Лин(вное)прво. Лин подпрво

• Название: Лин(вное)прво. Лин подпрво
• Дата: 23.06.2019
• Размер: 446.05 Kb.
• Имя файла: Lineyka_shpora.docx
• Тип: Документы; #82712
• страница: 1 из 4

Лин(в-ное)пр-во.Лин.подпр-во.
Про-во наз. Лин. Пр-вом, если для любых эл-в х, у, z того про-ва и произвол. веществ.чисел µ, v выполняются след. св-ва:

А1. х + у = у + х

А2. х + {у + z) = (х + у) + z.

АЗ. Особ. роль веществ.единицы: 1*х= х.

А4 - µ(v х) = v (µ х).

А5. Сущ. нул. эл-т., к-рый обозначается символом О, что х +0 = х.

А 6 . Для всякого элемента х сущ-т противоп.эл- т ẍ этого про-ва такой, что: х+ẍ=О.

А7. (µ+v)x = µх+ vх

А 8 . µ (x + у) = µх+µу

Эл-ты лин. про-ва наз. векторами. Само лин. про-во будем обозначать L.
примеры лин.пр-ва

1.геом.в-ра;2.матрица,3.ф-ции,4.n-мерный в-р –упоряд.набор п-чисел,для к-рых справедливы 2 св-ва: ] х,у- п-мер.в-ры(х,уЕL)х=(х1,…,хп),у=(у1,…уп)1.х+у=(х1+у1,…хп+уп)2.кх=(кх1,…,кхп)кЕR
В произв-м лин. про-ве сущ-т единств.нулев.эл-т и для каждого эл-та сущ.

единтс-ный ему противопол.

Док-во. Сущ-ние нул. и противопол. эл-ов утверждается в сво-вах А5 и А6. Предположим, что сущ-ет 2 нуля O1 и О2. Тогда по св-ву А5: O1 + О2 = O1, а по А1

И А5: O1+02=О2+O1=О2. След-но O1=02,т.е.имеется только один нул. эл-т. Теперь пусть сущ-т 2 эл-та у1 и у2 обратных х. Тогда по А5,А2 и A1: y1=у1+0 = у1+ (х+у 2) =

(у1+х)+у2=(х+y1)+у2=0+У2=У2+0=У2 ч.т.д.

В лин. про-ве нулевой эл-т = 0*х, а эл-т противоп. х = (-1)*х, где 0,-1 – вещест.числа.

Док-во. ]ẍ – противоп. эл-т для х, кот-й есть по св-ву А6. Тогда 0*х = 0*х+0=0*х+х+ẍ=(0+1)х+ẍ=х+ẍ=0.Наконец,х+(-1)*х=(-1+1)х=0*х=0.

Сл-но, 0*-х нул.эл-т лин.про-ва, а(-1)*х-противоп. эл-т этого пр-ва.

Размерностью пр-ва наз.число-вектор в базисе этого пр-ва.

Лин.подпр-во.

Подпр-вом наз.часть пр-ва,эл-ты к-рого удовл.2 св-вам.

1.суммы эл-тов подпр-ва принадлжеит подпр-ву.2.эл-т подпр-ва умноженное на число также явл.эл-том подпр-ва.

Если подпр-во лин.,то для его эл-тов также выполнены 8св-в лин.пр-ва.

Если пр-во лин.,то и всякое его подпр-во лин. Каждое пр-во содержит тривиальное подпр-во.

Т.Всякое нетривиальное конечномерное лин. подпр-во явл.лин.оболочкой своего базиса.т.е. L(Sn)=L,Snбазис.

Док-во.если Sn - базис в L, то по определению лин.оболочки, с одной стороны, L (S n) принадлежит L , с другой - по определению базиса L принад. L(S n)- Следовательно L (S n) = L.

Заметим, что, т.к. всякий вектор лин. пр-ва расскладывается по базису в виде лин. комбинации, то лин. пр-во само явл. лин. оболочкой в-ров своего базиса I

справедливо.

Т.если система в-ров л.н.з.,то она образует базис подпр-ва,постороенного на этих в-рах.

Т.сумма подпр-в явл.также подпр-вом.

