывались на картонную трубку (рис.111). Если трубка пустая, эффект такой же, как в первом опыте. Если в трубку опускался железный стержень, эффект усиливался. Если опускался медный стержень, эффект по сравнению с первым опытом практически не изменялся.Опыт 4. Повторяет опыт 3-й с той разницей, что ключ обмотки с элементом Вольты не замыкался, а внутри картонной трубки двигался вверх-вниз постоянный магнит. При движении магнита вниз стрелка гальванометра отклонялась в одну сторону, при движении магнита вверх - в другую. При изменении полюсов магнита направления отклонения стрелки менялись (рис.112). П  о результатам своих опытов Фарадей сделал вывод: в замкнутом проводнике индукционный ток возникает в том случае, когда проводник или какая-либо его часть пересекает линии магнитной индукции.2. Закон электромагнитной индукции. Формулировка Фарадея, 1831 г. : заряд, переносимый индукционным током через поперечное сечение проводника, пропорционален количеству силовых линий Ф, пересекаемых проводником q = k Ф. (16.1) Здесь Ф – число силовых линий, в современной терминологии – магнитный поток, k – коэффициент пропорциональности. В 1834 г. Эмилий Ленц дополнил формулировку Фарадея правилом: индукционный ток во всех случаях направлен таким образом, что его действие противоположно действию причины, вызвавшей этот ток. В 1873 г. Джеймс Максвелл в фундаментальном “Трактате об электричестве и магнетизме” дал современную формулировку закона электромагнитной (магнитоэлектричес-кой по Максвеллу) индукции. В СИ формула закона имеет вид:  . (16.2)ЭДС индукции E, возникающая в контуре, пропорциональна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего площадь этого контура. Формулировка Максвелла включает в себя и закон индукции в формулировке Фарадея, и правило Ленца. а. Формулировки Фарадея получается при вычислении заряда q, протекающего через поперечное сечение замкнутого проводника. Индукционный ток в проводнике i = E R = (dФ dt) R , где R – сопротивление проводника. Допустим, в начальный момент времени площадку контура пронизывал поток Ф, в конечный момент – поток 0. Для этого достаточно контур повернуть на 90 (рис.113). Т  ак как dq = idt , то . (16.3)Коэффициент k в формуле (16.1) представляет собой электрическую проводимость контура, k = 1R. б. Правило Ленца. Рассмотрим круговой замкнутый контур. Вектор нормали n к его площадке согласуем с направлением обхода правилом правого винта (рис.114). Этот вектор n задаёт направление силовых линий B через площадку. Д  опустим, магнитный поток Ф через площадку увеличивается. Это значит, что линии B приходят из бесконечности и сгущаются внутри площадки. Производная dФdt > 0 (поток увеличивается). ЭДС индукции E = (dФdt). Знак минус здесь означает, что ЭДС индукции противоположна направлению обхода. Индукционный ток так же противоположен направлению обхода, а силовые линии его магнитного поля противоположны линиям внешнего поля B. Потому поле индукционного тока ослабляет внешнее поле B, препятствуя его нарастанию. Таким образом, знак “минус” в формуле (16.2) выражает правило Ленца.Если магнитный поток Ф через площадку контура убывает, силовые линии разбегаются от центра к бесконечности, то dФdt < 0, а E = dФdt > 0. Индукционный ток совпадает с направлением обхода, его магнитное поле усиливает внешнее поле B, препятствуя его убыванию. Как показали многочисленные опыты, величина ЭДС индукции не зависит от материала проводника. Она определяется исключительно скоростью изменения пронизывающего его магнитного потока. 3  . Электромагнитная индукция и сохранение энергии. Проанализируем баланс энергии в явлении электромагнитной индукции. Для этого рассмотрим движение проводника с током в магнитном поле.Допустим, проводник длинной l может скользить в однородном магнитном поле по проводникам, присоединённым к полюсам источника постоянного тока с ЭДС E 0 (рис.115). Подвижный проводник замыкает цепь, её сопротивление постоянно и равно R , ток в цепи i. Для простоты полагаем, что сам проводник и направление его движения перпендикулярны вектору B. Работа перемещения проводника под действием силы Ампера F есть  . (16.4)Здесь dФ = Bldx = BdS – магнитный поток, пересечённый проводником при его перемещении на расстояние dx. П  оскольку сила Ампера складывается из сил Лоренца, не изменяющих энергию движения зарядов, то работа перемещения проводника может совершаться не за счёт энергии магнитного поля, а за счёт энергии источника тока с ЭДС E 0. Приняв