Лекции матем. Линейная алгебра Основные определения Определение. Матрицей

• Название: Линейная алгебра Основные определения Определение. Матрицей
• Анкор: Лекции матем
• Дата: 15.01.2023
• Размер: 2.52 Mb.
• Имя файла: Lektsii_po_matematike_Gorny_Universitet.doc
• Тип: Документы; #887906
• страница: 4 из 5

Дифференциальное исчисление функции

одной переменной
Производная функции, ее геометрический и физический смысл
Определение. Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.


у

f(x)


f(x₀ +Dx) P

Df

f(x₀) M

a b Dx

0 x₀ x₀ + Dx x

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.
,
где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).
Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.
Уравнение касательной к кривой:
Уравнение нормали к кривой: .

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.


Основные правила дифференцирования
Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.
1) (u±v)¢ = u¢±v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) , если v ¹ 0
Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.
Производные основных элементарных функций
1)С¢ = 0; 9)

2)(x^m)¢ = mx^m-1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)



Производная сложной функции
Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.
Тогда

Логарифмическое дифференцирование
Рассмотрим функцию .

Тогда (lnïxï)¢= , т.к. .
Учитывая полученный результат, можно записать .

Отношение называется логарифмической производной функции f(x).

Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

Производная показательно- степенной функции
Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.

Найдем производную функции y = u^v. Логарифмируя, получим:
lny = vlnu

Пример. Найти производную функции .

По полученной выше формуле получаем:

Производные этих функций:

Окончательно:


Производная обратных функций
Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:


т.к. g¢(y) ¹ 0

т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.
Пример. Найти формулу для производной функции arctg.
Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:


Известно, что

По приведенной выше формуле получаем:


Т.к. то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

Таким образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.

Пример. Найти производную функции .
Сначала преобразуем данную функцию:


Пример. Найти производную функции .

Пример. Найти производную функции


Пример. Найти производную функции

Пример. Найти производную функции

Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

Если найти производную функции f¢(x), получим вторую производную функции f(x).

т.е. y¢¢ = (y¢)¢ или .

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.

.
Общие правила нахождения высших производных
Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то

1. 
   (Сu)⁽ⁿ⁾ = Cu⁽ⁿ⁾;
   
2. 
   (u ± v)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾ ± v⁽ⁿ⁾;
   

3)

.

Это выражение называется формулой Лейбница.

Также по формуле dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ может быть найден дифференциал n- го порядка.
Исследование функций с помощью производной
Возрастание и убывание функций
Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].
Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f¢(x)£0 на этом отрезке. Если f¢(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

Эту теорему можно проиллюстрировать геометрически:

y y


j j j j

x x

Определение.'>Точки экстремума
Определение. Функция f(x) имеет в точке х₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₁. Функция f(x) имеет в точке х₂ минимум, если f(x₂ +Dx) > f(x₂) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).

Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.
Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.
Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.
Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х³, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.
Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.
Пример: f(x) = ôxô Пример: f(x) =
y y

x


x

В точке х = 0 функция имеет минимум, но не имеет производной.

В точке х = 0 функция не имеет ни максимума, ни минимума, ни производной.

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х₁).

Если при переходе через точку х₁ слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х₁ функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.
На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

1. 
   Найти критические точки функции.
   
2. 
   Найти значения функции в критических точках.
   
3. 
   Найти значения функции на концах отрезка.
   
4. 
   Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.
   

Исследование функции на экстремум с помощью

производных высших порядков
Пусть в точке х = х₁ f¢(x₁) = 0 и f¢¢(x₁) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х₁.

Теорема. Если f¢(x₁) = 0, то функция f(x) в точке х = х₁ имеет максимум, если f¢¢(x₁)<0 и минимум, если f¢¢(x₁)>0.

Выпуклость и вогнутость кривой

Точки перегиба
Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

у

x

На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.
Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f¢¢(a) = 0 или f¢¢(a) не существует и при переходе через точку х = а f¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.


Асимптоты
При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.

Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.


Вертикальные асимптоты
Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).
Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты
Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.


M
j
N

j P

Q

Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j. Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.
Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = - ордината точки N на асимптоте.
По условию: , ÐNMP = j, .

