книга по линейной алгебре. книга по АИГУ. Линейные пространства
 Скачать 1.91 Mb.
|
|
k g k ) = θ , а поскольку оператор A инъективен, то и α 1 g 1 + α 2 g 2 + ... + k g k = θ . Вследствие линейной независимости векторов g 1 , g 2 , ..., g k получаем, что α i = 0, i = 1, ..., k , а значит, и A(g 1 ), A(g 2 ), ..., A(g k ) также линейно независимы. Итак, инъективный линейный оператор переводит линейно независимые векторы в линейно независимые. Так как любой ненулевой вектор пространства представляет собой линейную ком- бинацию линейно независимых векторов базиса, заключаем, что его образ не может быть равен нулю. Обратно: пусть KerA = {θ}. Возьмём x, y ∈ L : A(x) = A(y). Тогда A(x) − A(y) = θ или A(x − y) = θ , т.е. (x − y) ∈ KerA. Следовательно, x − y = θ и элементы совпадают. Теорема 4. Пусть — произвольный линейный оператор пространства L. Тогда сумма раз- мерностей образа и ядра равна размерности пространства: dimImA + dimKerA = dimR Доказательство. Пусть dimKerA = k; e 1 , e 2 , ..., e k − базис KerA; e k+1 , e k+2 , ..., e n − дополнение до базиса L. Рассмотрим векторы Ae k+1 , Ae k+2 , ..., Ae n . Очевидно, что все они принадлежат образу опера- тора A. Покажем, что они образуют базис в ImA. Сначала проверим линейную независимость. λ k+1 Ae k+1 + λ k+2 Ae k+2 + ... + λ n Ae n = θ , 2 или A(λ k+1 e k+1 + λ k+2 e k+2 + ... + λ n e n ) = θ , т.е. λ k+1 e k+1 +λ k+2 e k+2 +...+λ n e n ∈ KerA, что невозможно, так как это линейная комбинация векторов, не принадлежащих ядру. Следовательно, λ k+1 e k+1 + λ k+2 e k+2 + ... + λ n e n = θ , а поскольку базисные векторы линейно независимы, λ k+1 = λ k+2 = λ n = 0 и Ae k+1 , Ae k+2 , ..., Ae n линейно независимы. Теперь возьмём произвольный вектор y = Ax ∈ ImA. Вектор x можно представить в виде суммы элементов ядра и элементов, не принадлежащих ядру: x = (α 1 e 1 + ... + α k e k ) + (α k+1 e k+1 + ... + α n e n ) Тогда y = Ax = A(α 1 e 1 + ... + α k e k ) + A(α k+1 e k+1 + ... + α n e n ) = θ + α k+1 Ae k+1 + ... + α n Ae n , т.е. любой элемент образа может быть представлен в виде линейной комбинации векторов Ae k+1 , Ae k+2 , ..., Ae n Таким образом, оба условия базиса выполнены, dimKerA = k, dimImA = n − k и dimImA + dimKerA = dimR Замечание. Свойство размерностей ядра и образа из теоремы 4 не означает, что в сумме ядро и образ образуют всё пространство L, т.е. в общем случае KerA ⊕ ImA ̸= L. Рассмотрим пример. Пусть A− линейный оператор пространства V 3 и A(i) = j, A(j) = k, A(k) = θ. Во-первых, запишем матрицу этого оператора: 0 0 0 1 0 0 0 1 0 KerA =< k > , поскольку "обнуляются" только векторы, коллинеарные k. Образ линейного оператора – линейная оболочка столбцов его матрицы, т.е. ImA =< j, k >. Получаем, что KerA ⊂ ImA, KerA + ImA =< j, k >= ImA ̸= V 3 Факторизация линейных пространств Def. Будем говорить, что векторы x и y ∈ L сравнимы по ядру линейного оператора A про- странства L, если существует такой z ∈ KerA, что y = x + z. Обозначение: x ∼ (KerA) y Теорема 5. x и y ∈ L сравнимы по KerA тогда и только тогда, когда их образы относительно оператора A совпадают. Доказательство. 3 Действительно, если x и y ∈ L сравнимы по KerA, то A(y) = A(x + z) = A(x) + A(z) = A(x) + θ = A(x) И наоборот, если A(y) = A(x), то y = x + (y − x), где A(y − x) = A(x) − A(y) = θ, т.е. (y − x) ∈ KerA Теорема 6. Пусть A и B− Линейные операторы пространства L и KerA ⊆ KerB. Тогда существует такой оператор C : A(L) −→ L , что B = CA. Доказательство. Построим оператор C следующим образом: C(z) = B(y), где y ∈ L такой, что A(y) = z. Покажем, что такое определение оператора не зависит от выбора вектора y. Возьмём y 0 ∈ L : A(y 0 ) = z . Тогда y − y 0 ∈ KerA ⊆ KerB , т.