во внимание тепло Джоуля – Ленца, выделяющееся в проводнике, полная работа источника тока равнаE 0idt = i2Rdt + idФ. (16.5) Разделив обе части равенства на iRdt и разрешив его относительно тока i, получаем:  . (16.6)Очевидно, dФdt – ЭДС индукции. Она направлена на встречу ЭДС источника тока и уменьшает ток в цепи. Формулу (16.6) получил Герман Гельмгольц в 1847 г. Она позволяет рассматривать закон электромагнитной индукции как следствие закона сохранения энергии. Чем быстрее скользит проводник, тем больше линий B он пересекает, тем больше ЭДС индукции, тем меньше ток в цепи. И наоборот. Эта ситуация реализуется в якорях электрических двигателей. Чем больше нагрузка, тем медленнее вращается якорь, тем меньше возникающая в нём ЭДС индукции. Поэтому ток, протекающий по якорю, велик. Велика и потребляемая двигателем мощность. С уменьшением нагрузки скорость вращения якоря увеличивается, увеличивается так же и ЭДС индукции, уменьшающая ток в цепи, и потребляемая двигателем мощность падает. Механизм работы источника тока по перемещению проводника в магнитном поле состоит в следующем. Допустим, в проводнике есть свободные положительные и отрицательны заряды. Электрическое поле источника тока E направлено вдоль по проводнику (ось ОХ, рис.116). Оно разгоняет свободные заряды до некоторой скорости v, совершая работу mv22. Если проводник находится в магнитном поле B (на рис.116 линии B направлены “от нас”), на заряды действует сила Лоренца fm. Траектория движения зарядов искривляются в одну сторону. В результате наряду с составляющей импульса mvx появляется нормальная к оси проводника составляющая mvy. При соударении зарядов с узлами решётки именно эта составляющая создаёт силу Ампера. Если проводник движется под действием этой силы, свободные заряды под действием этой силы, свободные заряды сталкиваются с “убегающими” узлами. Поэтому даже при упругом ударе их энергия после соударения уменьшается. Часть её идёт на совершение работы по перемещению проводника. 4. Вихревые токи Фуко. Если массивный проводник находится в быстро переменном магнитном поле, то благодаря его малому электрическому сопротивлению под действием ЭДС индукции в нём могут возбуждаться большие индукционные токи. Эти токи обнаружил по нагреванию проводников в 1855 г. Жан Фуко. Токи Фуко тормозят движение проводников в магнитном поле. Они возникают в любом случае, когда изменяется магнитный поток, пронизывающий проводник. В индукционных электропечах тепло индукционных токов используется для плавки металлов. В бытовых микроволновых печах – для приготовления пищи. Выделение же тепла в магнитопроводах нежелательно. С целью его уменьшения сердечники трансформаторов, якоря и статоры электродвигателей набирают из отдельных покрытых оксидным слоем тонких стальных пластин, а на высоких частотах используют сердечники из ферритов с большим удельным сопротивлением. 5. Самоиндукция. Каждый контур, по которому идёт ток, создаёт магнитное поле, а поэтому пронизывается магнитным потоком собственного поля. Величина этого потока Ф пропорциональна току i, протекающему по контуру. Ф = L·i. (16.7) Коэффициент пропорциональности L называют коэффициентом самоиндукции или индуктивностью контура. При изменении тока в контуре изменяется и пронизывающий его магнитный поток. В результате в контуре наводится ЭДС самоиндукции.  . (16.8)Знак минус здесь показывает, что направление ЭДС самоиндукции противоположно направлению изменения тока. В результате изменение тока в контуре замедляется. Например, если ток в контуре убывает, то возникающая ЭДС самоиндукции при этом направлена по току. Она препятствует уменьшению тока. Если же ток в контуре возрастает, то ЭДС самоиндукции направлена против тока. Она тормозит нарастание тока. Наличие индуктивности приводит к тому, что контур приобретает электрическую инертность. Она состоит в том, что любое изменение тока в контуре тормозится тем сильнее, чем больше индуктивность контура L. Э  тот факт хорошо иллюстрируется опытом А. Эйхенвальда. Две одинаковые лампочки Л1 и Л2 (6,3 В, 0,28 А) подключены параллельно к источнику постоянного тока с ЭДС E 0 = 6 В. Последовательно с одной из ламп (Л2 на рис.117) включена катушка на 3000-4000 витков. При замыкании цепи ключом Кл хорошо видно, что лампа Л2 загорается позже лампы Л1.