Лин(вное)прво. Лин подпрво
 Скачать 446.05 Kb.
|
|
Определитель 1-го, 2-го и третьего порядков. Правило Саррюса и «звёздочки». Опред-ль- многочлен, комбинирующий эл-ты квадр.матр. т.о., что его зн-е сохр. при транспонировании и лин.комб.строк или столбцов,т.е. опр-ль харак-ет содержание матр. Опр-ль 1-го пор.равен тому единств. эл-му, из-к-рого состоит соотв.матр. Опр-ль 2-го пор. Равен произв-ю эл-ов, стоящих на главн.диаг. минус произведение эл-ов ,стоящих на побочной диагон. Для вычисления опр-ля 3-го порядка имеется несколько способов вычисления: праило Саррюса и правло * Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Определитель произвольного порядка. Рассмотрим матр.3-го порядка. Вычеркнем в ней i-ю стр. и i-й столб.. В рез-те получим матр.2-го порядка. Опр-ль получивш.матр. наз.минором ij-й исходной матр.(Mij). Напр. |A|=a11M11-a12M12+a13M13. Алгебр.доп. эл-та аij Aij наз.число Аij=(-1)i+jM ij. Назовем опред-ем n-го порядка число, к-рое сопоставл.матр. n-го порядка по правилу: |A|=  = a11A11+…+a1n A1n. Свойства определителя. Терема об определителе произведения квадратных матриц. 1.При трансп-ии опр-ль не меняется. 2.Опр-ль мб разложен по любой строке(столбцу) 3. При перемене местами 2-х строк(столбцов), опр-ля его знак меняется на противоположный. 4.Опр-ль,имеющий 2 равные строки(столб)=0. 5.Опр-ль, имеющ.нулев.стр(столб), =0.(разлож-е по нулевой стр(столб)) 6.Сумма попарных произв-й эл-ов какой-либо стр(столб) на алгебр.доп. эл-ов др.стр(столб)=0 7.Общий множ-ль всех эл-ов стр(столб.) опр-ля можно вынести за его знак. Докажем это св-во для строк опр-ля, используя т.о разложении опр-ля по эл-ту любой строки. ∆=|  |=kai1Ai1+kai2Ai2+…+kainAin =k(ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin)=k| |=k∆.8. Опр-ль не изменяется, если к какой-либо вектор-строке(-столб) прибавить какую-либо др.вектор-стр(-столб) этого опр-ля, умнож-го на число. 9.Если матр.,соотв.опр-лю треугол.,то такой опр-ль= произв-нию эл-ов его главн.диаг.(разложение по 1-му столбцу) 10. Если какая-либо вектор-стр(столб) опр-ля явлю.лин.комб.др.вектор-строк(столбцов), то такой опр-ль=0. Т.Опр-ль про-я квадр-ых матр.одного порядка =произ-ю опр-лей этих матриц. Док-во. Квадр.матр. можно записать как произ-е матриц элемент.преобр.: Tii(λi) и Tij(i≠j). Но det(Tii(∆i)A)=∆idetA=detTii(λi)detA и det(TijA)=detA,тогда det(AB)=det(  … B)=λ1…λqdetB=detAdetB чтд Обратная матрица. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Матр.B наз. обратной матр. А,если AB=BA=E.АА-1=Е Обр.матр.сущ-ет только у квадр.,но не всегда.Если ее нет, то говорят, что матр.вырождена или особенная, если обр.матр.сущ-ет, то она наз.невырожденной или неособенной. Т. Если ранг квадр.матр.=числу ее строк, то у нее сущ-ет обр. Док-во. Т.к.все вектор-строки такой матр. л.н.з.,то мы не сможем обнулить ни одну из строк.С помощью преоб-й получим: *…*A=E, где  -неособен.матр. элемент.преоб-й. A-1 =*…*.чтд.T.Для того, чтобы квадр.матр.имела обратную необходимо и достаточно отличия от нуля ее опр-ля. Обрат.