книга по линейной алгебре. книга по АИГУ. Линейные пространства
 Скачать 1.91 Mb.
|
|
, выбранного таким образом, что эта высота максимальна. Первый столбец отвечает собственному вектору u 0 i1 Далее, (J i1 − λ i E)u 1 i1 = u 0 i1 , ..., (J i1 − λ i E)x = u m−2 i1 Собственному числу может соответсвовать больше одного линейно независимого собственного вектора. 3 Def. Жордановым блоком, Отвечающим собственному числу λ i , называется блочно-диагональная матрица J i , каждый блок которой является жордановой клеткой, отвечающей одному и тому же собственному числу λ i : J i1 0 0 0 0 J i2 0 0 0 0 0 J ip , где p – геометрическая кратность собственного числа λ i То есть жорданов блок это объединение расположенных на главной диагонали жордановых клеток по всем линейно независимым собственным векторам (первый столбец), отвечающим соб- ственному числу λ i Def. Матрица вида J 1 0 0 0 0 J 2 0 0 0 0 0 J s , где J i (i = 1, ..., s) – жордановы блоки, отвечающие собственному числу λ i , s – количество собственных чисел оператора A, называется жордановой матрицей или нормальной жордановой формой матрицы оператора A. Теорема 6. Для любого оператора, действующего в комплексном линейном пространстве, су- ществует базис, в котором его матрица жорданова. Такой базис называется жордановым базисом оператора. Без доказательства. Def. Жордановой цепочкой, соответствующей собственному числу λ 0 называется набор век- торов e 0 , ..., e l , удовлетворяющим равенствам (A − λ 0 Id)(e 0 ) = θ, (A − λ 0 Id)(e 1 ) = e 0 , ..., (A − λ 0 Id)(e l ) = e l−1 При этом e i называют i-ым вектором, присоединенным к e 0 . Очевидно, i-ый присоединенный вектор является корневым вектором высоты i + 1. Теорема 7. Векторы жордановой цепочки линейно независимы. Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции по количеству k векторов в цепочке e 0 , e 1 , ..., e l При k = 1 очевидно. Пусть k > 1 векторов жордановой цепочки линейно независимы. Дока- жем для k + 1. Составим линейную комбинацию k + 1 вектора жордановой цепочки и приравняем её к нулю: α 0 e 0 + α 1 e 1 + ... + α k−1 e k−1 + α k e k = θ Подействуем на это равенство оператором (A − λ 0 Id) . Получим: α 1 e 0 + α 2 e 1 + ... + α k e k−1 = θ , 4 что вследствие линейной независимости данного набора векторов (по индуктивному предпо- ложению) возможно только в тривиальном случае α 1 = ... = α k = 0 . Возвращаясь к линейной комбинации прообразов, получаем, что и α 0 = 0 , что и требовалось получить. Если внимательно посмотреть на жорданову матрицу, то можно увидеть, что входящим в её состав жордановым клеткам соответствуют свои жордановы цепочки. Таким образом, объедине- ние всех жордановых цепочек есть базис пространства L, называемый жордановым базисом пространства L. Пример. Рассмотрим оператор пространства R 2 , имеющий матрицу A = 1 −1 1 3 χ A (λ) = 1 − λ −1 1 3 − λ = λ 2 − 4λ + 4 , т.е. оператор имеет одно собственное число 2 алгебраической кратности 2. rank(A − 2E) = 1 – геометрическая кратность собственного числа 2. Получается, что жорданова форма матрицы A это матрица A u = 2 1 0 2 Решением ОСЛУ (A − 2E)X = Θ будут векторы вида (1, −1) T α , образующие собственное подпространоство размерности 1. Для жорданова базиса можно выбрать собственный вектор u 1 = (1, −1) T . Для поиска второго вектора жорданова базиса необходимо решить НОСЛУ (A − 2E)u 2 = u 1 , т.