Явление самоиндукции открыл в 1832 г. Джозеф Генри. Его именем названа единица индуктивности в СИ. Определение её можно дать на основе формулы (16.8): один генри (1 Гн) – это индуктивность такого контура, при изменении тока в котором со скоростью 1 А в секунду в контуре наводится ЭДС индукции 1 В. . Магнетики. Магнитная проницаемость. Магнетиком называют любое вещество в магнитном поле. Сила взаимодействия между элементарными токами dF, определяемая законом Ампера (12.6), зависит от того, в каком веществе находится взаимодействующие токи. Её силу можно представить так: dF = mdF0. (17.1) где dF0 сила взаимоде§17. Поле в магнетиках. Диамагнетизм йствия между этими токами в вакууме. Некоторые вещества уменьшают силу взаимодействия токов по сравнению с вакуумом, другие – увеличивают. Безразмерное число μ, показывающее во сколько раз сила взаимодействия между токами в веществе больше силы взаимодействия в вакууме, называют магнитной проницаемостью вещества. Магнитная проницаемость μ – всегда положительное число, больше или меньше 1. Она входит в формулы законов Ампера, Био-Савара-Лапласа, электромагнитной индукции и в их многочисленные следствия. 2. Вектор намагниченности. Магнитная восприимчивость. Магнитные свойства тел обусловлены движением электрических зарядов в атомах и молекулах. Любой движущийся в оболочке атома электрон в магнитном отношении эквивалентен элементарному контуру с током, имеющему определённый магнитный момент, называемый орбитальным. Кроме того, каждый электрон имеет собственный магнитный момент, называемый спиновым. Спиновый момент в начале связывался с предполагаемым вращением электрона вокруг своей оси. Когда позднее выяснилось, что эта наглядная модель неприменима, спиновый момент стали просто полагать определённым качеством электрона, таким как масса и заряд. Магнитный момент атома слагается из орбитальных и спиновых магнитных моментов всех его электронов и магнитного момента ядра. Полный магнитный момент единицы объёма вещества называют вектором намагничения вещества и обозначают J, Он равен сумме магнитных моментов всех частиц в единице объёма. В несильных полях вектор намагничения пропорционален индукции магнитного поля,  . (17.2)Магнитная постоянная μ0 введена здесь для уравнивания размерностей так, чтобы коэффициент пропорциональности χ был безразмерным числом. Величину χ называют магнитной восприимчивостью вещества. Между μ и χ линейная связь: μ = χ + 1. (17.3) Магнитная восприимчивость χ может быть как положительным, так и отрицательным числом. В зависимости от значений χ и μ все материалы делятся на три большие группы: χ < 0, μ < 1 – диамагнетики; χ > 0, μ > 1 – парамагнетики; χ >> 0, μ >> 1 – ферромагнетики. 3. Диамагнетики – это вещества, магнитный момент атомов которых в отсутствие внешнего магнитного поля равен нулю. К диамагнетикам относятся все инертные газы, металлы Cu, Ag, Au, Pb, Hg, Zn, а также Sb, I (йод), C, Si, S, H2O, N2, Сo2 и большинство органических соединений. При внесении диамагнетика во внешнее поле суммарный магнитный момент каждого атома становится отличным от нуля и направленным против внешнего поля. Всё вещество в целом приобретает направленный против поля магнитный момент. В результате магнитное поле в веществе диамагнетика ослабляется, а сам диамагнетик выталкивается из поля. 4. Механизм ослабления магнитного поля в диамагнетиках объяснил в 1903 – 905 г.г. Поль Ланжевен. В то время ещё не были разработаны динамические модели атома Бора и Резерфорда. Было известно лишь, что в состав наружной оболочки атомов входит электрон – частица, хорошо изученная в опытах с катодными лучами и с фотоэффектом. Поэтому в основу своих рассуждений Ланжевен положил гипотезу Ампера о молекулярных круговых токах. Атом в теории Ланжевена представляет собой положительно заряженное ядро, вокруг которого по круговым траекториям движутся электроны. Объяснение Ланжевена сделано в рамках классической электронной теории. То есть он полагал, что электроны подчиняются законам Ньютона, а их энергия может изменяться непрерывно. Рассмотрим состояние отдельного электрона в атоме, когда внешнего магнитного поля нет, и состояние, когда внешнее поле есть. Полагаем, что движение электронов в атоме не связаны между собой. а. Поля нет, B=0. Полагаем, что рассматриваемый электрон движется во внешней оболочке вокруг центрально-симметричного иона. В отсутствие внешнего поля уравнение движения его имеет вид:  . (17.4)Здесь m – масса электрона, ω – угловая скорость его обращения вокруг иона, fКл - кулоновская сила притяжения электрона к положительному иону (рис.120-а). Магнитный момент диамагнитных атомов в отсутствие внешнего поля