матр.единств. Док-во. Необ. ] А-1- обр.матр. к матр. А, тогда А-1A=E, т.е.det(A-1A)=detA-1detA=1 detA≠0. Достаточность. ] опр-ль матр.≠0 все строки матр. л.н.з. обр.матр.сущ-ет. ] сущ-ет хотя бы 2 обр.матр. к матр.А- В и С. Тогда АС=Е. АВ=Е. Умножая обе части 1-го рав-ва на В слева получим ВАС=ВЕ С=В. Чтд. Элементарное преобразование матрицы. Элементарное преобразования матрицы как умножение матриц. Сложение. Сложение матриц вводится только для матриц одинаковых размеров. А=(aij) B=(bij). Суммой матриц и одинаковых размеров, называется матрица C=(cij) тех же размеров, у которой cij=aij+bij для любого i,j. Аналогично определяется разность. Умножение матрицы на число. Каждый ее элемент умножаем на это число. Свойства Матриц:
A + (–A) = A – A = 0, где 0 – матрица, составленная из нулевых элементов. 2) A + B = B + A 3) (A + B) + C = A + (B + C) 4)λ (A + B) = λ A + λ B (λ – произвольное число.) 5) λ (AB) = (λ A) B = A (λ B) 6) (AB)C = A(BC) 7) A(B + C) = AB + AC 8) (A + B)C = AC + BC Элементарные преобразования матриц: - перестановка местами двух параллельных рядов матрицы - умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля - прибавление ко всем элементам ряда матриц соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число. Две матрицы можно назвать эквивалентными, если одна из них получается из другой, с помощью элементарных преобразований. Перемножение Матриц. Операция умножения двух матриц вводится только тогда, когда число столбцов первой матрицы, равно числу строк второй матрицы. Элемент i-той строки и к-го столбца матрицы произведения равен сумме произведения элементов i-той строки матрицы А на соответствующий элемент к-го столбца матриц В.(строку на столбец). Если матрицы квадратные одного размера, то их произведения всегда существуют. Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ=ВА. Операция транспонирования матриц обладает следующими свойствами: 1) (A+B)T=AT+BT ; 2) (αА)T=αАT , для любого действительного числа α ; 3) (АВ)T=BTAT ; 4) (AT)T=A , для любых матриц A и B, для которых имеют смысл левые части равенств. Свойства 1), 2), 4) непосредственно вытекают из определения. Заметим, что при транспонировании матрицы её строки становятся столбцами матрицы AT , с теми же номерами, а столбцы - строками. Минор матрицы. Базисный минор. Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Рассмотрим матр.А размера nxm. Выделим в ней к строк и к-столбцов(к≤min(m;n)).Из эл-тов,стоящих на пересечении,выделенных сторк и столбцов ,составим опред.k-ого порядка.Все такие опред.наз.минорами этой матрицы.Заметим,что миноров 2-ого порядка всего  штук,где  = (число сочетаний из n-эл-тов по k).Наибол.из порядков миноров дан.матрицы,отличный от 0,наз.рангом матрицы. Очевидно,что 0≤r  min(m;n).Минор,порядок к-рого определяет порядок ранг матр,наз.базисным минором.У минора мб нескол.-ко базисных миноров. Рангом матр.наз.порядок базисного минора. Св-ва ранга матр. 1.при транспонировании матр.ее ранг не меняется 2.если вычеркнуть из матрицы нул.