е. −1 −1 1 1 1 −1 В результате получим: (−1, 1) T β + (−1, 0) T В качестве u 2 веберем, например, вектор (−1, 0) T Проверьте, что A u = C u→e A e C e→u , зная, что C e→u = 1 −1 −1 0 5 По итогам лекции нужно знать: 1. Понятия: • Алгебраическая кратность собственного числа • Геометрическая кратность собственного числа • Жорданова клетка • Жорданова нормальная форма • Жорданов базис 2. Теоремы 1, 2, 6 6 Линейные операторы евклидова пространства Def. Оператор A ∗ называется сопряжённым к оператору A евклидова пространства L, если ∀ x, y ∈ L (A(x), y) = (x, A ∗ (y)). Для исследования матрицы сопряжённого оператора докажем несколько лемм. Замечание. Для начала заметим, что в ортонормированном базисе скалярное произведение векторов x и y можно выразить как (x, y) = x · y T (в этом блоке строки будем обозначать как x, а столбцы как x T ), т.е. как произведение координатной строки на координатный столбец. Лемма 1. Пусть матрица A имеет размер n×n. Если Ax T = θ для любого столбца x T высоты n , то A = Θ. Иначе говоря, оператор n−мерного пространства L, соответствующий матрице A, обращает каждый вектор в нулевой, в частности базисные векторы. Следовательно, его матрица нулевая. Лемма 2. Пусть матрица A имеет размер n × n. Если для любой строки x длины n и любого столбца y T высоты n выполнено xAy T = 0 , то A = Θ. Раз x, y T – произвольные строка и столбец, мы можем взять в качестве x строку (Ay T ) T Получим: (Ay T ) T · Ay T = 0 В терминах скалярного произведения (см. замечание) это опять же возможно, только если Ay T = θ , а значит, оператор и матрица нулевые. Лемма 3. Пусть матрицы A, B имеют размер n × n. Если для любой строки x длины n и любого столбца y T высоты n выполнено xAy T = xBy T , то A = B. xAy T = xBy T ⇐⇒ xAy T − xBy T = 0 ⇐⇒ x(A − B)y T = 0 , что, по лемме 2, означает, что A − B = Θ , или A = B. Теорема 1. Если A и A ∗ – матрицы линейного оператора и сопряжённого к нему в ортонор- мированном базисе, то A ∗ = A T Доказательство. Пусть произвольные векторы из L имеют координатные столбцы x T , y T в ортонормированном базисе. Тогда (A(x), y) = (x, A ∗ (y)) , или в матричном виде: (Ax T ) T y T = xA ∗ y T ⇐⇒ xA T y T = xA ∗ y T , что, по лемме 3, означает, что A T = A ∗ Теорема 2. В произвольном базисе f евклидова пространства L матрицы сопряжённых опе- раторов связаны соотношением A T Γ = ΓA ∗ , где Γ – матрица Грама базиса f. (без доказательства) 1 Свойства сопряжённых операторов. 1. (A ◦ B) ∗ = B ∗ ◦ A ∗ Следует из свойств матриц. 2. (A ∗ ) ∗ = A 3. (A + B) ∗ = A ∗ + B ∗ 4. (λA) ∗ = λA ∗ 5. Id ∗ = Id Теорема 3 (Теорема Фридгольма). Образ оператора A и ядро сопряженного оператора A ∗ ортогональны и ImA = (KerA ∗ ) ⊥ Доказательство. Пусть x ∈ ImA, y ∈ KerA ∗ Для x должен существовать вектор z ∈ L, такой, что A(z) = x. Тогда (x, y) = (A(z), y) = (z, A ∗ y) = 0 , так как y ∈ KerA ∗ Теперь пусть (x, v) = 0 для некоторого v ∈ L. Тогда (x, v) = (A(z), v) = (z, A ∗ (v)) = 0 , следо- вательно A ∗ (v) = 0, v ∈ KerA ∗ Таким образом, элементы этих множеств ортогональны, и все элементы, ортогональные ImA лежат в KerA ∗ . Следовательно, это ортогональные дополнения. Евклидово пространство над полем комплексных чисел Скалярное произведение в комплексном пространстве L определяется схожим образом. Def. Скалярным произведением называется функция ν : L × L −→ C (то есть функция, сопоставляющая паре векторов пространства комплекс- ное число ), такая что ∀ a, b, c ∈ L, ∀ α, β ∈ R выполнены свойства (далее будем опускать обозначение функции ν): 1. • (a + b, c) = (a, c) + (b, c) • (αa, b) = α(a, b) • (a, αb) = α(a, b) 2. (a, b) = (b, a). 3. (a, a) > 0 при a ̸= 0. Заметим, что в ортонормированном базисе (x, y) = (x 1 e 1 + ... + x n e n , y 1 e 1 + ... + y n e n ) = (x 1 e 1 , y 1 e 1 ) + ... + (x n e n , y n e n ) = x 1 y 1 (e 1 , e 1 ) + ... + x n y n (e n , e n ) = x 1 y 1 + ... + x n y n = n P 1 x i y i 2 Таким образом, и матрица сопряженного оператора будет не только транспонированной, но и комплексно-сопряженной. Пример. В ортонормированном базисе для матриц сопряжённых операторов имеем: 1 − 2i 3 2 − 3i i ∗ = 1 + 2i 2 + 3i 3 −i Самосопряжённые операторы Def. Линейный оператор A евклидова пространства L называется самосопряжённым, если ∀ x, y ∈ L выполнено условие: (A(x), y) = (x, A(y)), т.