книга по линейной алгебре. книга по АИГУ. Линейные пространства
 Скачать 1.91 Mb.
|
|
векторное пространство над полем Р. Из условия ∀x, y ∈ U, α, β ∈ P (αx+βy ∈ U) следует, что множество U замкнуто относительно сложения и относительно умножения элементов из U на элементы из поля P. Проверим для U выполнимость аксиом линейного пространства. Заметим что, так как U ⊆ V и V − линейное пространство над полем P , то в U выполняются аксиомы 1, 2, 5-8. Покажем, что аксиомы 3 и 4 также выполнены. Если u ∈ U, то 0 · u = θ (свойство 1, лекция 1), т.е. θ ∈ U. Аксиома 3 выполнена. Также −1 · u = −u (свойство 5, лекция 1), т.е. обратный элемент также содержится в U и выполнена аксиома 4. Примеры. 1. M 1 – множество вещественных матриц вида a 11 a 12 0 a 22 , M 2 = M 2·2 (R) , M 1 ≤ M 2 , dimM 1 = 3, dimM 2 = 4 2. U = {(0, a 2 , a 3 , ..., a n ) | a i ∈ R, i = 2, ..., n}, U ≤ R n , dimR n = n, dimU = n − 1. Линейные оболочки Def. Линейной оболочкой векторов b 1 , b 2 , ..., b m линейного пространства L называется множе- ство всевозможных линейных комбинаций данных векторов. Обозначается угловыми скобками: < b 1 , ..., b m >= {α 1 b 1 + ... + α m b m | α 1 , ..., α m ∈ P } При этом говорят, что линейная оболочка натянута на векторы b 1 , ..., b m Теорема 2. Линейная оболочка векторов b 1 , b 2 , ..., b m является минимальным подпростран- ством пространства L, содержащим векторы b 1 , b 2 , ..., b m Доказательство. Сначала покажем, что это действительно подпространство. Очевидно, что < b 1 , ..., b m >⊆ L , а, значит, аксиомы 1, 2, 5-8 опять проверять не нужно. Необ- ходимо проверить замкнутости относительно сложения векторов и умножения на элементы поля, а также аксиомы 3 и 4. Замкнутость по сложению: 1 α 1 b 1 + ... + α m b m + β 1 b 1 + ... + β m b m = (α 1 + β 1 )b 1 + ... + (α m + β m )b m , т.е. мы получили новую линейную комбинацию, а, следовательно, элемент < b 1 , ..., b m > Замкнутость по умножению на элементы поля: распишите самостоятельно Тривиальная линейная комбинация показывает выполнение аксиомы 3. Комбинация −α 1 b 1 − ... − α m b m обеспечивает выполнение аксиомы 4. Пусть U ≤ L и b 1 , b 2 , ..., b m ∈ U . Несложно видеть, что любая линейная комбинация элемен- тов b 1 , b 2 , ..., b m будет содержаться в U (так как оно является пространством), следовательно, < b 1 , ..., b m >⊆ U Теорема доказана. Замечание 1. Поскольку все элементы линейной оболочки < b 1 , ..., b m > выражаются через сами векторы b 1 , ..., b m , то для своей линейной оболочки они являются системой образующих. Ес- ли данные векторы линейно независимы, то они же являются базисом линейной оболочки. Если линейно зависимы, то максимальная линейно независимая совокупность векторов, выбранных из b 1 , ..., b m , образует базис линейной оболочки. Замечание 2. Любое линейное пространство является линейной оболочкой своего базиса. Примеры. • < (1, 0, 0) T , (1, 1, 0) T , (0, 2, 0) T >= R 2 • < x 5 , x 3 , x >= {ax 5 + bx 3 + cx | a, b, c ∈ R} • < (1, 1, 1) T , (1, 1, 2) T , (1, 2, 1) T >= R 3 Преобразование координат Пусть в линейном пространстве L заданы два базиса: g 1 , g 2 , ..., g n и f 1 , f 2 , ..., f n Разложим второй базис по первому: f 1 = a 11 g 1 + a 12 g 2 + ... + a 1n g n , f 2 = a 21 g 1 + a 22 g 2 + ... + a 2n g n , f n = a n1 g 1 + a n2 g 2 + ... + a nn g n Теорема 3. Пусть x ∈ L и x g – координаты x в базисе g, а x f – координаты x в базисе f. Тогда координаты вектора в двух данных базисах связаны следующим образом: x g = C g→f ·x f , где G g→f – матрица перехода от g