] х,у принад. L=L`+L’’x+y=x’+x’’+y’+y’’=x’+y’+x’’+y’’=L’+L’’.

Т.пересечение лин.подпр-в также явл под-вом.

Если пересечение подпространств L’ и L " -- нул под-во,то сумма таких подпр-ств наз. прямой суммой.

Т.Если подпр-во образованно прямой суммой,то всякий эл-т из этой суммы можно разложить единств.способом.

Т. Размерность суммы 2х подпр-ств= сумме размерностей подпр-ств минус размерность их пересечения.

Т. Размерность прямой суммы подпр-ств =сумме размерностей этих подпр-ств.
Пр-во Rⁿ и лин.операции в этом пр-ве.

Множество в-ров,для к-рых определены операции сложения и умножения на число наз.пр-вом векторов Rⁿ

Эл-тами лин.пр-ва Rⁿявл. упоряд.наборы действ.чисел(х1,х2,…хп),кот.наз. п-мерные в-ры,числа х_i(i=1,…,n)наз.координатами в-ров.Для эл-тов пр-ва Rⁿ введены лин.операции сложения и разложения на скаляр.1.αх=y<-->y_i=ax_i

X+y=z < --> z_i=x_i+y_i

Мн-во матриц A_mxn,для к-рых введены лин.операции сложения и умножения на число,обр-ет лин.пр-во,к-рое обознач. R _mxn Введенное лин.пр-во в-ров явл.частным случаем лин.пр-вом матриц: R_1хп=Rⁿ – пр-во матриц строк,R_nx1= Rⁿ – пр-во матриц столбцов.

Система в-ров.Л.з. и л.н.з. в-ры.

Любое конечное множество в-ров наз. системой в-ров(S).

Лин. комбинацией системы векторов или просто векторов а1 , а2,а3…аn, наз. сумма вида

λ1a1 + λ2а2 + ... + λ_nаn(λ произвольные числа).

Лин. комбинация наз. тривиальной, если все λ1,λ2,…, λ_n=нулю.

В ином случае лин. комбинация наз. нетривиальной.

Линейные пространства

Сис. В-ров наз. л. н. если не сущ. нетривиальной лин.комбинации в-ров этой системы,= нул. эл-ту, в противном случае говорят, что система л.з. Лин.зав.систему можно представить в виде лин.комбинации др.нетривиальных комбинаций этих векторов.

Системы векторов обладают рядом важных свойств.

1. 
   Система из более, чем одного вектора линейно-зависима , когда хотя бы 1 из в-ров есть лин.комбинация остальных.
   
2. 
   Если в сис.входит нул.в-р ,то она л.з.
   
3. 
   Если некот.из в-ров входящих в сис.образует л.з.подсистему,то вся сис. л.з.
   

] S л.н.з.Но ее посис.S’ л.з. по утр.2 вся сис. л.з. Что противор.усл.-->предположение неверно.

4.Каждая подсис.л.н.з.сис.в-ров сама л.н.

] S={а1,…,аn} ;SэS’={аi1,…aik},i*k=n

Т.к.S’- л.з.подсис. --> сущ.нетривиальный набор чисел α1…αn,такой что α1*
Макс.число л.н.з.в-ров сис. наз.рангом этой системы.

Базис линейного пространства. Примеры

Макс.л.н.с..в-ров пр-ва наз. базисом этого пр-ва. Число векторов в базисе пр-ва L наз. размерностью пр-ва.

Т. Сис.в-ров образует базис пр-ва, когда она л.н.з.и всякий в-р пр-ва можно разложить в виде лин.ком-ции в-ров этой сис.

Док-во если сис.в-ров образует базис,то любой в-р модно представить в виде лин.ком-ции. ]сис.в-ров Sn:a1,a2,…,an л.н.з. и по ней модно разложить произвольный в-р пр-ва L,но она не макс. Тогда сущ-ет хотя бы 1 в-р b,принад.L,что сис.Sn,b л.н.з.По усл.Т. в-р b можно разложить по в-рам сис.Sn: b=,тогда -b=0 .Это означает л.з.сис.в-ров Sn,b что противор.предположению.ч.т.д.

