Математика. матан ш. Матан Понятие функции, свойства функций, способы задания функций. Взаимно
 Скачать 1.66 Mb.
|
|
Матан 1.Понятие функции, свойства функций, способы задания функций. Взаимно обратные функции, сложная функция. Графики основных элементарных функций с указанием ООФ. 1.Понятие функции, свойства функций, способы задания функций. Взаимно обратные функции, сложная функция. Графики основных элементарных функций с указанием ООФ. Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменная х - независимая переменная или аргумент Переменная у - зависимая переменная. Свойства функций: 1) Область определения функции (ООФ)- все значения, которые принимает независимая переменная х. 2) Область значений функции (множество значений)- все значения y, которые принимает функция. 3) Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x) 4) Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x) 5) Возрастающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1) 7) Нули функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. Способы задания функций: 1) Табличный способ 2) Аналитический способ 3) Графический способ 4) Описательный способ Взаимно обратная функция - пусть дана функция y = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости y = f(x) можно переменную x однозначно выразить через переменную y. Выразив x через y, мы получим равенство вида x = g(y). В этой записи g обозначает функцию, обратную к f. Функция имеет обратную, если функция строго возрастает или строго убывает. Если функция g является обратной для функции f, то и функция f является обратной для функции g, потому что равенства y = f(x) и x = g(y) по определению обратной функции равносильны. В силу симметрии понятия обратной функции пару функций f и g называют взаимно обратными функциями. Сложная функция – это функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = z(y(x)) называется сложной функцией (или композицией). Производная дифференцируемой сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточной функции по независимому аргументу. Графики основных элементарных функций Линейная функция Это функция вида f(x)=kx+b. Число называется угловым коэффициентом, а число - свободным членом. Графиком линейной функции служит прямая на координатной плоскости. Гр.1 Область определения – все действительные числа. Квадратичная функция Это функция вида f(x)=ax2+bx+c. Графиком квадратичной функции служит парабола с осью, параллельной оси y. При вершина параболы оказывается в точке (0;0). Гр.2 Парабола y=ax2 (α>0) Гр.3 Парабола, общий случай Область определения квадратичной функции – вся числовая прямая. Степенная функция Это функция вида y= xα. Для α>0 рассматриваются такие случаи: Гр.4 График степенной функции при α=1,2,3,4 График при а=3 называется кубической параболой Если α≤0 то график называется гиперболой и состоит из двух ветвей: Гр.5 График степенной функции при α=-1,-2,-3,-4 Область определения степенной функции – множество всех положительных чисел. Показательная функция Это функция вида y=ax , где a>0, a≠1. Гр.6 График показательной функции при a<1. Гр.7 Число а называется основанием показательной функции. Область определения функции – вся числовая прямая. Логарифмическая функция Это функция вида y=loga(x), где a>0, a≠1. Гр.8 График логарифмической функции при a>1. Гр.9 График логарифмической функции при a<1. Число a называется основанием логарифма. Область определения логарифмической функции – промежуток (0; +бесконечность). Тригонометрические функции Функция синус y=sin(х) периодична с периодом 2π и нечётная. Гр.10 Область определения – множество всех действительных чисел. Функция косинуса y=cos(x) связана с синусом формулой приведения: cosx= sin(x+п/2) Гр.11 Область определения – множество всех действительных чисел. Функция тангенс y=tg(x). По определению: tgx= sinx/cosx x не может принимать значения x= п/2+kп, при которых cos(x) (стоящий в знаменателе) обращается в ноль. Гр.12 Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме числа х=п/2+пn, n принадлежит Z. Функция котангенс y=сtg(x).По определению: ctgx=cosx/sinx xне может принимать значения вида x=kπ, при которых sin(x) обращается в 0. График функции y=сtg(x). Гр.13 Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=пn, n принадлежит Z 2.Производная функции, ее обозначение и свойства. Таблица производных. Вычисление производных основные правила дифференцирования. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении к нулю последнего – называется производной функции в точке. Если данный предел конечен, то функция y=f(x) является дифференцируемой в точке x0 . Свойства производной: 1. (f ± g)′ = f′ ± g′ 2. (f · g)′ = f′ · g + f · g′ 3. (f/g )′ = f′·g - f · g′ /g в степени 2 Таблица производных: см. картинку Основные правила дифференцирования функций: см. картинку 3.Производная сложной функции. Понятие дифференциала, вычисление дифференциала. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции, умноженной на производную от внутренней функции. (u(v(x)))′=u′(v)⋅v′(x) Дифференциалом функции y=f(x) называется произведение производной этой функции на приращение её аргумента dy=y′(x)⋅Δx Из определения дифференциала также следует, что дифференциал функции является линейным относительно приращения x аргумента функции (иными словами, дифференциал функции пропорционален приращению аргумента) dy/dx=f′(x) Производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента. 4.