Линейные балансовые модели в экономике

• Название: Линейные балансовые модели в экономике
• Дата: 02.03.2023
• Размер: 0.54 Mb.
• Имя файла: L_B_mod.doc
• Тип: Документы; #965325
• страница: 3 из 5

Статическая модель межотраслевого баланса. Коэффициенты прямых материальных затрат. Достаточное условие продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат. Структурная форма линейной модели баланса межотраслевых материально-вещественных связей.

Межотраслевой баланс (МОБ) представляет собой таблицу, в которой отражен процесс формирования и использования совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе.

Балансы бывают отчетные и плановые. Отчетные фиксируют сложив­шиеся пропорции, а плановые отражают некоторое желательное состояние и получаются в результате расчета по моделям, о которых и пойдет речь в этой главе.

В зависимости от того, в каких единицах измеряются межотраслевые потоки, различают балансы натуральные и стоимостные. Далее мы будем иметь в виду в основном стоимостные балансы.

Предположим, что народное хозяйство представлено совокупностью п отраслей. Будем считать, что каждая отрасль производит только один про­дукт и каждый продукт производится только одной отраслью, т. е. между от­раслями и продукцией существует взаимно однозначное соответствие. В действительности это не так, поэтому в МОБ фигурируют не реальные, а так называемые "чистые", или "технологические", отрасли.

Общий вид межотраслевого баланса представлен в таблице. Она состоит из четырех разделов. Первый раздел образуется перечнем "чистых" отраслей. Каждая отрасль представлена в МОБ дважды: как производящая и как пот­ребляющая. Отрасли как производителю соответствует строка таблицы, от­расли как потребителю соответствует столбец. На пересечении i-й строки и j-го столбца находится величина x_ij - количество продукции i-й отрасли (в денежном выражении), израсходованной на производственные нужды j-й отрасли. Таким образом, первый раздел характеризует межотраслевые по­токи сырья, материалов, энергии и т. д., обусловленные производственной деятельностью отраслей.

	1	2	…	n	У	Х
1	x11	x12	…	x1n	y1	x1
2	х21	x22		x2n	y2	x2
…	…	…	…	…	…	…
n	xn1	xn2	…	xnn	yn	xn
V	v 1	v2	…	vn
Х	x1	x2	. . .	xn

Второй раздел МОБ состоит из двух столбцов. Столбец Y - это конечная продукция отраслей. Конечная продукция включает в себя непроизводствен­ное потребление (личное и общественное), возмещение выбытия основных фондов и накопление. Столбец Х содержит величины валового производст­ва отраслей.

Третий раздел представлен двумя нижними строками. Строка Х содер­жит те же самые величины, что и соответствующий столбец второго раздела. Строка V содержит величины условно-чистой продукции отраслей. Условно-чистая продукция включает в себя амортизационные отчисления и вновь созданную стоимость (заработную плату и прибыль).

Четвертый раздел МОБ не имеет непосредственного отношения к ана­лизу межотраслевых связей. Он характеризует перераспределительные отно­шения в народном хозяйстве и здесь рассматриваться не будет.

Строки показывают распределение продукции. Для любой i-й строки первого раздела справедливо соотношение



т.е. вся произведенная i-й отраслью продукция х_i (валовая продукция в де­нежном выражении) делится на промежуточную и конечную. Промежуточ­ная продукция - это та часть валовой продукции i-й отрасли, которая расхо­дуется другими отраслями в процессе осуществления ими собственных производственных функций.

Столбцы МОБ показывают структуру затрат. Для любого j-го столбца можно записать:



т.е. стоимость всей произведенной j-й отраслью продукции х_j состоит из те­кущих производственных затрат и условно-чистой продукции v_j.

Суммарный конечный продукт равен суммарной условно-чистой про­дукции. Действительно,





Сравнивая правые части этих соотношений, видим, что



Зная суммарный конечный продукт или, что то же, суммарную условно-чистую продукцию, можно определить национальный доход. Он равен разности суммарного конечного продукта и амортизационных отчислений, направляемых на возмещение выбытия основных фондов.

Рассмотренная таблица МОБ всего лишь форма представления статистической информации о взаимосвязи отраслей. Перейдем теперь к построе­нию математической модели. Для этого введем понятие коэффициентов прямых материальных затрат:

                                  (1)

Коэффициент a_ij показывает, какое количество i-го продукта затрачивается на производство единицы j-го продукта.