Т. При сложении 2х в-ров 1ого пр-ва координаты этих в-ров складываются, а при умножении вектора на число все координаты этого в-ра умножаются на число.
Теорема о разложении вектора по базису.

Любой в-р пр-ва мб представлен в виде лин. комбинации в-ров базиса этого пр-ва и это представление единственно.

Док-во. ] а1,а2,… , ап базис зад. пр-ва,а b произвол. ненул. в-р этого пр-ва. Рас.лин.комбинацию.λ₀*b+λ₁*a₁+λ₂*a₂+…+λ_na_n=0

Видим, что λ₀≠0. В противном случае сис.будет л.з.

b=-*а₁-*а₂-…-*а_n=*а₁+*a2+…+*a_n

Т.о.лин.представление возможно.

] оно не единственно. И в-р b разложен по базису 2 сп-бами: b= *а₁+…+*a_n и b=*а₁+…+*a_n . вычитая из 1 2 получим (-)*a1+…+(-) *a_n=0

Но, если хоть 1 из разностей в скобках≠0, то векторы a₁,a₂ . . . , ап – л.-з., что противоречит условию. Т. док-на.

В соответствии с Т. любой в-р х лин. про-ва L мб единств. образом представлен в виде

х=х₁а₁+х2а2+…+хпаn,где а1,а2,…,аn базис пр-ва L,такое разложение наз.разложением в-ра х по базису а1,а2,…,аn,а числа х1,х2,…,хn- коор.в-ра х относит.в-ра базиса а1,а2,…,аn

Оказывется, что единств.разложения произвольного в-ра пр-ва по нек-рой сис.в-ров S_nявл. признаком базиса.

Т.Пусть по системе векторов S n : a1, a2, ... ,a_n можно единств. образом разложить любой в-р пр-ва L . Тогда данная сис. в-ров образует базис.
Линейная оболочка векторов.Линейная оболочка — это набор векторов, которые задают линейное подпространство. линейная оболочка — это множество всех линейных комбинаций данных векторов.Если задана лин.оболочка — ранг набора векторов равен его размерности.

Векторное представление системы линейных уравнений.

Представим осн. матрицу А в виде в-р-столбцов А¹, А²,…, А^п.

Тогда система лин. ур-ний (6.1) записывается в векторном виде:

x₁А¹+х₂А²+…+х_nAⁿ=b

А¹=(, )A²=(,…. Aⁿ=( ),b=()


Значит, сис. лин. ур-ний тхп мб представлена в виде разложения в-а b€R^m – в-ра свободных членов по n в-рам А¹, А², . . . , А п € R m – в-р-столбцам матрицы коэф., при этом коэф. разложения оказываются переменные.
Теорема Кронекера-Капелли.

Для того, чтобы сис. лин. ур-ний ( 6 .1 ) имела решения, необ. и дост., чтобы ранг осн. матрицы равнялся бы рангу расш. матрицы.
Необходимость. Пусть сис. имеет решение , ,…,тогда в-рная форма сис.лин. ур-ний имеет вид:

А¹+А²+…+An=b

откуда следует, что в-р bлинейно выражается через векторы А¹, А²,

... ,А^п ранги систем S = { А¹, А², …, А^п} и S={S,b}равны. Из т. о равенстве ранга матрицы макс. числу её лин. нез. столбцов ,получим, что ранг осн. Матрицы=рангу расш.

Достаточность. ] ранги расш. и осн. матриц равны,то и ранги систем S и S тоже равны. Тогда лин. оболочки L (S )и L (S ) сис. S и S совпадают. По опред. лин. оболочки всякий её в-рпредставим в виде лин. ком-ции в-ров, образующих эту сис., т.е. сущ.

набор чисел , ,…,, что А¹+А²+…+An=b.

Но тогда числа , ,…,как раз и явл. решением сис.ч.т.д.
Критерий линейной зависимости векторов в пространстве Rⁿ.

Если ранг матрицы коорд. = числу в-ров,то эти в-ра лин. нз., если меньше, то эти в-ра лин.зав.