Угол j - постоянный и не равный 90⁰, тогда

Тогда .
Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.
В полученном выражении выносим за скобки х:


Т.к. х®¥, то , т.к. b = const, то .
Тогда , следовательно,
.
Т.к. , то , следовательно,

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.
Пример. Найти асимптоты и построить график функции .
1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.
2) Наклонные асимптоты:

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

Построим график функции:

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .
Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.
Найдем наклонные асимптоты:

y = 0 – горизонтальная асимптота.
Пример. Найти асимптоты и построить график функции .
Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.
Найдем наклонные асимптоты.

Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

Схема исследования функций
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1. 
   Область существования функции.
   

Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2. 
   Точки разрыва. (Если они имеются).
   
3. 
   Интервалы возрастания и убывания.
   
4. 
   Точки максимума и минимума.
   
5. 
   Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
   
6. 
   Области выпуклости и вогнутости.
   
7. 
   Точки перегиба.(Если они имеются).
   
8. 
   Асимптоты.(Если они имеются).
   
9. 
   Построение графика.
   

Применение этой схемы рассмотрим на примере.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции


Критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.
Найдем вторую производную функции

.
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая

< x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.
-¥ < x < - , y¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает
Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно -3 /2 и 3 /2.
Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.
Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.
Построим график функции:

Векторная функция скалярного аргумента

z
A(x, y, z)

y

х
Пусть некоторая кривая в пространстве задана параметрически:

x = j(t); y = y(t); z = f(t);
Радиус- вектор произвольной точки кривой: .

Таким образом, радиус- вектор точки кривой может рассматриваться как некоторая векторная функция скалярного аргумента t. При изменении параметра t изменяется величина и направление вектора .
Запишем соотношения для некоторой точки t₀:

Тогда вектор - предел функции (t). .
Очевидно, что

, тогда
.
Чтобы найти производную векторной функции скалярного аргумента, рассмотрим приращение радиус- вектора при некотором приращении параметра t.


; ;


или, если существуют производные j¢(t), y¢(t), f¢(t), то


Это выражение – вектор производная вектора .

Если имеется уравнение кривой:

x = j(t); y = y(t); z = f(t);

то в произвольной точке кривой А(x_А, y_А, z_А) с радиус- вектором


можно провести прямую с уравнением

Т.к. производная - вектор, направленный по касательной к кривой, то
.
Уравнение нормальной плоскости к кривой будет иметь вид:
Пример. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к линии, заданной уравнением в точке t = p/2.
Уравнения, описывающие кривую, по осям координат имеют вид:
x(t) = cost; y(t) = sint; z(t) = ;

Находим значения функций и их производных в заданной точке:
x¢(t) = -sint; y¢(t) = cost;

x¢(p/2) = -1; y¢(p/2) = 0; z¢(p/2)=

x(p/2) = 0; y(p/2) = 1; z(p/2)= p /2

• 
  это уравнение касательной.
  

Нормальная плоскость имеет уравнение:
Параметрическое задание функции
Исследование и построение графика кривой, которая задана системой уравнений вида:

,

производится в общем то аналогично исследованию функции вида y = f(x).
Находим производные:

Теперь можно найти производную . Далее находятся значения параметра t, при которых хотя бы одна из производных j¢(t) или y¢(t) равна нулю или не существует. Такие значения параметра t называются критическими.

Для каждого интервала (t₁, t₂), (t₂, t₃), … , (t_k-1, t_k) находим соответствующий интервал (x₁, x₂), (x₂, x₃), … , (x_k-1, x_k) и определяем знак производной на каждом из полученных интервалов, тем самым определяя промежутки возрастания и убывания функции.

Далее находим вторую производную функции на каждом из интервалов и, определяя ее знак, находим направление выпуклости кривой в каждой точке.

Для нахождения асимптот находим такие значения t, при приближении к которым или х или у стремится к бесконечности, и такие значения t, при приближении к которым и х и у стремится к бесконечности.

В остальном исследование производится аналогичным также, как и исследование функции, заданной непосредственно.
На практике исследование параметрически заданных функций осуществляется, например, при нахождении траектории движущегося объекта, где роль параметра t выполняет время.

Ниже рассмотрим подробнее некоторые широко известные типы параметрически заданных кривых.