к f, столбцы которой это координаты f i в базисе g: C g→f = (f 1 ) g (f 2 ) g (f n ) g = a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2 a 1n a 2n a nn Доказательство. Пусть x g = α 1 g 1 + ... + α n g n и x f = β 1 f 1 + ... + β n f n , или в координатах: x g = (α 1 , ..., α n ) T , x f = (β 1 , ..., β n ) T Подставим в x вместо векторов f i их выражения в базисе g: 2 x = β 1 (a 11 g 1 + a 12 g 2 + ... + a 1n g n ) + ... + β n (a n1 g 1 + a n2 g 2 + ... + a nn g n ) Так как разложение по базису единственно, то α 1 = β 1 a 11 + β 2 a 12 + ... + β n a 1n , α 2 = β 2 a 21 + β 2 a 22 + ... + β n a 2n , α n = β 1 a n1 + β 2 a n2 + ... + β n a nn , или в матричном виде: α 1 α 2 α n = a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2 a 1n a 2n a nn · β 1 β 2 β n (поясните, почему detC g→f ̸= 0) Таким образом, мы получили, что x g = C g→f · x f Следствие. C f →g = C −1 g→f Замечание. Рассмотрим ещё раз пространство R n с его естественным базисом e 1 = (1, 0, ..., 0) T , ..., e n = (0, 0, ..., 1) T Пусть f 1 , f 2 , ..., f n − какой-то другой базис данного пространства. Матрицу, столбцы которой представляют собой координаты векторов f 1 , f 2 , ..., f n в стандартном базисе будем называть мат- рицей данного базиса. Обозначим её за F . Очевидно, что в данном случае F = C e→f 3 По итогам лекции нужно знать: 1. Понятия: • Подпространство • Линейная оболочка • Матрица перехода между базисами 2. Критерий подпространства 3. Как находить базис линейной оболочки векторов 4. Устройство и способ нахождения матрицы перехода 5. Связь матриц перехода между базисами 6. Матрица перехода от естественного базиса 4 Изоморфизм линейных пространств Разные линейные пространства могут состоять из элементов абсолютно разной природы, но быть устроенными одинаково как относительно самих множеств элементов, так и относительно операций над ними. Def. Линейные пространства L и L ′ над полем P называются изоморфными, если между векторами x ∈ L и x ∈ L ′ можно установить взаимно однозначное соответствие ” ←→ ”, такое, что если x ←→ x ′ и y ←→ y ′ , то x + y ←→ x ′ + y ′ и λx ←→ λx ′ при любом λ ∈ P . Определение говорит нам о том, что, помимо соответствия между элементами пространств, введённые на них операции также согласованы. Из определения в частности следует, что (−x) ←→ (−x ′ ) и θ L ←→ θ L ′ (достаточно взять под- ходящие λ). Теорема 1. Линейно независимым векторам соответствуют линейно независимые векторы. Доказательство. Пусть имеет место соответствие v i ←→ w i , v i ∈ L, w i ∈ L ′ (i = 1, ..., n) и векторы v i линейно независимы. Покажем, что тогда и w i линейно независимы. Предположим, что w i линейно зависимы, тогда, согласно определению, можно составить ли- нейную комбинацию α 1 w i + ...α n w n = θ, причем хотя бы один коэффициент α s не равен нулю. Но так как пространства изоморфны, то сумме соответствует сумма, а нейтральному элементу соответствует нейтральный элемент, следовательно, θ L = α 1 v i + ...α n v n ←→ α 1 w i + ...α n w n = θ L ′ Поскольку векторы v i по условию линейно независимы, все α i равны 0, а это противоречит их выбору. Следствие. Два пространства различной размерности не могут быть изоморфны. Это так, поскольку при n > m для нетривиальной линейной комбинации n векторов n−мерного пространства можно было бы подобрать нетривиальную линейную комбинацию векторов изо- морфного m−мерного пространства, равную его нулевому элементу, что также привело бы к противоречию. Теорема 2. Все пространства, имеющие одинаковую размерность, изоморфны друг