книга по линейной алгебре. книга по АИГУ. Линейные пространства
 Скачать 1.91 Mb.
|
|
1 2 −1 1 1 0 2 1 −1 ∼ 1 2 −1 0 −1 1 0 −3 1 Убеждаемся, что система несовместна. Ортогонализируем столбцы f 1 = (1, 1, 2) T , f 2 = (2, 1, 1) T g 1 = f 1 , g 2 = f 2 − (f 2 ,g 1 ) (g 1 ,g 1 ) g 1 = (2, 1, 1) T − 5 6 (1, 1, 2) T = ( 7 6 , 1 6 , − 4 6 ) T . Домножим на знаменатель: g ∗ 2 = (7, 1, −4) T (g 1 и g ∗ 2 всё равно будут ортогональны). 4 Нормируем векторы: e 1 = 1 √ 6 (1, 1, 2) T , e 2 = 1 √ 66 (7, 1, −4) T b 0 = (b, e 1 )e 1 + (b, e 2 )e 2 = ... = − 1 11 (9, 6, 9) Теперь решаем систему 1 2 − 9 11 1 1 − 6 11 2 1 − 9 11 ∼ 1 2 − 9 11 0 −1 3 11 0 −3 9 11 Такимм образом, x ∗ = ( 3 11 , − 3 11 ) T Обратите внимание, что вектор состоит из двух компонент, так как является элементом дву- мерного пространства (натянутого на два столбца по количеству неизвестных). Ортогональное дополнение Пусть L 1 ≤ L и f 1 , f 2 , ..., f m − базис в L 1 . Мы можем по методу Грама-Шмидта построить ортогональный базис e 1 , e 2 , ..., e m . Дополним его до ортогонального базиса всего пространства L: e 1 , e 2 , ..., e m , e m+1 , ..., e n Рассмотрим подпространство L 2 , натянутое на векторы e m+1 , ..., e n , его размерность dimL 2 = n − m , причем если a ∈ L 1 , b ∈ L 2 то a ⊥ b. Def. Подпространства L 1 и L 2 , построенные описанным выше способом, называются ортого- нальными дополнениями друг друга. При этом L = L 1 ⊕ L 2 Таким образом, для любого подпространства евклидова пространства можно построить его ортогональное дополнение, причем для любого x ∈ L справедливо представление x = x 1 + x 2 , где x 1 ∈ L 1 , x 2 ∈ L 2 , x 1 ⊥ x 2 . При этом x 1 называют ортогональной проекцией x на L 1 , x 2 – ортогональной составляющей x относительно подпространства L 1 Очевидно, что ортогональное дополнение к подпространству состоит из всех векторов, орто- гональных каждому вектору данного подпространства. Теорема 5. Пусть дана матрица A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Тогда пространство решений L 1 однородной системы линейных уравнений AX = θ является ортогональным дополнением к линейной оболочке L 2 строк матрицы и L 1 ⊕ L 2 = R n Доказательство проведите самостоятельно, используя связь ранга матрицы с количеством элементов фундаментальной системы решений. Самым простым примером подпространства и его ортогонального дополнения являются ко- ординатная плоскость с одной стороны и третья ось с другой в пространстве V 3 5 Ортогональные матрицы Def. Матрица A называется ортогональной, если A · A T = A T · A = E . Иначе говоря, если обратная матрица совпадает с транспонированной. Свойства. 1. detA = ±1. Следует из detA · detA T = detE. 2. Столбцы матрицы A образуют ортонормированную систему. Если рассмотреть произведение A T · A , равное единичной матрице, нетрудно увидеть, что строки A T это столбцы матрицы A, а их произведения равны нулю, если они не соовпадают, и равны единице, если совпадают. Аналогично для строк. 6 По итогам лекции нужно знать: 1. Понятия: • Проекция вектора на вектор • Псевдорешение • Ортогональное дополнение • Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая относительно подпространства • Ортогональная матрица 2. Метод ортогонализации Грама-Шмидта 3. Координаты в ортогональном базисе 4. Способ нахождения псевдорешения 5. Свойства ортогональной матрицы 6. Основные теоретические факты с доказательствами 7 Линейные операторы Def. Линейным оператором линейного пространства V называется функция A : V → V , обладающая следующими свойствами (свойствами линейности: 1. ∀ x, y ∈ V A(x + y) = A(x) + A(y); 2. ∀ α ∈ R A(αx) = αA(x). Def. Если A(x) = y, то y называется образом вектора x при операторе A, а x− прообразом (возможно, не единственным) вектора y при операторе A. Лемма. Для любого линейного оператора A пространства L верно: A(θ) = θ. Доказательство. Пусть x ∈ L− некоторый вектор. A(θ) = A(0 · x) = 0 · A(x) = θ Примеры. 