книга по линейной алгебре. книга по АИГУ. Линейные пространства
 Скачать 1.91 Mb.
|
|
2n = 0, a n1 x 1 + a n2 x 2 + ... + (a nn − λ)x nn = 0 Вспомним, что для существования ненулевого решения этой однородной системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы коэффициентов был равен нулю (или, что то же самое, ранг матрицы был меньше числа переменных): det(A − λE) g = a 11 − λ a 12 a 1n a 21 a 22 − λ ... a 2n a n1 a n2 a nn − λ = 0 Раскрыв этот определитель, мы получим уравнение n−й степени относительно λ. Если λ 0 − решение этого уравнения, то, подставив его в систему уравнений, мы можем найти ненулевое решение (x 0 ) g = (x 1 , x 2 , ..., x n ) T g , то есть собственный вектор . Def. Многочлен χ A (λ) = det(A − λE) g = a 11 − λ a 12 a 1n a 21 a 22 − λ ... a 2n a n1 a n2 a nn − λ называется харак- теристическим многочленом. 1 Все корни этого многочлена являются собственными числами оператора . Замечание. Отметим, что у многочлена может быть несколько различных вещественных корней (с учетом их кратности), следовательно, у оператора может быть несколько собственных чисел, и одному собственному числу может соответствовать несколько линейно независимых соб- ственных векторов. Если у характеристического многочлена нет вещественных корней, у него нет и вещественных собственных чисел. Случай с комплексными корнями будет рассмотрен позднее. Собственные числа по определению не зависят от выбора базиса, поэтому и корни характе- ристического многочлена не должны зависеть от выбора базиса. Докажем это. Теорема 1. Характеристический многочлен не зависит от выбора базиса. Доказательство. Пусть f 1 , f 2 , ..., f n и g 1 , g 2 , ..., g n − два базиса линейного пространства L. Тогда A f = C f →g A g C g→f В новом базисе характеристический многочлен имеет вид: det(C f →g A g C g→f −λE) = 0 . Пользу- ясь тем, что матрица тождественного оператора не зависит от выбора базиса, C f →g · E · C g→f = E и определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц, получаем: C f →g A g C g→f − C f →g λEC g→f = C f →g (A g − λE)C g→f , det(C f →g (A g − λE)C g→f ) = detC f →g det(A g − λE)detC g→f = det(A g − λE) , так как в произведении участвует пара взаимно обратных матриц. Алгоритм поиска собственных чисел и собственных векторов. 1. Записать определитель матрицы A g − λE 2. Раскрыть определитель, записав характеристический многочлен в явном виде 3. Найти корни характеристического многочлена 4. Для каждого корня λ i решить ОСЛУ (A g − λE) · X = Θ Пример. Пусть в некотором базисе матрица опретора A имеет вид 1 2 5 4 Запишем характеристический многочлен: χ A (λ) = det(A − λE) = 1 − λ 2 5 4 − λ = (1 − λ)( 4 − λ) − 10 = λ 2 − 5λ − 6 = (λ + 1)(λ − 6), т.е. корнями характеристического многочлена, а значит и собственными значениями, являют- ся числа −1 и 6. Найдём решения системы (A g − λE) · X = Θ для λ 1 = −1 : 1 − (−1) 2 5 4 − (−1) = 2 2 5 5 2 Решениями системы (A g − λ 1 E) · X = Θ (собственными векторами, отвечающими собственно- му числу −1) являются векторы (1, −1) T α , т.е. подпространство < (1, −1) T > Найдём решения системы (A g − λE) · X = Θ для λ 2 = 6 : 1 − 6 2 5 4 − 6 = −5 2 5 −2 Решениями системы (A g − λ 1 E) · X = Θ (собственными векторами, отвечающими собственно- му числу 6) являются векторы (2, 5) T β , т.