другу. Доказательство. Пусть e i , e 2 , ..., e n − базис в L, а f 1 , f 2 , ..., f n − базис в L ′ Сопоставив друг другу векторы x ←→ x ′ (x ∈ L, x ′ ∈ L ′ , где x = α 1 e 1 + ... + α n e n и x ′ = α 1 f 1 + ... + α n f n , то есть векторы с одинаковыми координатами), получим изоморфизм пространств. Таким образом, единственной существенной характеристикой конечномерного линейного про- странства является его размерность. Примеры Рассмотрим пространства R 4 и M 2×2 (R). Базисом первого являются векторы (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1). Базисом второго являются матрицы 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 1 Оба эти пространства четырёхмерны и координаты любой квадратной матрицы второго по- рядка в выбранном базисе будут совпадать с естественной записью соответствующего ей элемента R 4 По тому же принципу можно построить изоморфизм M 2×2 (R) и P 3 [x], установив следующие соответствия: 1 ←→ 1 0 0 0 , x ←→ 0 1 0 0 , x 2 ←→ 0 0 1 0 , x 3 ←→ 0 0 0 1 Сумма и пересечние подпространств Пусть L 1 , L 2 ≤ L. Дадим несколько определений. Def. Пересечением подпространств L 1 и L 2 называется множество, обозначаемое L 1 ∩ L 2 и состоящее из векторов, входящих одновременно в оба подпространства, т.е. L 1 ∩ L 2 = {x ∈ L | x ∈ L 1 , x ∈ L 2 }. Def. Суммой подпространств L 1 и L 2 называется множество, обозначаемое L 1 +L 2 и состоящее из всевозможных сумм векторов этих двух подпространств, т.е. L 1 + L 2 = {v ∈ L | v = u + w, u ∈ L 1 , w ∈ L 2 }. Теорема 3. Пересечение и сумма подпространств суть подпространства пространства L. Доказательство. Согласно критерию подпространства (см. предыдущую лекцию), необходимо доказать, что ∀ x, y ∈ L 1 ∩ L 2 , α, β ∈ P (αx + βy ∈ L 1 ∩ L 2 ). Аналогично для L 1 + L 2 Итак, пусть x, y ∈ L 1 ∩ L 2 По определению пересечения подпространств, x, y ∈ L 1 и x, y ∈ L 2 . Применив критерий под- пространства к L 1 и L 2 по отдельности, получим, что при любых α, β ∈ P будет выполнено: αx + βy ∈ L 1 и αx + βy ∈ L 2 , т.е. αx + βy ∈ L 1 ∩ L 2 Теперь пусть x, y ∈ L 1 + L 2 По определению суммы подпространств, это означает, что x = x 1 + x 2 , y = y 1 + y 2 при некоторых x 1 , y 1 ∈ L 1 , x 2 , y 2 ∈ L 2 Тогда αx + βy = (αx 1 + βy 1 ) + (αx 2 + βy 2 ), где αx 1 + βy 1 ∈ L 1 , αx 2 + βy 2 ∈ L 2 (так как L 1 , L 2 − подпространства), т.е. αx + βy также представлен в виде суммы векторов из L 1 и L 2 и принадлежит сумме подпространств. Теорема доказана. В общем случае вектор v из суммы подпространств можно разложить в сумму u + w из определения не единственным образом. Например, если L = R 3 , L 1 = {(a 1 , a 2 , 0) T | a 1 , a 2 ∈ R}, L 2 = {(0, b 2 , b 3 ) T | b 2 , b 3 ∈ R}, то для вектора (1, 1, 1) T ∈ L 1 + L 2 (здесь сумма подпространств совпадает с самим пространством L) выполнены равенства: (1, 1, 1) T = (1, 1, 0) T + (0, 0, 1) T , (1, 1, 1) T = (1, 0, 0) T + (0, 1, 1) T , где (1, 1, 0) T , (1, 0, 0) T ∈ L 1 , (0, 1, 1) T , (0, 0, 1) T ∈ L 2 2 Def1. Прямая сумма. Пусть L 1 + L 2 = V . Если любой вектор v ∈ V представим един- ственным образом в виде суммы v 1 + v 2 , где v 1 ∈ L 1 , v 2 ∈ L 2 , то такая сумма подпространств называется прямой. При этом говорят, что V разложено в прямую сумму подпространств. Обо- значение: V = L 1 ⊕ L 2 Def2. Прямая сумма. Пусть L 1 + L 2 = V . Если L 1 ∩ L 2 = θ, то такая сумма подпространств называется прямой. Теорема 4. Определения Def1 и Def2 прямой суммы эквивалентны. Доказательство. Def1 =⇒ Def2. Возьмём вектор y ∈ L 1 ∩ L 2 и вектор x = x 1 + y 1 ∈ L 1 + L 2 , x 1 ∈ L 1 , x 2 ∈ L 2 Рассмотрим сумму векторов: x + y = x 1 + x 2 + y = (x 1 + y) + x 2 Здесь x 1 + y ∈ L 1 , x 2 ∈ L 2 . С другой стороны: x + y = x 1 + x 2 + y = x 1 + (y + x 2 ), где x 1 ∈ L 1 , x 2 + y ∈ L 2 Поскольку любой вектор из суммы подпространств имеет единственное разложение такого вида, делаем вывод, что y = θ. Def2 =⇒ Def1. Пусть x = x 1 + x 2 , x = y 1 + y 2 , где x 1 , y 1 ∈ L 1 , x 2 , y 2 ∈ L 2 . Вычитая из первого разложения второе, получим: (x 1 − y 1 ) + (x 2 − y 2 ) = θ. Обозначим первую разность за u, а вторую за v (u ∈ L 1 , v ∈ L 2 ). Тогда u + v = θ =⇒ u = −v. Однако из u ∈ L 1 следует, что и v ∈ L 1 , т.е. v ∈ L 1 ∩ L 2 . Это возможно в единственном случае – если v = θ = u, но тогда x 1 = y 1 , x 2 = y 2 , т.е. разложение единственно. Теорема 5. Если L = L 1 ⊕ L 2 , то dimL = dimL 1 + dimL 2 Доказательство. Пусть g 1 , g 2 , ..., g k − базис L 1 , f 1 , f 2 , ..., f l − базис L 2 Приравняем к нулю линейную комбинацию векторов обоих базисов: α 1 g 1 + ... + α k g k + β 1 f 1 + ... + β l f l = θ, или x + y = θ для x = α 1 g 1 + ... + α k g k ∈ L 1 , y = β 1 f 1 + ... + β l f l ∈ L 2 Поскольку ноль суммы подпространств представим только в виде суммы двух нулей как эле- ментов двух подпространств, заключаем, что x = y = θ. Из этого следует, что все α i , b j (i = 1, ...k, j = 1, ...l) равны нулю, а, значит, векторы g 1 , g 2 , ..., g k , f 1 , f 2 , ..., f l линейно независимы и образуют базис пространства L, dimL = k + l = dimL 1 + dimL 2 Теорема 6. Пусть L 1 , L 2 ≤ V , L 1 +L 2 = L, L 1 ∩L 2 = L 0 . Тогда dimL = dimL 1 +dimL 2 −dimL 0 , т.е. размерность суммы двух подпространств равна сумме их размерностей минус размерность 3 пересечения. Доказательство. Дополним базис e 1 , ..., e s подпространства L 0 до базисов L 1 и L 2 соответственно: e 1 , ..., e s , g 1 , ..., g k − базис L 1 , e 1 , ..., e s , f 1 , ..., f l − базис L 2 Покажем, что векторы e 1 , ..., e s , g 1 , ..., g k , f 1 , ..., f l Линейно независимы. Пусть α 1 e 1 + ... + α s e s + β 1 g 1 + ... + β k g k + γ 1 f 1 + ... + γ l f l = θ, или x 0 + x 1 + x 2 = θ для x 0 = α 1 e 1 + ... + α s e s , x 1 = β 1 g 1 + ... + β k g k , x 2 = γ 1 f 1 + ... + γ l f l Тогда x 0 + x 1 = −x 2 , а так как x 0 , x 1 ∈ L 1 , то и x 2 ∈ L 1 Но x 2 ∈ L 2 как линейная комбинация векторов этого подпространства. Следовательно, x 2 ∈ L 1 ∩ L 2 = L 0 =⇒ x 2 = θ, γ 1 = ... = γ l = 0. Аналогично можно показать, что β i = 0(i = 1, ..., k), тогда в линейной комбинации останется α 1 e 1 + ... + α s e s = θ =⇒ α 1 = ... = α s = 0. Линейная независимость доказана. Теперь покажем, что любой вектор L можно разложить по векторам e 1 , ..., e s , g 1 , ..., g k , f 1 , ..., f l Возьмём произвольный вектор x ∈ L. x = x 1 + x 2 при x 1 ∈ L 1 , x 2 ∈ L 2 . Разложим x 1 , x 2 по своим базисам: x 1 = α 1 e 1 + ... + α s e s + λ 1 g 1 + ... + λ k g k , x 2 = β 1 e 1 + ... + β s e s + µ 1 f 1 + ... + µ l f l , в свою очередь x = x 1 + x 2 = (α 1 + β 1 )e 1 + ... + (α s + β s )e s + λ 1 g 1 + ... + λ k g k + µ 1 f 1 + ... + µ l f l Оба условия выполнены, т.е. e 1 , ..., e s , g 1 , ..., g k , f 1 , ..., f l − базис L. Теперь посчитаем размерности: dimL 1 = k + s, dimL 2 = l + s, dimL 0 = s, dimL = k + l + s =⇒ dimL = dimL 1 + dimL 2 − dimL 0 Пример. Пусть L 1 = {(a 1 , a 2 , a 3 , 0) T | a 1 , a 2 , a 3 ∈ R}, L 2 = {(0, b 2 , b 3 , b 4 ) T | b 2 , b 3 , b 4 ∈ R} Тогда L 1 + L 2 = R 4 , L 1 ∩ L 2 = {(0, a 2 , a 3 , 0) T | a 2 , a 3 ∈ R}, dimL 1 + dimL 2 − dim(L 1 ∩ L 2 ) = 3 + 3 − 2 = 4 = dimR 4 4 |