1. Id− тождественный оператор: ∀ x ∈ V Id(x) = x Выполнение свойств линейности очевидно. 2. Θ− нулевой оператор: Θ(x) = θ ∀ x ∈ V 3. A− ортогональное проектирование на подпространство. Действительно, пусть U ≤ V и x 0 , y 0 ∈ U − проекции векторов x, y ∈ V соответственно, т.е. A(x) = x 0 , A(y) = y 0 Имеем: x − x 0 = h x , y − y 0 = h y , где h x , h y ⊥ U , следовательно, x + y − (x 0 + y 0 ) = h x + h y , при этом очевидно, что (h x + h y ) ⊥ U Таким образом, для вектора x + y подобран такой элемент подпространства U, что их раз- ность ортогональна этому подпространству (проще говоря, сумма проекций совпадает с проекцией суммы векторов). Поскольку такой вектор определяется единственным образом, делаем вывод, что A(x + y) = A(x) + A(y). Выполнение второго свойства проверьте самостоятельно. 4. Оператор дифференцирования D(f) = f ′ в пространстве P n [x]. Дифференцирование обладает свойствами линейности. 1 5. Пусть B(x) = x + x 0 , где x− произвольный, а x 0 − фиксированный вектор пространства L. Тогда B(x + y) = x + y + x 0 С другой стороны, B(x) + B(y) = x + x 0 + y + x 0 = x + y + 2x 0 ̸= B(x + y) , т.е. B не является линейным оператором. Теорема 1. Пусть e 1 , e 2 , ..., e n − некоторый базис линейного пространства L, g 1 , g 2 , ..., g n − произвольный набор векторов из L. Тогда существует единственный линейный оператор A ли- нейного пространства L, такой, что A(e 1 ) = g i , i = 1, 2, ..., n. Доказательство. Сначала докажем, что соответствие A(e i ) = g i однозначно определяет преобразование A. Действительно, пусть x = α 1 e 1 + α 2 e 2 + ... + α n e n − произвольный вектор из L. Тогда A(x) = α 1 A(e 1 ) + α 2 A(e 2 ) + ... + α n A(e n ) Если поставить в соответствие каждому вектору e 1 вектор g i (i = 1, 2, ..., n) , то каждому век- тору x оператор A сопоставит вектор y = α 1 g 1 + α 2 g 2 + ... + α n g n Поскольку числа α 1 , ..., α n определены однозначно (как координаты вектора x), то и вектор y определён однозначно. Аналогично при x 0 = β 1 e 1 + β 2 e 2 + ... + β n e n имеем: A(x + x 0 ) = A((α 1 + β 1 )e 1 + (α 2 + β 2 )e 2 + ... + (α n + β n )e n ) = (α 1 + β 1 )g 1 + (α 2 + β 2 )g 2 + ... + (α n + β n )g n = α 1 g 1 + α 2 g 2 + ... + α n g n + β 1 g 1 + β 2 g 2 + ... + β n g n = A(x) + A(x 0 ) Выполнение второго свойства проверьте самостоятельно. Теорема 2. Пусть A− линейный оператор пространства L, L 0 ≤ L . Тогда A(L 0 ) ≤ L и dimL 0 ≤ dimA(L 0 ) (через A(L 0 ) обозначено множество всех элементов, полученных при воздействии операто- ра на каждый элемент L 0 ) Доказательство. Если L 0 = {θ} , утверждение очевидно. Предположим, что L 0 имеет базис e 1 , ..., e m . Тогда для любого вектора x ∈ L 0 , x = α 1 e 1 + ... + α m e m верно: A(x) = A(α 1 e 1 + ... + α m e m ) = α 1 A(e 1 ) + ... + α m A(e m ) , т.е. любой вектор из A(L 0 ) является линейной комбинацией векторов A(e i ), i = 1, ..., m. И наоборот: для любой линейной комбинации такого вида найдётся прообраз в L 0 Таким образом, мы получаем, что A(L 0 )− линейная оболочка векторов A(e i ), i = 1, ..., m и её размерность dim(< A(e 1 ), A(e 2 ), ..., A(e n ) >) ≤ m , так как не может превосходить их количества (объясните, почему). 