е. B(y − y 0 ) = θ и B(y) = B(y 0 ) Замечание. Теорема 5 говорит о том, что линейное пространство L может быть разбито в объединение непересекающихся подмножеств, состоящих из элементов, имеющих один и тот же образ, одним из таких множеств будет само ядро: L = KerA ∪ L y α ∪ L y β ∪ ... по всем y α , y β , ... ∈ ImA Def. Множество таких подмножеств подпространства L называется факторпространством пространства L по ядру оператора A и обозначается L/KerA. Переходя от пространства к факторпространству, по сути, мы перестаём различать элементы, преобразуемые оператором в один вектор, объединяя их в один элемент. На L/KerA можно задать операции сложения и умножения на число: Если y + z = w, то L y + L z = L w Такое определение сложения элементов L/KerA справедливо, так как вследствие линейности оператора, если A(y 0 ) = y , A(z 0 ) = z , то A(y 0 + z 0 ) = A(y 0 ) + A(z 0 ) = y + z = w , т.е. вне зависи- мости от выбора прообразов их сумме будет соответсовать сумма образов, а значит может быть сопоставлена сумма элементов факторпространства L y + L z Умножение элементов на число из поля также согласовано с умножением соответствующих прообразов. Теорема 7. Множество L/KerA является пространством над тем же полем, что и L. Доказательство. Коммутативность и ассоциативность сложения очевидны. Нейтральным элементом в L/KerA будет само ядро KerA: KerA = L θ , y + θ = y соответ- ствует KerA + L y = L y Обратным по сложению для L y будет L −y (проверьте!). Выполнение остальных аксиом распишите самостоятельно. Ещё об одном пространстве, построенном при помощи линейных операторов, будет рассказано 4 позднее. Пример. Рассмотрим оператор ортогонального проектирования на ось Ox в пространстве V 2 x y a b P r −1 1 0 2 3 4 1 2 3 Очевидно, что образы будут совпадать у векторов с одинаковой первой координатой. Ядром оператора будут векторы на оси Oy. Таким образом, V 2 /KerA представляет собой бесконечное объединение множеств векторов с одинаковой первой координатой: V 2 /KerA = ∪ α L α , где L α = {u = (α, y) | y ∈ R} при фиксированном α ∈ R. 5 По итогам лекции нужно знать: 1. Понятия: • Ядро оператора • Образ оператора • Ранг и дефект оператора • Инъективность оператора • Факторпространство 2. Как искать базис ядра и образа 3. Связь размерностей ядра и образа 4. Основные теоретические факты с доказательствами 6 Действия над линейными операторами Пусть A, B− линейные операторы, действующие на линейном пространстве L. Def. Произведением оператора A на число λ ∈ P называется оператор, действующий по пра- вилу (λA)(x) = λ · A(x) для любого x ∈ L. Свойства умножения оператора на число 1. α(βA) = (αβ)A 2. (α + β)A = αA + βA 3. α(A + B) = αA + αB Докажите самостоятельно. Def. Суммой линейных операторов A и B называется оператор, действующий по правилу (A + B)(x) = A(x) + B(x) для любого x ∈ L. Def. Произведением линейных операторов A и B называется оператор, действующий по пра- вилу A ◦ B(x) = A(B(x)) для любого x ∈ L. Def. Если для оператора A существует такой оператор A −1 , что A ◦ A −1 = A −1 ◦ A = Id , то оператор A называется обратимым или невырожденным (в противном случае – вырожденным), а оператор A −1 называется обратным к A. Теорема 1. Сумма и произведение операторов A и B пространства L также являются линей- ными операторами. Доказательство. Для суммы доказательство очевидно. Рассмотрим функцию A◦B, покажем, что она является линейным оператором пространства L. A ◦ B(x + y) = A(B(x + y)) = A(B(x) + B(y)) = A(B(x)) + A(B(y)) = A ◦ B(x) + A ◦ B(y) Для умножения на число распишите самостоятельно. Пусть A и B− матрицы операторов A и B. Теорема 2. Оператор A+B имеет матрицу A+B, оператор A◦B имеет матрицу AB в базисе e 1 , e 2 , ..., e n Доказательство. Вычислим образы базисных векторов A ◦ B(e i ) (B(e i )) e = b 1i b 2i b ni = b 1i e 1 + b 2i e 2 + ... + b ni e n (i−й стобец матрицы B e ) (A ◦ B)(e i ) e = A(B(e i )) e = A(b 1i e 1 + b 2i e 2 + ... + b ni e n ) = b 1i A(e 1 ) + b 2i A(e 2 ) + ... + b ni A(e n ) = 1 b 1i a 11 a 21 a n1 + b 2i a 12 a 22 a n2 + ... + b ni a 1n a 2n