равен нулю. Но это значит, что орбитальный магнитный момент электрона рmе равен по величине противоположно направленному магнитному моменту иона рmи. (Спиновые магнитные моменты здесь не принимаются во внимание. Это не влияет на строгость рассуждений, поскольку при включении поля В они не меняются). б. Внешнее поле В рmе. При включении внешнего магнитного поля В на электрон кроме кулоновской будет действовать ещё магнитная составляющая силы Лоренца fm. Если вектор B сонаправлен с орбитальным моментом электрона рmе (рис.120-б), то сила fm направлена по радиусу вращения в сторону, противоположную кулоновской силе. Угловая скорость обращения электрона изменяется на величину , а уравнение движения принимает вид: m( + )2r= fКл + fm. (17.5) Вычтем из (17.4) уравнение (17.5) m2r+ m2r+2mr+ mr=fm. (17.6) Пренебрегаем членом, содержащим ()2. Спроектировав уравнение (17.6) на радиус-вектор r и приняв во внимание, что вектор B перпендикулярен плоскости вращения электрона, получаем: 2m( r) = evB. Так как ωr = v, то  . (17.7)З  десь e – заряд движущегося вокруг иона электрона, в данной формуле – положительное число. При заранее заданном направлении орбитального момента рmе относительно магнитного поля B изменение знака заряда e орбитальной частицы компенсируется изменением направления её движения и не влияет на направление силы Лоренца. Итак, при В рmе электрон тормозится, его частота обращения уменьшается, уменьшается и орбитальный момент рmе. Равновесие между орбитальным моментом рmе и моментом иона рmи нарушается. Момент иона становится больше, чем орбитальный момент электрона. Диамагнитный атом приобретает во внешнем поле магнитный момент, направленный против внешнего поля B. В результате поле в диамагнетике ослабляется. в. Поле Врmе (рис.120-в). В этом случае сила Лоренца меняет направление, её проекция на радиус становится отрицательной. Поэтому вместо evB в формуле (17.7) получается + evB, и выражение частоты принимает вид: = eB2m. (17.8) Здесь все величины – положительные числа. Частота обращения электрона в этом случае увеличивается, орбитальный магнитный момент электрона рmе становится больше по величине магнитного момента иона рmи. В результате диамагнитный атом приобретает магнитный момент, и в этом случае направленный против поля В. Поле В ослабляется. Заметим, что в первом случае, когда Врmе, атом находится в устойчивом равновесии. Во втором случае, когда Врmе, равновесие неустойчиво, вероятность его реализации ничтожна. 5. Относительное изменение орбитального магнитного момента электрона рmерmе можно найти, используя формулу момента кругового тока (13.14). Если электрон совершает вокруг ядра в единицу времени ν = ω2π оборотов, то это равносильно тому, что по орбите как по проводнику идёт ток i = eν = eω2π. Тогда  . (17.9)Здесь r – радиус орбиты электрона. Изменение орбитального момента электрона обусловлено изменением угловой скорости его обращения,  . (17.10)Относительное изменение момента равно  . (17.11)Скорость обращения электрона ω в невозмущённом атоме найдётся из уравнения (17.4). Полагая заряд иона + e, спроектировав уравнение на радиус и подставив в него выражение кулоновской силы fКл = e24πε0r2,получаем:  . (17.12)Изменение скорости Δω по величине определяется формулой (17.8). Подставляем (17.8) и (17.12) в формулу (17.11).  . (17.13)Поля, создаваемые обычными электромагнитами, достигают B = 1 Tл. Радиус атомов r ≈ 1010 м, масса электрона m ≈ 1030 кг.  .6  . Ларморовская прецессия электронных орбит. Рассмотренные в п.4 случаи, когда векторы В и рmе параллельны или антипараллельны, являются идеализациями. В действительности ориентация атомов в газах, жидкостях, в поликристаллах носит случайный характер. Поэтому угол между векторами B и рmе заключён в интервале от 0 до .Действующее на элементарный круговой ток однородное магнитное поле B создаёт пару сил с моментом  (См. §14, п.2, формула 14.4).Движущиеся по круговой орбите электрон обладает механическим моментом (импульса) L = mυr . Поэтому электронная орбита представляет собой гироскоп. Под действием момента пары сил M гироскоп прецессирует с угловой скоростью Ω вокруг оси OZ, параллельной полю B (рис.121). Найдём угловую скорость прецессии Ω. Для этого рассмотрим силы, действующие на электрон в неинерциальной системе отсчёта, связанной с орбитой и равномерно вращающейся с угловой скоростью Ω вокруг оси OZ инерциальной системы, связанной с магнитным полем B. Кулоновская сила fКл, удерживающая электрон на круговой орбите, действуют внутри атома и не влияет на прецессионное движение электрона. Прецессию создают действующие на электрон внешние силы. Это сила Лоренца  и две силы инерции: сила Кориолиса  и центробежная сила инерции  .