Логарифмические неравенства Логарифмическими неравенствами называют неравенства вида, где

• Название: Логарифмические неравенства Логарифмическими неравенствами называют неравенства вида, где
• Дата: 11.05.2022
• Размер: 1.74 Mb.
• Имя файла: algebra_i_nachala_matematicheskogo_analiza._11_-_12_klassy._dlya.pptx
• Тип: Решение; #523635

Логарифмические неравенства
Логарифмическими неравенствами называют неравенства вида , где - выражения, содержащие .
Если в неравенствах неизвестное находится под знаком логарифма, то неравенства относят к логарифмическим неравенствам.


Свойства логарифмов, выраженные неравенствами
1. Сравнение логарифмов:
А) Если , то ;
Б) Если , то .
2. Сравнение логарифма с числом:
А) Если , то ;
Б) Если , то .


Свойства монотонности логарифмов
1) Если , то и .
2) Если , то и
3) Если , то .
4) Если , то
5) Если , то и

6) Если , то и

7) Если основание логарифма переменная величина, то


Методы решения логарифмических неравенств
1. Метод потенцирования.
2. Применение простейших свойств
логарифмов.
3. Метод разложения на множители.
4. Метод замены переменной.
5. Применение свойств
логарифмической функции.


Решение логарифмических неравенств
№ 1. Решите неравенство
.
Решение.
1) Находим область определения данного неравенства
.
2) Преобразуем данное неравенство
, следовательно, .


3) Учитывая, что , получаем .
Ответ. .
№ 2. Решите неравенство
.
Решение.
1) Находим область определения данного неравенства


Из первых двух неравенств:
.
Прикидываем .
Рассмотрим неравенство .
Должно выполняться условие:
.
Если , то , тогда
.


2) Преобразуем данное неравенство
, следовательно,
Решаем уравнение .
Сумма коэффициентов , следовательно один из корней .
Разделим четырёхчлен на двучлен , получаем
.


Тогда , следовательно, , решая методом интервалов данное неравенство, определяем
.
Учитывая, что , находим значения неизвестной величины .
Ответ. .


№ 3. Решите неравенство
.
Решение.
1) Преобразуем
.
2) Данное неравенство принимает вид:
и


.
Ответ. .
№ 4. Решите неравенство
.
Решение.
1) Преобразовываем данное уравнение
.
2) Неравенство равносильно системе неравенств:


3) Решаем неравенство

.
4) Рассматриваем систему и решаем её
.
5) Решаем неравенство .
а) Если , то , следовательно,

.
решение неравенства.
б) Если , то , следовательно,
.

Учитывая, что рассматривали , получаем решение неравенства.

6) Получаем .

Ответ. .

№ 5. Решите неравенство
.
Решение.
1) Преобразовываем данное неравенство
2) Неравенство равносильно системе неравенств:


.
Ответ. .
№ 6. Решите неравенство
.
Решение.
1) Преобразовываем данное неравенство
.
2) Учитывая преобразования неравенства, данное неравенство равносильно системе неравенств:


.
Ответ. .


№ 7. Решите неравенство
.
Решение.
1) Находим область определения данного неравенства:
.


2) Преобразовываем данное неравенство
.
3) Применяем метод замены переменной.
Пусть , тогда неравенство можно представить в виде:
.
4) Выполним обратную замену:


5) Решаем неравенство
.


6) Решаем неравенство


.
7) Получаем систему неравенств
.
Ответ. .