е. подпространство < (2, 5) T > Итак, оператор A в данном случае имеет два различных собственных числа и два собственных подпространства размерности 1. Теорема 2. Если оператор имеет различные собственные значения λ 1 , λ 2 , ..., λ k , то соответ- ствующие им собственные векторы, взятые по одному для каждого числа, линейно независимы. Доказательство. Воспользуемся индукцией по числу собственных векторов. При k = 1 доказательство очевидно. Пусть утверждение выполняется для k − 1 вектора и они линейно независимы. Докажем для k Возьмём собственные векторы u 1 , u 2 , ..., u k , отвечающие числам λ 1 , λ 2 , ..., λ k соответственно, и рассмотрим линейную комбинацию α 1 u 1 + α 2 u 2 + ... + α n u n = θ (1) и хотя бы один α i , (i = 1, ..., k) отличен от нуля. Тогда A(α 1 u 1 + α 2 u 2 + ... + α n u n ) = θ , а вследствие линейности оператора и свойств собствен- ных векторов α 1 A(u 1 ) + α 2 A(u 2 ) + ... + α k A(u k ) = θ =⇒ =⇒ α 1 λ 1 u 1 + α 2 λ 2 u 2 + ... + α k λ k u k = θ (2) Домножим равенство (1) на λ k и вычтем результат из равенства (2): =⇒ α 1 (λ 1 − λ k )u 1 + α 2 (λ 2 − λ k )u 2 + ... + α k−1 (λ k−1 − λ k )u k−1 = θ По индуктивному предположению, эти k − 1 векторов линейно независимы, следовательно, α i = 0, i = 1, ..., k − 1 . Тогда либо все коэффициенты в (1) равны нулю, что противоречит их выбору, либо только α k ̸= 0 , что также невозможно, так как повлекло бы u k = θ Следствие. Если в n−мерном линейном пространстве L линейный оператор имеет n различ- ных собственных чисел, то n собственных векторов, отвечающих каждый своему соственному числу, образуют базис L. Теорема 3. В базисе из собственных векторов матрица оператора имеет диагональный вид. Доказательство. Так как все векторы базиса собственные, то A(u i ) = λ i u i , и координатный столбец A(u i ) в базисе u будет иметь вид (0, 0, ..., λ i , 0, ..., 0) T 3 Расположив такие векторы в естественном порядке, получим диагональную матрицу с соб- ственными числами на диагонали. Теорема 4. Если в некотором базисе e матрица оператора имеет диагональный вид, то все векторы этого базиса являются собственными векторами, а числа, стоящие на диагонали – соб- ственными числами, то есть A(e k ) = λ k e k , k = 1, ..., dimL. Очевидно (следует из определения). Пример. В рассмотренном выше примере выберем базис u 1 = (1, −1) T , u 2 = (2, 5) T . В этом базисе мат- рица оператора будет иметь вид: 1 2 −1 5 Проверьте, что именно эта матрица получается в результате совершения действий: A u = C u→e A e C e→u Теорема 5. χ A (A) = Θ Доказательство. Если λ не является собственным числом A, то det(A − λE) ̸= 0 и матрица (A − λE) имеет обратную: (A − λE) −1 = 1 det(A−λE) e A , (1) где e A - присоединённая матрица, т.е. транспонированная матрица алгебраических дополне- ний f a ij элементов матрицы A. Поскольку f a ij это миноры элементов A со знаком, которые имеют порядок n − 1, то многочлены от λ, получающиеся при раскрытии этих определителей также имеют степень не выше n − 1. Это означает, что в форме многочлена f a ij (λ) = ] a n−1 ij λ n−1 + ] a n−2 ij λ n−2 + ... + f a 1 ij λ + f a 0 ij (здесь и ниже верхний номер обозначает не степень коэффициента e a или матрицы e A, а ещё один индекс) Переходя от элементов присоединённой матрицы ко всей матрице e A , имеем: e A(λ) = ] A n−1 λ n−1 + ] A n−2 λ n−2 + ... + f A 1 λ + f A 0 , где f A k − матрицы с элементами f a k ij , т.е. сгруппированными по степени λ, k = 0, 1, ..., (k − 1). Из формулы для обратной матрицы получаем: (A − λE)( ] A n−1 λ n−1 + ] A n−2 λ n−2 + ... + f A 1 λ + f A 0 ) = χ A (λ)E , (2) так как χ A (λ) = det(A − λE) = d n λ n + d n−1 λ n−1 + ... + d 1 λ + d 0 . Далее, χ A (λ)E = d n λ n E + d n−1 λ n−1 E + ... + d 1 λE + d 0 E (3) Раскроем скобки и приравняем матрицы при одинаковых степенях λ в (2) и (3), получим: 4 − ] A n−1 = d n E (n) A ] A n−1 − ] A n−2 = d n−1 E (n - 1) A f A 2 − f A 1 = d 2 E (2) A f A 1 − f A 0 = d 1 E (1) A f A 0 = d 0 E (0) Теперь умножим первое равенство на A n , второе – на A n−1 , третье – на A n−2 и т.