Док-во: Расм.лин.комб. в-ров сист.Sn вида:
α₁a¹+…+α_naⁿ=α₁*()+…+α_*=()=0,где α1,…, α_n-вещ.числа.
Данное выр-е можно представить виде сист.лин.однородных ур-й.
α1а11+α2а12+…+α1а1n=0
α1а21+α2а22+…+α1а2n=0
α1аm1+α2аm2+…+α_ma_mn=0
Эта сист.всегда имеет реш-е.Имеется бескон. много реш-й в том случае,если ранг основ.матр., к-рая в дан. случае совпадает с матр.коорд., меньше числа неизв.,число к-рых=числу в-ров.Среди бескон.мн-ва реш-й имеется и нетривиал.показыв.лин.зав.в-ров.Если ранг матр.коорд. = числу в-ров, то имеется только одно тривиал. реш-е, говорящее о лин. незав.в-ров. ч.т.д.


Евклидовое пространство.Лин. пр-во наз.евклидовым, если для любых 2х в-ров х, у этого пр-ва задано правило, по к-рому дан.в-рам сопоставляется число, обозначаемое как (х ,у ), удовлетворяющее след. св-вам скал. пр-ния:1.(х ,у ) = (у,х).

2Для любого вещ.числа λ€R,(λх,у)=λ(у,х)

3. (х+у,z) = (x ,z )+(y ,z).

4 (x,x)≥0 ,если (x,x)=0, то обязательно х=0

Т.для любых 2 в-ров х,у евклидово пр-во справедливо нерав-но

(х,у)²≤(х,х)(у,у)

для любого вещ. числа t в силу аксиомыи4 скал. произведения будет (х + tx ,x + tx )≥0, раскрывая скобки, получим (х+ty,x+ty)=(x,x)+2t(x,y)+t²(y,y)≥0

Левую часть нерав-ва можно рассматривать как квадрат. 3хчлен по перем. t. Он неотриц, если дискрим. не полож:D=4(x,y)²-4(x,x)²(y,y)≤0 или (х,у)²≤(х,х)(у,у)

Доказанное нерав-во наз. неравенством Коши-Буняковского
Нормированное пространство

Лин. пр-во наз. нормируемым, если любому в-ру х этого пр-ва сопоставлена норма ||х|| - числа, к-рое удовл. след. св-вам:

1. ||х|| ≥0, если||х|| =0, то обязательно х=0.

2. Для люб. вещ.числа λ €R, ||λх|| = |λ|*||x||.

3. Для любых 3х эл-тов x ,y ,z этого пр-ва справедливо нерав-во треуг-ника: ||x+y||= ||x||+ ||у||.

Если ||x||(€R) -норма х и ||x||=тогда св-во 1-3 выполн.-->всякого евклидово пр-во нормируемо.
Ортогональное дополнение и его свойства.

Ортог. Дополнением дан. подпр-тва наз.множество всех в-ров, ортогональных каждому в-ру из дан.подпр-ва.

Т.Ортог. дополние подпр-ва явл. подпр-вом.

Док-во. Если х ,у € , то для любого z€Ек получим (x,z)=0и (у, z) = 0. Откуда следует, что и х + у и λх € , т.к. для люб. z€Ек и λ€R по опр.множ-ва будет (

(х+у,z)=(x,z)+(y,z)=0+0=0и (λх,z)=(xλ,z)=λ(x,z)=0.Т.о. -подпр-во.

Т.Пр-во Еп явл. прямой суммой подпр-во Ек и его ортог. дополнения.

Размерность ортог. дополнения к-мерного подпр-ва Ек пр-ва Еп равна п-k.
Свойства ортогонального дополнения.

1.(=Ek

Док-во.Из опред.ортог.допол.следует,что E_kc(.Пусть E_k≠(.Тогда существ.z€(,но z не принадл.E_k. E_n=E_k©.-->существ.единств.х€ E_k, у€.:z=x+y.Но (z,y)=0,т.к. z€(и y€(.Но и (х,у)=0, т.к. х€E_k ,y€.След-но 0=(z,y)=(x+y,y)=(y,y)Что мб при y=0.Противоречие ч.т.д.

2.E_k∩0

3.=E₀

4.=E_n