Здесь va - скорость движения электрона относительно магнитного поля B. То есть это скорость в ИСО. Она равна сумме относительной v (скорости движения электрона в атоме) и переносной  (скорости, обусловленной прецессией атома),  .Логично полагать, что угловая скорость прецессии Ω – величина того же порядка, что и изменение скорости Δω, найденное в п.4. То есть эта величина на 5-6 порядков меньше величины ω. Но это значит, что и переносная скорость . На несколько порядков меньше скорости v электрона в атоме. Поэтому пренебрежём переносной скоростью и будем полагать va = v. Из-за малости Ω пренебрежём так же членом, содержащим Ω2, то есть центробежной силой инерции .В результате кроме внутренней кулоновской силы, удерживающей электрон на окружности, на него действуют ещё две внешние – сила Кориолиса fкор и сила Лоренца fm. Обе эти силы лежат на радиусе r, перпендикулярном к оси OZ. При равномерном вращении НИСО сумма этих сил равна нулю.  ,  . (17.14)Отсюда  . (17.15)Заряд электрона e здесь – отрицательное число. Его магнитный момент рmе противоположен механическому моменту импульса  (рис.121). Взаимная ориентация векторов рmе и L меняется при смене знака орбитальной частицы.Формула (17.15) определяет угловую скорость прецессии электронной орбиты в магнитном поле. Эта ларморовская прецессия определяет реальный диамагнетизм, присущий атомам всех химических элементов. При включении магнитного поля внутреннее состояние электрона на орбите не меняется. Это значит, что не меняется частота ω его обращения. Просто орбита электрона начинает прецессировать вокруг оси OZ, параллельной линиям B, с угловой скоростью . П  олученное в пункте 4 формальное изменение частоты обращения электрона Δω можно толковать как результат наложения на обращение электрона, происходящее с частотой ω, ларморовской прецессии его орбиты с частотой Δω = Ω.7. Магнитная восприимчивость диамагнетиков. Магнитный момент атомов диамагнетиков появляется лишь при включении внешнего поля B. Он равен сумме изменений орбитальных моментов электронов, обусловленных прецессией их орбит. Чем меньше угол α между вектором B и вектором орбитального момента рmе, тем большую площадь в плоскости XOY, перпендикулярную B, ометает электрон при прецессии его орбиты, тем более абсолютная величина рmе. На рис.122 показано сечение области, в которой находится прецессирующий электрон (Заштрихованное кольцо внизу рисунка). Расстояние электрона от оси OZ изменяется в пределах от rmin до rmax . Оно тем больше, чем меньше угол θ. Изменение орбитального магнитного момента электрона равно произведению тока его прецессионного движения i = eΩ2π на площадь токового контура  . , или  . (17.16)Допустим, что атом содержит z электронов, которые в своём движении не влияют друг на друга. Так как в диамагнетике в отсутствие поля B  , то это значит, что расположение электронов в атоме симметрично. Их средние расстояния по осям одинаковы. ,  . (17.17)Подставляем в (17.16) и умножаем на число электронов z  . (17.18)Если концентрация атомовn, то вектор намагничения  . (17.19)Так как n = NAM, где - плотность вещества, М – его малярная масса, NA – число Авогадро, то окончательно поучаем:  . (17.20)Отсюда получаем магнитную восприимчивость вещества диамагнетика в классической теории Ланжевена.  . (17.21)Таблица 17.1
Сравнение результатов показывает, что теория Ланжевена неплохо удовлетворяет эксперименту. Даже самые большие расхождения по величине не превышают одного порядка. Что удивительно, если учесть множество нестрогостей в теории Ланжевена. Заметим, что диамагнетизм – это проявление закона электромагнитной индукции. При включении магнитного поля возбуждающееся при нарастании индукции В вихревое электрическое поле совершает работу по генерации индукционного тока – прецессионного движения электронов. Согласно правилу Ленца направление индукционного тока таково, что его магнитное поле препятствует нарастанию внешнего поля В, то есть ослабляет его. Внутриатомное движение электронов не затухает. Поэтому ослабление поля В сохраняется до тех пор, пока поле В не начнёт исчезать. Уменьшаясь, оно возбуждает вихревое электрическое поле, которое затормаживает прецессию электронов. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||