д., последнее – на A 0 = E и сложим все равенства. В итоге в левой части слагаемые взаимно уничтожатся, и мы получим равенство: Θ = d n A n + d n−1 A n−1 + ... + d 1 A + d 0 E = χ A (A) , что и требовалось доказать. Теорема 6. Если λ 0 – корень характеристического многочлена кратности k, а U λ 0 – собствен- ное подпространство, отвечающее собственному числу λ 0 , то dimU λ 0 ≤ k Доказательство. Пусть dimU λ 0 = m ≥ 1 . Выберем базис e 1 , ..., e m данного подпространства и дополним его до базиса L: e 1 , ..., e m , ..., e n . В этом базисе матрица оператора A будет иметь блочно-треугольный вид: λ 0 E B 0 C ! , т.е. будет иметь блок размера m в виде диагональной матрицы λE. Запишем характеристический многочлен: χ A (λ) = det(A e − λ 0 E) = (λ − λ 0 ) m ψ(λ) Поскольку λ 0 может быть и корнем ψ(λ), заключаем, что m ≤ k. Теорема 6. След матрицы оператора не зависит от выбора базиса пространства L. Доказательство. Воспользуемся тем фактом, что следы матриц CD и DC совпадают (это следует из правил умножения матриц – проверьте!). Тогда A f = (C f →g A g )C g→f , A g = C g→f (C f →g A g ) 5 По итогам лекции нужно знать: 1. Понятия: • Собственное число • Собственный вектор • Собственное подпространство • Характеристический многочлен 2. Алгоритм определения собственных чисел и собственных векторов линейного оператора 3. Вид матрицы оператора в базисе из собственных векторов 4. Аннулирующее свойство характеристического многочлена 5. Инвариантность матрицы опера оператора и её следа 6. Основные теоретические факты с доказательствами 6 Жорданова нормальная форма В силу сокращения числа лекционных часов в экзаменационную программу вой- дёт только теоремы 1 и 2 с доказательствами, теорема 6 без доказательства и пред- шествующие ей определения. Ранее мы говорили о том, что в базисе из собственных векторов матрица оператора имеет диагональный вид. Можно также сформулировать следующие утверждения. Теорема 1. Матрица оператора A линейного пространства L диагонализируема тогда и толь- ко тогда, когда L = U λ 1 ⊕ ... ⊕ U λ s , где U λ 1 , ..., U λ 1 – собственные подпространства L. Доказательство. Если матрица диагонализируема, то существует базис u 1 , u 2 , ..., u n из собственных векторов пространства L (теоремы 3-4 предыдущей лекции). Рассмотрим подпространство U λ 1 ⊕ ... ⊕ U λ s ⊆ L . С другой стороны любой x ∈ L раскладывается по базису u 1 , u 2 , ..., u n и каждый u i принадле- жит одному из собственных подпространств. Поэтому x ∈ U λ 1 ⊕ ... ⊕ U λ s Обратно: построим базис L, объединив базисы всех U λ i (i = 1, ..., s). Очевидно, что он состоит из собственных векторов, и матрица оператора в этом базисе диагональна. Def. Алгебраической кратностью собственного числа λ i называется его кратность как корня характеристического многочлена. Def. Геометрической кратностью собственного числа λ i называется размерность собственного подпространства, отвечающего λ i Теорема 2. Матрица оператора A диагонализируема над полем C тогда и только тогда, ко- гда алгебраическая кратность любого собственного числа совпадает с его геометрической крат- ностью. Доказательство. Пусть a i , p i – соответственно алгебраическая и геометрическая кратности собственного числа λ i (i = 1, ..., s). Если матрица диагонализируема, то 0 < dimU λ i = p i ≤ a i . Но равенство dimL = s P i=1 (dimU λ i ) возможно лишь при a i = p i Обратно: если алгебраическая кратность каждого собственного числа совпадает с геомет- рической, то s P i=1 (dimU λ i ) = p 1 + ... + p s = a 1 + ... + a s , т.е. сумма размерностей собственных подпространств совпадает с dimL и существует базис из собственных векторов. Теорема доказана. Далее нам понадобится следующее утверждение. Теорема 2. Если линейные операторы A и B перестановочны (т.е. A ◦ B = B ◦ A), то ядро и образ одного из них инвариантны относительно другого. Доказательство. Если x ∈ KerA, то A(x) = θ и B(A(x)) = θ. Тогда в силу перестановочности и A(B(x)) = θ, т.