Производные высших порядков. Геометрический и механический смысл производных. Производную y’ называют также первой производной, или производной первого порядка, функции в отличие так называемых производных высших порядков. Производные высших порядков – это производные порядков выше первого. При этом производная n-го порядка определяется как производная от производной предыдущего порядка: см. картинку Механический смысл производной Производная y’(x) функции y=f(x) – это мгновенная скорость изменения этой функции. Геометрический смысл производной Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке. 5.Функции двух переменных. Частные производные. Частный и полный дифференциал функции. Частной производной функции z=f(x,y) в точке (x0, y0), M(у) по соответствующей переменной называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению этой переменной, когда приращение переменной стремится к нулю (если этот предел существует и конечен). формула 1. Совершенно аналогично можно определить частную производную по y функции z=f(x,y) в точке (x0, y0), M(у). формула 2. Частным дифференциалом функции нескольких переменных по какому-либо из её аргументов называется произведение частной производной этой функции по данному аргументу на дифференциал этого аргумента. формула 3. Полным дифференциалом функции нескольких переменных называется сумма всех её частных дифференциалов. формула 4. 6.Неопределенный интеграл, обозначения, свойства. Понятие первообразной. Основные способы интегрирования. Таблица первообразных. Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если F′(x)=f(x). Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как ∫f(x)dx. Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение: Рис.1 Где C - произвольная постоянная. Свойства неопределенного интеграла: 1) Производная неопределенного интеграла от функции f(x) равна самой этой функции. Рис.2 2) Неопределенный интеграл от дифференциала первообразной F(x) для некоторой функции f(x) равен некоторой первообразной F0(x) этой же функции, причем F0(x) необязательно совпадает с F(x) Рис.3 3) Неопределенный интеграл от произведения постоянного не равного 0 множителя k на функцию f(x) равен произведению этого множителя на неопределенный интеграл от данной функции Рис.4 4) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа n функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций Рис.5 Основные способы интегрирования: 1) Метод разложения 2) Метод замены переменной интегрирования (метод подстановки) 3) Метод интегрирования по частям Таблица первообразных: Рис.6 7.Определенный интеграл, формула Ньютона-Лейбница, методы вычисления определенного интеграла. Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. Формула Ньютона-Лейбница: Картинка Как следует из этой формулы, для вычисления определенного интеграла достаточно найти какую-либо из первообразных для подынтегральной функции и из её значения, соответствующего верхнему пределу интегрирования, вычесть значение, соответствующее нижнему пределу. Методы вычисления определенного интеграла: 1) Метод разложения (непосредственного интегрирования) 2) Метод замены переменной интегрирования (метод подстановки) 3) Метод интегрирования по частям 8.Геометрический смысл понятия определенный интеграл. Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная неотрицательная функция y = f(x). Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис.2) Определенный интеграл (рис.1) от неотрицательной функции y = f(x) с геометрической точки зрения равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f(x), слева и справа – отрезками прямых x = a и x = b, снизу – отрезком оси Ох. 9.Случайные события и их классификация (примеры). Случайным событием называется такое событие, которое в результате испытания может произойти, а может и не произойти. Например, невозможно предсказать заранее, что выпадет герб или цифра при подбрасывании монеты. Случайные события обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В, С, D… Классификация: 1. Событие называется достоверным в данном испытании, если в результате испытания оно обязательно происходит. Например, достоверным является событие, состоящее в извлечении наугад упаковки аспирина из ящика, в котором находятся только упаковки аспирина. 2. Событие называется невозможным в данном испытании, если оно не может произойти в результате испытания. Например, невозможным является событие, состоящее в извлечении наугад упаковки аспирина из ящика, в котором находятся только упаковки парацетамола. Невозможное и достоверное события не являются случайными. 3. Случайные события А1, А2, .... Аn называются несовместными, если осуществление какого-либо из них и результате испытания исключает осуществление при этом других указанных событий. Например, если событие А1, состоит в выпадении цифры 1 при однократном бросании игрального кубика, событие А2 – в выпадении цифры 2, и т.д., то события А1, А2… Аn являются несовместимыми, поскольку осуществление любого из них исключает наступление остальных событий в этом испытании. 