е. A ∗ = A Замечание. Для матрицы самосопряжённого оператора над полем вещественных чисел вы- полнено: A = A T , т.е. она симметрична. Для элементов матрицы самосопряжённого оператора над полем комплексных чисел в орто- нормированном базисе выполнено другое свойство: a ij = a ji , т.е. симметричные элементы ком- плексно сопряжены. В частности это означает, что на диагонали будут находиться вещественные числа. Теорема 4. Собственные числа самосопряженного оператора вещественны. Доказательство. Пусть λ -– собственное число, u -– отвечающий λ собственный вектор оператора A, т.е. A(u) = λu Тогда с одной стороны: (A(u), u) = (λu, u) = λ(u, u), а с другой: (u, A(u)) = (u, λu) = λ(u, u). Поскольку эти скалярные произведения равны, получаем (λ − λ)(u, u) = 0. Есть два варианта: λ = λ либо (u, u) = 0. Второй вариант невозможен в силу определения собственного вектора, следовательно, λ = λ и λ ∈ R. Теорема 5. Пусть A -– самосопряженный оператор n−мерного пространства L. Тогда суще- ствуют n попарно ортогональных собственных векторов. Доказательство. Матрица A, согласно теореме Жордана, содержит хотя бы одну жорданову клетку, а значит, имеет хотя бы один собственный вектор u 1 , соответствующий вещественному собственному числу λ 1 Пусть L ⊥ u 1 – подпространство векторов, ортогональных u 1 (т.е. ортогональное дополнение ли- нейной оболочки < u 1 > ). Его размерность равна n − 1. Кроме того, если x ∈ L ⊥ u i , то (A(x), u 1 ) = (x, A(u 1 )) = (x, λu 1 ) = λ(x, u 1 ) = 0 , т.е. образ вектора x также ортогонален u 1 , а значит, A(x) ∈ L ⊥ u i и подпространство инвари- антно относительно A. Сужение оператора A на L ⊥ u i также является самосопряжённым оператором (так как условие из определения выполнено для всех векторов L и для любого подмножества в частности). По- вторяя приведённые выше рассуждения, находим ещё один собственный вектор u 2 и собственное значение λ 2 (возможно, равное λ 1 ), а также ортогональное дополнение к < u 2 > в L ⊥ u i , имеющее 3 размерность n − 2. Повторяя эти рассуждения и дальше, получим последовательность (возможно, совпадающих) собственных чисел λ 1 , λ 2 , ..., λ n и последовательность ортогональных друг другу собственных век- торов. Следствие. Пусть A — самосопряженный оператор. Тогда существует ортогональный базис, в котором матрица оператора диагональна и вещественна. В качестве такого базиса можно взять базис из ортогональных собственных векторов, суще- ствование которых доказано в теореме 5. Замечание. Матрица перехода к ортонормированному базису, в котором матрица самосо- пряжённого оператора диагональна, является ортогональной. Теорема 6. Собственные векторы, отвечающие различным собственным числам самосопря- женного оператора, ортогональны. Доказательство. Пусть A(u 1 ) = λ 1 u 1 и A(u 2 ) = λ 2 u 2 (λ 1 ̸= λ 2 ) Тогда λ 1 (u 1 , u 2 ) = (λ 1 u 1 , u 2 ) = (A(u 1 ), u 2 ) = (u 1 , A(u 2 )) = (u 1 , λ 2 u 2 ) = λ 2 (u 1 , u 2 ) , или (λ 1 − λ 2 )(u 1 , u 2 ) = 0 Поскольку собственные числа различны, получаем, что (u 1 , u 2 ) = 0 Теорема 7. Образ и ядро самосопряженного оператора ортогональны. Следует из теоремы 3. 4 По итогам лекции нужно знать: 1. Понятия: • Сопряжённый оператор • Самосопряжённый оператор • Скалярное произведение комплексного пространства 2. Матрица сопряжённого оператора в вещественном и комплексном пространствах 3. Свойства сопряжённый операторов 4. Связь образа оператора и ядра самосопряжённого оператора 5. Матрица самосопряжённого оператора 6. Основные теоретические факты с доказательствами 5 |