е. B(x) ∈ KerA. 1 Пусть x ∈ ImA. Тогда существует такой x 0 ∈ L , что A(x 0 ) = x . Следовательно, B(x) = B(A(x 0 )) = A(B(x 0 )) , т.е. B(x) ∈ ImA. Утверждение доказано. Будем рассматривать n−мерное комплексное пространство L и линейный оператор A этого пространства. Согласно следствию из теоремы Гаусса о комплексных корнях многочлена, харак- теристический многочлен раскладывается на множители следующим образом: χ A (λ) = (−1) n (λ − λ 1 ) k 1 (λ − λ 2 ) k 2 · ... · (λ − λ s ) k 1 s Как частный случай все корни могут оказаться вещественными. Теорема 4. Для любого линейного оператора A комплексного пространства L это простран- ство раскладывается в прямую сумму инвариантных относительно A подпространств. Доказательство. Рассмотрим дробно-рациональную функцию 1 χ A (λ) и разложим её в сумму простейших дро- бей (рассматривая дроби второго типа только с максимальным показателем степени - остальные включим в данную): 1 χ A (λ) = f 1 (λ) (λ−λ 1 ) k1 + ... + f s (λ) (λ−λ s ) ks Теперь приведём к общему знаменателю и приравняем числители: 1 = f 1 (λ)χ A (λ) (λ−λ 1 ) k1 + ... + f s (λ)χ A (λ) (λ−λ s ) ks = q 1 (λ) + ... + q s (λ) , где q i (λ) = f i (λ)χ A (λ) (λ−λ i ) ki , i = 1, ..., s. Подставив в последнее равенство матрицу A, получим: E = Q 1 + ... + Q s (для q i (A) = Q i ) (1) Поскольку в произведение q i (λ)q j (λ) входят все множители из разложения χ A (λ) , а сам χ A (A) = θ , заключаем, что Q i Q j = Θ Умножим (1) на Q i и, пользуясь сделанным замечанием, получим: Q i = Q i Q i (остальные слагаемые равны нулю). Теперь подействуем обеими частями (1) на произвольный вектор x ∈ L : x = Q 1 (x) + ... + Q s (x) = x 1 + ...x s (при Q i (x) = x i ). такое представление единственно, так как если бы нашлись такие y 1 , ..., y s ∈ L , что y i ∈ Q i и x = y 1 + ... + y s , то y i = Q i (z i ) для некоторых z i ∈ L . Иначе говоря, x = Q 1 (z 1 ) + ... + Q s (z s ) . (2) Умножив последнее равенство на Q i , получим: Q i (x) = Q i (z i ) 2 Итак, произвольный вектор x ∈ L раскладывается единственным образом в сумму элементов подпространств Q i (L) , а, значит, само L раскладывается в прямую сумму: L = Q 1 (L) ⊕ ... ⊕ Q s (L) . (3) По теореме 3 эти подпространства инвариантны. Теорема доказана. Def. Подпространства Q i (L) из доказательства теоремы 2 называются корневыми подпро- странствами. Далее будем обозначать их как K i Теорема 5. K i = Ker(A − λ i E) k i для любого i (k i здесь это алгебраическая кратность соот- ветствующего собственного числа). Доказательство. В произведение (λ−λ 1 ) k i q i (λ) (см. теорему 4) входят все множители из χ A (λ) , следовательно, по теореме Гамильтона-Кэли, подставив в него матрицу A, получим ноль: (A − λ i E) k i Q i = Θ Это означает, что для любого x ∈ L (A − λ i E) k i Q i (x) = θ (здесь θ это нулевой вектор), т.е. Q i (x) ∈ Ker(A − λ i E) k i и Q i (L) ⊆ Ker(A − λ i E) k i Теперь проверим обратное включение. Пусть x ∈ Ker(A − λ i E) k i . В каждую матрицу опера- тора Q j при j ̸= i входит множитель ( − λ i E) k i , для которого ( − λ i E) k i () = θ . Поэтому равенство (2) для x превращается в x = Q i (x) . Поэтому x ∈ Ker(A − λ i E) k i ⊆ Q i (L) Следствие 1. Ker(A − λ i E) ⊆ K i Действительно, если Ker(A − λ i E)x = θ , то и Ker(A − λ i E) k i x = θ Следствие 2. L = Ker(A − λ i E) k 1 ⊕ ... ⊕ Ker(A − λ i E) k s Def. Пусть K i — корневое подпространство оператора A, отвечающее собственному числу λ i Высотой вектора x ∈ K i называется число h, такое, что (A − λI) h (x) = θ , но (A − λI) h−1 (x) ̸= θ Очевидно, что собственные векторы имеют высоту 1. Def. Жордановой клеткой, отвечающей собственному числу λ i , называется матрица J i1 раз- мера m × m вида λ i 1 0 0 0 0 λ i 1 0 0 0 0 0 λ i 1 0 0 0 0 λ i , где λ i – собственное число, m – высота вектора x корневого подпространства, отвечающего числу λ i |