Лекции матем. Линейная алгебра Основные определения Определение. Матрицей
 Скачать 2.52 Mb.
|
D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;x1 = (6 + 2)/2 = 4; x1 = (8 + 4)/2 = 6; x2 = (6 – 2)/2 = 2 ; x2 = (8 – 4)/2 = 2; Тогда Пример. Найти предел. домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: = = . Пример. Найти предел. Пример. Найти предел . Разложим числитель и знаменатель на множители. x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3), т.к. x 3 – 6x2 + 11x – 6 x - 1 x3 – x2 x2 – 5x + 6 - 5x2 + 11x - 5x2 + 5x 6x - 6 6x - 6 0 x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) Тогда Пример. Найти предел. - не определен, т.к. при стремлении х к 2 имеют место различные односторонние пределы -∞ и +∞. Определение.'>Комплексные числа Определение. Комплексным числом z называется выражение , где aи b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением: При этом число a называется действительной частью числа z (a = Rez), а b- мнимой частью (b = Imz). Если a =Rez =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Imz = 0, то число z будет действительным. Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными. Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части: Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части. Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел. Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью. у A(a, b) r b 0 a x Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые. С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме. Тригонометрическая форма числа Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде: Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа. При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона - аргументом комплексного числа. . Из геометрических соображений видно: Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы. Действия с комплексными числами Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами. 1) Сложение и вычитание 2) Умножение В тригонометрической форме: , С случае комплексно – сопряженных чисел: 3) Деление В тригонометрической форме: 4) Возведение в степень Из операции умножения комплексных чисел следует, что В общем случае получим: , где n – целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра. (Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик) Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов. Пример. Найти формулы sin2 и cos2. Рассмотрим некоторое комплексное число Тогда с одной стороны . По формуле Муавра: Приравнивая, получим Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то Получили известные формулы двойного угла. 5) Извлечение корня из комплексного числа Возводя в степень, получим: Отсюда: Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений. Пример. Даны два комплексных числа . Требуется а) найти значение выражения в алгебраической форме, б) для числа найти тригонометрическую форму, найти z20, найти корни уравнения Очевидно, справедливо следующее преобразование: Далее производим деление двух комплексных чисел: Получаем значение заданного выражения: 16(-i)4 = 16i4 =16. б) Число представим в виде , где Тогда . Для нахождения воспльзуемся формулой Муавра. Если , то |