Поскольку продукция измеряется в стоимостных единицах, коэффици­енты прямых затрат являются величинами безразмерными. Кроме того, из (1) следует, что

                                 (2)

Считая коэффициенты прямых материальных затрат постоянными, запишем систему балансовых соотношений



следующим образом:



Перенося y_iв правую часть, а x_i в левую и меняя знаки на противопо­ложные, получаем



В матричной форме эта система уравнений выглядит следующим обра­зом:

X - AX = Y  или  (E - A) X = Y,

где Е - единичная матрица n-го порядка;

 - матрица коэффициентов прямых материальных затрат.

Итак, мы получили систему уравнений межотраслевого баланса, кото­рую называют моделью Леонтьева. Используя эту модель, можно ответить на основной вопрос межотраслевого анализа – каким должно быть валовое производство каждой отрасли для того, чтобы экономическая система в целом произвела заданное количество конечной продукции?

Следует отметить одно важное свойство матрицы А – сумма элементов любого ее столбца меньше единицы:

                                 (3)

Для доказательства разделим обе части балансового соотношения



на х_j и, выполнив простейшие преобразования, полу­чим



где v_j / x_j= - доля условно-чистой продукции в единице валового выпуска.

Очевидно, что >0, так как в процессе производства не может не создавать­ся новой стоимости. Из этого следует справедливость соотношения (3).

Свойства (2) и (3) матрицы А играют ключевую роль в доказательстве ее продуктивности, т. е. в доказательстве того, что при любом неотрицатель­ном Y система

X - AX = Y  или  (E - A) X = Y,

имеет единственное и неотрицательное решение Х=(Е-А)^-1Y. Матрицу (Е-А)^-1 обозначают через В и называют матрицей коэффициентов полных материальных затрат, или обратной матрицей Леонтьева. Коэф­фициент b_ijэтой матрицы показывает, каким должен быть валовой выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить производство единицы конечного продукта j-й отрасли. Используя матрицу В, можем записать

Х = ВY

или в развернутом виде



Преимущество такой формы записи балансовой модели состоит в том, что, вычислив матрицу В лишь однажды, мы можем многократно использовать ее для вычисления Х прямым счетом, т.е. умножением В на Y. Это гораздо проще, чем каждый раз решать систему линейных уравнений.

Обратную матрицу В можно вычислить, используя метод обращения с применением формулы разложения ее в матричный ряд:

В=Е+А+А²+...+А^k+...                                             (4)

Число членов ряда, необходимое для получения достаточно точного приближения, зависит от матрицы А, но в любом случае приемлемый результат достигается при k³ ≈30.

Формула (4) имеет строгое математическое доказательство. Но мы ограничимся тем, что попытаемся осмыслить ее, рассматривая Х как результат некоторого гипотетического процесса последовательного уточне­ния промежуточной продукции, необходимой для создания заданного конечного продукта.

Итак, вектор конечной продукции, которую должна произвести эконо­мическая система, равен Y. Будем считать, что это и есть первоначальное задание отраслям, т. е. Х₀ =Y. Для выполнения собственного задания каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей. Если бы все отрасли подсчитали потребности и подали заявки в некоторый центр, то оказалось бы, что суммарная потребность составляет X₁ =АХ₀=АY. Вектор X₁ можно рассматривать как промежуточную продукцию, необходимую для производства Х₀. Но под обеспечение производства X₁ тоже нужна проме­жуточная продукция: X₂ =АХ₁ =А²Y. Рассуждая так и далее, мы приходим к выводу, что

Х=Х₀+Х₁+Х₂+...+Х_k+... = Y+АY+А²Y+...+A^kY+... =

= (е+а+а²+…+а^k+...)Y.

Полные затраты можно разложить на прямую и косвенную составля­ющие. Прямые затраты осуществляются непосредственно при производстве данного продукта, а косвенные А²+А³+…+А^k+... относятся к предшествую­щим стадиям производства. Они осуществляются не прямо, а через посред­ство других ингредиентов, входящих в данный продукт. Элементы матрицы А² представляют собой косвенные затраты первого порядка, элементы матрицы А³ - косвенные затраты второго порядка и т. д.