4. Случайные события А1, А2,... Аn называются совместными, если осуществление любого из них в результате испытания не исключает осуществления одновременно какого-нибудь другого из перечисленных событий. Например, если событие А1 состоит в выпадении цифры 1 при однократном бросании игрального кубика, а событие А2 – в выпадении нечетного числа очков, то эти два события – совместные, поскольку цифра 1 является нечетным числом. 5. Случайное событие В называется благоприятствующим для события А, если при наступлении события В наступает событие А. Например, в корзине находится 10 одинаковых по форме шаров (7-белых, 3-красных) с указанными на них номерами от 1 до 10, причем все шары с четными номерами – белые. Из корзины наугад извлекают один шар. При этом событие В, состоящее в извлечении шара с четным номером, является благоприятствующим для события А, состоящее в извлечении белого шара, поскольку если в результате испытания извлечен шар с четным номером, то он обязательно белый. Следствие. Случайное событие называется благоприятствующим для события А, если при его наступлении наступает событие А. 6. Элементарными событиями (элементарными исходами) испытания называются все возможные результаты испытания, взаимно исключающие друг друга. Например, несовместные события А1, А2,… Аn, состоящие в выпадении соответственно в цифрах 1, 2,…n, при бросании игрального кубика, представляют собой элементарные события для данного испытания. 7. Случайные события А1, А2, ..., Ап называются равновозможными для данного испытания, если возможность наступления любого из этих событий одинакова в данном испытании. Например, элементарные события А1, А2,…Аn, состоящие в выпадении соответствующих цифрах 1, 2,…n, при бросании игрального кубика, являются равновозможными для для данного испытания, поскольку нет никаких оснований с большей уверенностью ожидать выпадения какой-либо одной грани игрального кубика, чем любой другой. 10.Классическое и статистическое определения вероятности, условия их использования. Классическое определение вероятности Вероятность Р(А) случайного события А определяется отношением количества m элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему количеству элементарных событий n: P(A) = m / n. Поскольку в общем случае 0 <= т <= n, то из формулы (1)следует, что вероятность произвольного случайного события определяется в интервале [0,1], т.е. 0 <=P(A) <=1 Статистическое определение вероятности Отношение числа испытаний m*, в которых наступило случайное событие А, к общему объему n* серии проведенных испытаний называется относительной частотой наступления данного события в этой серии испытаний и обозначается p*(A) p*(A)=m*/n* Число Рст(А), около которого группируются значения относительной частоты р*(А) наступления случайного события А при неограниченном возрастании количества испытаний, называется вероятностью события А в статистическом смысле. Pст(A) p*(A) Причем это приближенное равенство тем ближе к точному, чем больше объем серии испытаний, по результатам которой найдена соответствующая относительная частота р*(А) 11.Теоремы теории вероятностей, понятие условной вероятности, примеры вычисления вероятностей. 1. Теорема 1 - вероятность наступления случайного события А или несовместного с ним события В равна сумме вероятностей этих событий: Р(А или В) = Р(А) + Р(В) Пример. В коробке находятся 4 таблетки аспирина, 6 — анальгина и 5 - цитрамона. Наугад извлекается одна таблетка. Найти вероятность того, что будет извлечена таблетка аспирина или анальгина. Решение. Обозначим событием А – извлечение таблетки аспирина, событием В – извлечение таблетки анальгина. Общее число событий равно 15 – числу таблеток. Вероятность наступления события А в соответствии с формулой классической вероятности будет равна: P(A)=4 /15 Вероятность наступления события В равна: P(B) = 6/15 Данные события являются несовместными. Поэтому для нахождения искомой вероятности в соответствии с теоремой (1) следует сложить найденные вероятности: Р(А или В) = Р(А ) + Р( В) = 4/15 + 6/15 = 10/15 = 2/3. 2. Теорема 2 - сумма вероятностей наступления случайного события А и противоположного ему события A равна единице: Р(A) + Р(`А) = 1 Пример. К примеру, при однократном подбрасывании монеты вероятности выпадения герба или цифры будут одинаковы и равны 0,5. Выпадение цифры является событием, противоположным выпадению герба. Поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице. 3. Теорема 3 - вероятность наступления двух независимых случайных событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: Р (А и В)= Р(А) • Р(В) Пример. С помощью этой теоремы можно определить вероятность выпадения гербов на двух одновременно подбрасываемых монетах. Событие A, состоящее в выпадении герба у первой монеты, и событие В, состоящее в выпадении герба у второй монеты, являются взаимно независимыми. Вероятности каждого из этих событий равны 0,5. Согласно теореме умножения вероятностей получим: Р(А и В) = Р(А)*Р(В) = 0,5*0,5 = 0,25. 4. Теорема 4 - вероятность наступления случайного события А и зависимого от него события В равна произведению вероятности события А на условную вероятность события В: |