ряд,то ранг матр.не изменится 3.ранг матр не меняется при элемент преобразованиях Транспонирование и его свойства. Пусть А=(аij)-некот.матрица.Матр.,в к-рой строки заменены на столбцы наз.транспонированной матр.(А'=(аji)). Св-ва трансп. 1.пусть [А]=mxn,тогда [A’]=nxm 2.А’’=A(двойное транс-ние дает исходную матрицу) 3.(А+В)’=А’+B’ 4.(λA)’=λA’ 5.(AB)’=В’A’ 6.]матр.А-квад.и матр.,имеющая обратную.тогда(А’)-1=(А-1)’ Док-во 5.если А=(а1,а2….,аn)-в-р строка,В=  )-в-р столбец.Видим,что А’=(  ),B`=(b1,b2,…,bn)AB=a1b1+a2b2+…+anbn.Тогда,B`A`=(b1,…,bn),(  )=b1a1+…+bnan=a1b1+…+a1b1=AB=(AB)`св-во 5 верно для в-р строк(столбцов)]А=(  ), B=(B1,B2,…Bm)-это матр,для к-рых определенно произведение АВ.тогда А`=( , ,…, ),B`= ) Найдем произведение матрA и B, а также B` и A` как произведение в-р строк и в-р столбцов: АВ=(  )Тогда(AB)`=(  )(1)Аналогично B`A`=(  )(2)Из сравнения (1) и (2) учитывая что АiBj=B`jА`I получим док-во 5 св-ва. Прямоугольные (декартовы) координаты на прямой, плоскости и в пространстве. Косоугольные системы координат. С.к.-способ,позвол.численно на плоск.описать полож-е точек плоскости.Напр,прямоугол.с.к.задается взаимно┴прямыми(осями),на каждой из к-рых выбрано положит.напр-е и задан един.отрезок.Точку пересеч-я осей коорд-т-нач.коорд.,(х-ось абс,у-ось-ордин).Оси коорд.делят плоскоть на 4 четв.Плоск,в которой расположена с.к.наз.коорд.плоск. Прям.с.к.в про-ве образуется 3-мя взаимно┴осями коорд(Ох,Оу,Оz). Положение т.А опрделяется 3-мя коорд(x,y,z). Все прямоугол.с.к.в 3-хмерном про-ве делятся на 2 класса:правые и левые. Определить к какому классу относится с.к.можно используя правило лев.руки или винта. Косоугольная с.к.(аффиная)-прямолинейная с.к.в аффин.про-ве. В n-мерном про-ве она задается упорядоч.сист.л.н.з.векторов e1…en, выходящ.из одной точки. Аффиными коорд.т.М наз.такие числа х i,что: вект.ОМ=xвект.е 1+…+хn вект.е n. т.О и сист. векторов е1+…+еn наз.аффин.базисом. Базисом на прямой наз.ненулевой вектор на этой прямой. Базисом на плоск.наз.любые 2 неколлин.вектора на этой плоскости Базисом в про-ве наз.3 неколлиниарн.вектора. Если вектор представлен в виде лин.комбинации, то говорят, что он разложен по этим векторам. Каждый вектор про-ва м.б.разложен по базису единств.образом. Расстояние между двумя точками прямой, плоскости и в пространстве. Расстояние м/у 2-мя точками равно АВ=А’В’=|xB-xA |. Ординаты,апликаты т.А и В в этом случае равны(т.е. yA=yB, zA=zB). Рассмотрим общий случай расположения т.А и В в про-ве относит.с.к. Оxyz. (см.рис) ] А(xA,yA,zA) и B(xB,yB,zB)-две произвол.т.пр-ва. Проведем ч/з т.А и В плоскости | | коорд.плоск..Эти 6плоск.высекают прямоугол.параллел-д. Из прямоугол.треугол. ADC:АС2=AD2+DC2, из пр.треугол. ABC: AB2=AC2+BC2= AD2+DC2+ BC2. Т.к. т.А,D,C лежат в плоск.┴ оси Оz, то zA=zD=zc,т.к. вект.AD | |Оy ┴ Ох,то хA=xD.Т. B,C,D лежат в пл.┴оси Оyy B=yC=yD и вект.BC| | Оz и ┴Ox,то xB=xC. Имеем: АD2=(y0-yA)2=(yB-yA)2. DC2=(xC-x0)2=(xB-xA)2; BC2=(zC-zB)2=(zA-zB)2AB2=(xB-xA)2+(yB-yA)2+(zA-zB)2. ] А(xA,yA), B(xB,yB), тогда AB=  Деление отрезка в заданном отношении. ]в прямоуг.