2 Матрица линейного оператора Def. Матрицей линейного оператора A в базисе e 1 , e 2 , ..., e n линейного пространства L назва- ется такая матрица A 0 , что A(x) e = A 0 · x e для любого вектора x ∈ L. Теорема 3. Матрица линейного оператора A в произвольном базисе линейного пространства L существует и единственна. Доказательство. Пусть e 1 , e 2 , ..., e n – базис линейного пространства L. Найдём образы базисных элементов в этом же базисе: A(e 1 ) = ξ 11 e 1 + ξ 12 e 2 + ... + ξ 1n e n , A(e 2 ) = ξ 21 e 1 + ξ 22 e 2 + ... + ξ 2n e n , A(e n ) = ξ n1 e 1 + ξ n2 e 2 + ... + ξ nn e n , Теперь пусть x = α 1 e 1 + ... + α n e n − произвольный вектор из L. Составим из координат A(e i ), i = 1, ..., n (в естественном ворядке) матрицу A 0 , расположив их в столбец, и умножим на столбец координат вектора x в базисе e. Получим: A · x T e = ξ 11 ξ 21 ξ n1 ξ 12 ξ 22 ξ n2 ξ 1n ξ 2n ξ nn · α 1 α 2 α n = ξ 11 α 1 + ξ 21 α 2 + ... + ξ n1 α n ξ 12 α 1 + ξ 22 α 2 + ... + ξ n2 α n ξ 1n α 1 + ξ 2n α 2 + ... + ξ nn α n С другой, стороны: A(x) = A(α 1 e 1 + ... + α n e n ) = α 1 A(e 1 ) + ... + α n A(e n ) = α 1 (ξ 11 e 1 + ξ 12 e 2 + ... + ξ 1n e n ) + ... + α n (ξ n1 e 1 + ξ n2 e 2 + ... + ξ nn e n ) = (α 1 ξ 11 + ...α n ξ n1 )e 1 + ... + (α 1 ξ 1n + ... + α n ξ nn )e n Сравнивая результаты, видим, что мы получили вектор, координаты которого были записаны выше. Единственность матрицы оператора обоснуйте самостоятельно. Доказательство теоремы задаёт способ нахождения матрицы линейного оператора A в фик- сированном базисе: 1. Выбрать базис e 1 , e 2 , ..., e n 2. Найти векторы A(e 1 ), A(e 2 ), ..., A(e n ) и их координаты в том же базисе 3. Записать эти координаты последовательно в столбцы матрицы A. Теорема 4. Различным линейным операторам пространства L соответствуют различные мат- рицы в базисе g 1 , g 2 , ..., g n . Любая квадратная матрица порядка n является матрицей некоторого линейного оператора пространства L. Доказательство. Если матрицы A g , B g операторов A и B в базисе g совпадают, то для произ- вольного x ∈ L верно: 3 A(x) = A g x = B g x = B(x) , т.е. сами операторы также совпадают. Далее, пусть D− некоторая квадратная матрица порядка n. Зададим отображение D : L −→ L : D(x) = D g x . Тогда D(x + y) = D g · (x + y) = D g · x + D g · y = D(x) + D(y) Аналогично: D(λx) = D g · λx = λD g · x = λD(x) , т.е. это отображение является линейным оператором. Далее вычислим образы базисных векторов g i и убедимся, что их координаты в базисе g сов- падают с соответствующими столбцами матрицы A g Замечание. В дальнейшем будем отождествлять линейный оператор и его матрицу (в фик- сированном базисе). Будем писать A(x) для оператора и Ax для матрицы оператора. В разных базисах оператор может иметь разные матрицы. Примеры. 1. Нулевой оператор Θ(x) = θ для любого x ∈ L. В частности, Θ(e i ) = θ , т.е. матрица данного оператора нулевая. 2. Тождественный оператор Id(x) = x для любого x ∈ L. В частности Id(e 1 ) = e 1 = 1 · e 1 + 0 · e 2 + ... + 0 · e n , Id(e 2 ) = e 2 = 0 · e 1 + 1 · e 2 + ... + 0 · e n , Id(e 1 ) = e n = 0 · e 1 + 0 · e 2 + ... + 1 · e n , т.е. матрица данного оператора единичная. 3. Оператор дифференцирования D(f) = f ′ в пространстве P n [x]. Выберем естественный базис: e 1 = x n , e 2 = x n−1 , ..., e n+1 = 1 Тогда D(e 1 ) = nx n−1 = ne 2 = 0e 1 + ne 2 + 0e 3 + ... + 0e n+1 , D(e 2 ) = (n − 1)x n−2 = (n − 1)e 3 = 0e 1 + 0e 2 + (n − 1)e 3 + ... + 0e n+1 , D(e n ) = 1 = 0e 1 + 0e 2 + 0e 3 + ... + 1e n+1 D(e n+1 ) = 0 = 0e 1 + 0e 2 + 0e 3 + ... + 0e n+1 4 Таким образом, матрица оператора в выбранном базисе будет иметь вид: 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n − 1 0 0 0 0 1 0 Матрица линейного оператора в различных базисах Пусть в пространстве L заданы два базиса: g 1 , g 2 , ..., g n и f 1 , f 2 , ..., f n , а также линейный опе- ратор A. Как известно, для любого x ∈ L выполняется x f = C f →g x g , x g = C