a nn = a 11 b 1i + a 12 b 2j + ... + a 1n b ni a 21 b 1i + a 22 b 2j + ... + a 2n b ni a n1 b 1i + a n2 b 2j + ... + a nn b ni , а это и есть результат произведения матриц. Для сложения очевидно. Из теоремы 2 могут быть получены следующие следствия. Следствие 1. Множество операторов линейного пространства L образует абелеву группу от- носительно операции сложения. Вспомните определение группы из первой лекции. Проверьте выполнение четырёх свойств, предъявите нейтральный и обратный элементы. Следствие 2. Умножение операторов в общем случае некоммутативно. Следствие 3. Оператор A обратим тогда и только тогда, когда KerA = {θ}. Действительно, оператор обратим, когда обратима его матрица. Матрица оператора обратима при rankA = n = dimImA ⇐⇒ dimKerA = 0 ⇐⇒ KerA = {θ}. Замечание. Рассмотрим Oper(L) – множество всех операторов линейного пространства L. На этом множестве заданы операции сложения и умножения на число, описанные выше, при- чём относительно сложения это множество образует группу (следствие 1), а перечисленные в начале лекции свойства умножения на число (вкупе с очевидным свойством 1 · A = A) обеспечи- вают выполнение аксиом 5 – 8 линейного пространства. Таким образом, Oper(L)− ещё один пример линейного пространства (над тем же полем, что и само пространство L). Очевидно, что это пространство изоморфно пространству квадратных матриц порядка n. Ис- ходя из этого, легко подобрать базис пространства Oper(L) и определить его размерность. Теперь рассмотрим многочлен от линейных операторов: P (A) = a 0 A m + a 1 A m−1 + ... + a n−1 A + Id , где A− произвольный линейный оператор, а Id− тождественный линейный оператор (счита- ем, что A 0 = Id ). Аналогично для многочлена от матриц (только с матрицей E вместо тождественного опера- тора) . Теорема 3. Для любой матрицы порядка n существуют такие числа a 0 , a 1 , ..., a n 2 ∈ P , что a 0 A n 2 + a 1 A n 2 −1 + ... + a n 2 −1 A + E = Θ Доказательство. Множество матриц порядка n образует линейное пространство размерности n 2 , следовательно любые n 2 + 1 матрица линейно зависимы. Иначе говоря, для любой матрицы существует аннулирующий многочлен степени n 2 , та- кой что P (A) = Θ. 2 Замечание. На самом деле существует многочлен степени n. Этот факт утверждает теорема Гамильтона-Кэли. О том, что это за многочлен, будет сказано позднее (см. лекцию о собственных числах). Инвариантные подпространства Пусть A− линейный оператор на L и L 0 ≤ L Def. Подпространство L 0 называется инвариантным относительно линейного оператора A, если ∀ x ∈ L 0 A(x 0 ) ∈ L 0 , иначе говоря, A(L 0 ) ⊆ L 0 Примеры. 1. Тривиальные случаи: {θ} и само L. 2. A : V 3 → V 3 – оператор поворота геометрического пространства векторов на угол ϕ вокруг оси Ox. Инвариантной является плоскость Oyz, перпендикулярная оси Ox. Сама ось вращения является инвариантной, более того – неподвижной, так как при таком вращении все её точки остаются на месте, а значит, и векторы. 3. У оператора дифференцирования D, действующего на пространстве R n [x] инвариантными являются все подпространства R m [x] при m ≤ n. При этом инвариантными не будут, на- пример, подпространства L x 0 , состоящие из всех многочленов, имеющих корень x 0 : D(x − x 0 ) = 1 / ∈ L x 0 Теорема 4. KerA, ImA− инвариантные подпространства. Доказательство. Для x ∈ KerA очевидно: A(x) = θ ∈ KerA. Для y ∈ ImA не менее очевидно: A(y) ∈ ImA, как и образы всех остальных элементов про- странства L. Def. Сужением оператора A на инвариантное подпространство L 0 ≤ L называется линейный оператор A L 0 : L 0 → L 0 , при котором A L 0 (x) = A(x) для любого x ∈ L 0 Свойства инвариантных подпространств 1. Если L 0 − инвариантное подпространство относительно обратимого оператора A линейного пространства L, то его сужение A L 0 также обратимо. 