декарт.с.к. Оxy заданы коорд.2-х не совпадающ.точек А(xA,yA) и B(xB,yB)Нам требуется найти коорд.xС и yC т.С, к-рая делит отр.АВ в отн-ии λ,где λ-нек-рое полож.число.Т.е.отн-е длин отр.АС и СВ=λ.λ=|  |.Очевидно, что при λ=1 т.С явл.сер.отр.АВ.(см рис) Изобразим в прямоугол.с.к. нек-рый отр.АВ, т.С на нем и построим радиус.Векторы т.А,В,С,а также вектАС и вект.СВ.Будем считать, что т.С делит отр.АВ в отн-нии λ.Мы знаем, что коорд.радиус-вектора точки равны соотв.координатам этой точки вект.ОА=( xA,yA), вект.ОВ=( xB,yB).Вект.ОС=вект.ОА+вект.АС и вект.ОВ=вект.ОС+вект.СВ и вект.СВ=вект.ОВ-вект.ОС.Т.к. т.С делит АВ в отн-ии λ, то |AC|=λ|CB|.Векторы АС и СВ лежат на одной прямой и имеют один.напр-е, λ>0 справедливо ра-во вект.АС=λвект.СВ. Вект.АС=λ(вект.ОВ-вект.ОС),тогда вект.ОС=вект.ОА+вект.АС. В.ОС=вект.ОА+λ (вект.ОВ-вект.ОС). Вект.ОС=  (в.ОА+λв.ОВ).Осталось вычислить коорд.в-ра ОС= (в.ОА+λв.ОВ), выполнив операции над в-рами ОА и ОВ в коорд-х.Т.к. в.ОА=( xA,yA) и вект.ОВ=( xB,yB),то в.ОА+λ в.ОВ=( xA+λxB; yA+λyB) В.ОС=(в.ОА+λв.ОВ)= , ).xC=  yC= Полярная система координат. Сферическая система координат. Пол.с.к.-совокупность называемой полюсом и полупрямой Ох,назыв.полярн.осью.Также задается масшт.отр-к для измер-я расст.от т-к до полюса.Как правило, на полярн.оси выбирается вектор i, приложенный к т.О, длина к-рого принимается за величину масшт.отр-ка,а напр-е в-ра задет положит.напр-е на полярн.оси.Положение т.М в полярн.с.к.опр.расстоян.r(полярн.рад.)от т.М до полюса и угл.φ(полярным углом) м/у пол.осью и вект.ОМ. Пол.рад.и пол.уголφ соств.пол.коорд. х=rcosφ; y=rsinφ. Полярн.с.к.можно обобщить на 3-хмерный случай,для этого придется ввести 3-ю коорд.-уголθ.Углы φ иθ примерно соотв.земным долготе и широте, а коорд.ρ опр-т расст.от иссл.точки до полюса. Сфер.коорд.точки в 3-хмерном про-ве явл.:ρ-расст.от точки до полюса,φ-угол м/у пол.осью и проекцией радиус-вектора точки на выбр.экваториал.пл.,θ-угол м/у радиус-вектором точки и его проекцией на экваториал.плоск. С.к.,сост.из полюса,экв.плоскости,полярн.оси,лежащей в ней,наз.сферической. x=ρ*sinφ*cosθ; y=ρ*sinφ*sinθ;z=ρ*cosφ. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.  Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пучок прямых.  Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении.  Угол между двумя прямыми, Условия параллельности и перпендикулярности прямых.  Уравнение прямой в отрезках на осях.  Общее уравнение прямой на плоскости.  Окружность. Общее и каноническое уравнения окружности. Окружность — геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное неотрицательное расстояние, называемое её радиусом Уравнение: (х-х0)2+(у-у0)2=R2 Уравнению удовлетворяют координаты любой точки M(x,y)данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности. Это каноническое уравнение окружности. Если предположить что х0=0 и у0=0 , то получим уравнение окружности с центром в начале координат х²+у²=R². |