g→f x f Аналогично для y = A(x): y f = C f →g y g , y g = C g→f y f , и в соответствующих базисах: y g = A g x g , y f = A f x f , откуда, подставив в первое равенство выражения через базис f, получим: C g→f y f = A g C g→f x f =⇒ y f = C f →g A g C g→f x f Таким образом, мы получили связь матриц оператора в различных базисах: A f = C f →g A g C g→f 5 По итогам лекции нужно знать: 1. Понятия: • Линейный оператор • Образ вектора, прообраз вектора • Матрица линейного оператора 2. Способ нахождения матрицы оператора 3. Матрица оператора в различных базисах 4. Условие равенства нулю матрицы Грама 5. Примеры скалярного произведения 6 Ядро и образ линейного оператора Def. Ядром линейного оператора A линейного пространства L называется множество KerA = {x ∈ L | A(x) = θ} То есть это все те векторы, которые оператор обращает в нулевой вектор. Def. Образом линейного оператора A называется множество ImA = {A(x) | x ∈ L}. Или просто: ImA = A(L). То есть это все те векторы, которые получаются в результате применения линейного опе- ратора ко всем векторам линейного пространства. Если вспомнить, что линейный оператор это функция, то образ оператора это множество значений данной функции. Теорема 1. Ядро и образ линейного оператора A линейного пространства L являются под- пространствами L. Доказательство. Пусть x, y ∈ KerA. Тогда для произвольных α, β ∈ L выполнено: A(αx + βy) = αA(x) + βA(y) = θ + θ = θ, т.е. αx + βy ∈ KerA и, согласно критерию подпро- странства, KerA ≤ L. Теперь если x, y ∈ ImA, то найдутся такие x 0 , y 0 ∈ L, что A(x 0 ) = x, A(y 0 ) = y . Следователь- но, A(αx 0 + βy 0 ) = αA(x 0 ) + βA(y 0 ) = αx + βy, т.е. для вектора αx + βy нашёлся прообраз, а, значит, αx + βy ∈ ImL. Очевидно, что для поиска базиса ядра оператора нужно решить однородную систему уравне- ний, соответствующую матрице оператора. Рассмотрим, как устроен образ. Теорема 2. Образ линейного оператора представляет собой линейную оболочку столбцов матрицы данного оператора (в базисе g). Действительно, для x = α 1 g 1 + α 2 g 2 + ... + α n g n имеет место: A(x) = A(α 1 g 1 + α 2 g 2 + ... + α n g n ) = α 1 A(g 1 ) + α 2 A(g 2 ) + ... + α n A(g n ) , при этом координаты A(g i ), i = 1, ...n, в базисе g и есть столбцы матрицы A. Следствие. размерность опраза линейного оператора A равна рангу его матрицы: dimImA = rankA (в любом базисе – поясните почему) Def. Размерность образа линейного оператора A называется рангом этого оператора A. Def. Размерность ядра линейного оператора A называется дефектом этого оператора. Примеры. 1. Пусть A− линейный оператор проектирования на плоскость Oxy в V 3 В стандартном базисе i, j, k имеем: A(i) = i, A(j) = j, A(k) = θ , 1 т.е. KerA =< k >. Поскольку для любого x ∈ V 3 выполнено A(x) = αi + βj, то ImA =< i, j >= Oxy. Проще говоря, образом оператора проектирования на плоскость является сама данная плоскость, что вполне очевидно. 2. D− оператор дифференцирования на R 3 [x] Если x 3 , x 2 , x, 1− базис R 3 [x] , то D(1) = θ, т.е. ядро оператора образуют многочлены- константы. С другой стороны для f ∈ R 3 [x] имеем: A(f) = b 0 x 2 + b 1 x + b 2 , т.е. ImD =< x 2 , x, 1 > , образ оператора D состоит из многочленов не выше второй степени. Def. Линейный оператор A называется инъективным, если разным векторам соответствуют разные образы при данном операторе. Теорема 3. Линейный оператор A линейного пространства L инъективен тогда и только то- гда, когда KerA = {θ}. Доказательство. Пусть A инъективен. Возьмём линейно независимые векторы g 1 , g 2 , ..., g k ∈ L и запишем ли- нейную комбинацию их образов: α 1 A(g 1 ) + α 2 A(g 2 ) + ... + k A(g k ) = θ Отсюда A(α 1 g 1 + α 2 g 2 + ... + |