2. Если L 1 , L 2 ≤ L− инвариантные подпространства относительно линейного оператора A, то их сумма и пересечение L 1 ∩ L 2 и L 1 + L 2 также инвариантны. Если x ∈ L 1 ∩ L 2 , то x ∈ L 1 , x ∈ L 2 =⇒ A(x) ∈ L 1 , A(x) ∈ L 2 =⇒ A(x) ∈ L 1 ∩ L 2 Если x ∈ L 1 + L 2 , то x = x 1 + x 2 , x 1 ∈ L 1 , x 2 ∈ L 2 . Тогда A(x 1 ) = y 1 ∈ L 1 , A(x 2 ) = y 2 ∈ L 2 и A(x) = A(x 1 + x 2 ) = A(x 1 ) + A(x 2 ) = y 1 + y 2 ∈ (L 1 + L 2 ) 3 Теорема 5. Пусть L 0 − инвариантное относительно оператора A подпространство простран- ства L и dimL 0 = m . Тогда существует базис e 1 , e 2 , ..., e n линейного пространства L, в котором матрица оператора A имеет вид: B C 0 D ! , где B− матрица сужения оператора A на подпространство L 0 , 0− нулевая матрица размера (n − m) × m , C, D− некоторые матрицы размеров m × (n − m) и (n − m) × (n − m) соответственно. И наоборот: если в некотором базисе e 1 , e 2 , ..., e n матрица оператора A имеет нулевой угол (нулевую матрицу размера (n − m) × m), то оператор A имеет m−мерное инвариантное подпро- странство. Доказательство. Дополним базис e 1 , e 2 , ..., e m подпространства L 0 векторами e m+1 , ..., e n до базиса L. Тогда для любого вектора L 0 получим: A(e i ) = α 1 e 1 + α 2 e 2 + ... + α m e m + 0 · e m+1 + ... + 0 · e n при i = 1, ..., m. Следовательно, первые m столбцов матрицы оператора A в выбранном базисе будут иметь n − m нулей последними элементами. Обратное утверждение доказывается теми же рассуждениями в обратном порядке. Следствие. Если n−мерное пространство L раскладывается в сумму ненулевых инвариант- ных относительно оператора A подпространств L = L 1 ⊕ L 2 ⊕ ... ⊕ L k , то существует базис, в котором матрица этого оператора имеет блочно-диагональный вид: A 1 0 0 0 A 2 0 0 0 A k , где A i – матрица сужения A L i оператора A на подпространство L i , i = 1, ..., k. Примером может служить рассмотренный выше оператор A поворота вокруг оси Ox: L 1 = Ox, L 2 = Oyz и V 3 = L 1 ⊕ L 2 Матрица оператора в базисе i, j, k будет иметь вид: 1 0 0 0 cosϕ −sinϕ 0 sinϕ cosϕ Отметим, что эта матрица ортогональна. 4 По итогам лекции нужно знать: 1. Понятия: • Произведение оператора на число, сумма и произведение операторов • Аннулирующий многочлен • Инвариантное подпространство 2. Матрица суммы и произведения операторов 3. Групповое свойство операторов 4. Свойства инвариантных подпространств 5. Матрица оператора в базисе из векторов инвариантных подпространств 6. Основные теоретические факты с доказательствами 5 Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Def. Пусть A – линейный оператор пространства L. Тогда, если существует такой вектор x ∈ L \ {θ} , для которого A(x) = λx, то λ называется собственным числом оператора A, а x – собственным вектором оператора A, отвечающим собственному числу λ. То есть собственными являются векторы, коллинеарные своему образу. Пусть x, y− собственные векторы, отвечающие собственному числу λ. Тогда A(αx + βy) = A(αx) + A(βy) = αA(x) + βA(y) = λαA(x) + λβA(y) = λ(αA(x) + βA(y)) = λ(A(αx + βy)) , т.е. вектор αx + βy также оказывается собственным относительно числа λ. Согласно критерию под- пространства получаем, что множество собственных векторов, отвечающих одному собственному числу λ, образует подпространство. Def. Множество решений уравнения A(x) = λx называется собственным подпространством, отвечающим собственному числу λ (это множество всех собственных векторов, отвечающих λ, и вектор θ). Заметим, что собственное подпространство инвариантно относительно оператора A, так как указанное свойство выполнено и для λx. Перепишем его в матричном виде в некотором базисе g 1 , g 2 , ..., g n : Ax = λx ⇐⇒ Ax = λEx ⇐⇒ (A − λE)x = θ. Составим соответствующее матричное уравнение (−λE добавит в матрице A на диагонали −λ ): a 11 − λ a 12 a 1n a 21 a 22 − λ ... a 2n a n1 a n2 a nn − λ · x 1 x 2 x n = 0 0 0 Или в явном виде: (a 11 − λ)x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n = 0, a 21 x 1 + (a 22 − λ)x 2 + ... + a |