Математика. матан ш. Матан Понятие функции, свойства функций, способы задания функций. Взаимно
 Скачать 1.66 Mb.
|
|
Р(А и В) = P(A) • Р(В/А) Пример. В коробке лежат 5 белых и 10 черных шара. Из нее извлекают наугад один шар и, не возвращая его обратно, извлекают наугад еще один шар. Найти вероятность того, что оба извлеченных из коробки шара окажутся белыми. Решение. Пусть случайное событие А состоит в том, что первый извлеченный шар окажется белым, а случайное событие В, состоит в том, что второй извлеченный шар окажется белым. Событие В является зависимым от того, произойдет ли событие А или нет. Вероятность наступления события А в соответствии с классическим определением вероятности равна: P(A) = 5/15 = 1/3, поскольку всего в корзине 15 шаров, 5 из которых белые. В случае наступления события А в корзине останется 4 белых шара из четырнадцати и вероятность наступления события В равна P(В/A) = 4/14 = 2/7. Для определения вероятности того, что оба извлеченных шара окажутся белыми, применяется теорема умножения вероятностей для зависимых событий. В результате искомая вероятность оказывается равной: Р(А и В)= Р(А)*P( В/A) = 1/3*2/7 = 2/21 . Условная вероятность (два обозначения) - называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Формула на картинке 12.Формула полной вероятности и формула Байеса. Использование формулы Байеса. Если событие A может наступить только при появлении одного из несовместных событий (гипотез) H1, H2,..., Hn, то вероятность события A вычисляется по формуле полной вероятности: P(A) = P(A/H1)·P(H1) + P(A/H2)·P(H2) + ...+ P(A/Hn)·P(Hn) = см. картинку Формула Бейеса: см. картинку Формула Байеса дает возможность "пересмотреть" вероятность гипотез с учетом наблюдавшегося результата опыта. Пример. H1…Hn – предполагаемые диагнозы для данного пациента. А – симптом P(A/Hi) – условные вероятности проявления этого симптома при каждом диагнозе Hi При первичном осмотре больного предполагаются 3 диагноза: H1, H2, H3 Их вероятности распределяются так: P(H1)=0,5 P(H2)=0,17 P(H3)=0,33 На основании результатов исследований известно, что вероятности СЩЭ (событие А) при предполагаемых заболеваниях равны: P(A/H1)=0,1 P(A/H2)=0,2 P(A/H3)=0,9 Подсчитаем полную вероятность события А: P(A)=0,1*0,5+0,2*0,17+0,9*0,33=0,363 Найдем вероятности: P(H1/A)=0,1*0.5/0,363=0,138 P(H2/A)=0,09 P(H3/A)=0,77 Тогда расчет по формуле Бейеса дает значение вероятностей предполагаемых заболеваний при увеличенном значении СОЭ: P(H1/A)=0,13 P(H2/A)=0,09 P(H3/A)=0,7 13.Повторные независимые испытания, схема Бернулли. Формула Бернулли, использование формулы Бернулли. Повторными независимыми испытаниями называют испытания, удовлетворяющие следующим условиям: 1) Количество испытаний конечно; 2) Вероятность осуществления случайного события A в каждом из испытаний постоянна: P(A) = р = соnst. Подобная схема испытаний называется схемой Бернулли. Простейшим примером повторных независимых испытаний являются многочисленные повторные подбрасывания монеты, повторные извлечения наугад одного шара из корзины, содержащей по нескольку шаров различных цветов, при обязательном возвращении каждого шара в корзину после определения его цвета и т. д. Формула Бернули: см. картинку Пример. Принимая вероятность появления на свет мальчика при рождении ребенка равной 0.5, найти вероятность того, что в семье с 5 детьми 3 мальчика. Решение. Обозначим через A случайное событие, состоящее в рождении мальчика при появлении на свет каждого из 5 детей в данной семье. Поскольку вероятность появления мальчика при рождении каждого ребенка постоянна (р=0,5), то для решения задачи можно воспользоваться формулой Бернулли, в результате чего получим искомую вероятность: см. картинку 14.Повторные независимые испытания. Закон Пуассона, условия его использования. Повторными независимыми испытаниями называют испытания, удовлетворяющие следующим условиям: 1) Количество испытаний конечно; 2) Вероятность осуществления случайного события A в каждом из испытаний постоянна: P(A) = р = соnst. Закон Пуассона: см. картинку Данная формула является приближенной, однако получаемые с ее помощью результаты тем ближе к точным, чем больше количество испытаний n. Пример. Пусть известно, что при изготовлении некоторого препарата брак (количество упаковок, не соответствующих стандарту) составляет 5%. Оценить приближенно вероятность того, что среди 100 наугад выбранных упаковок окажутся три упаковки, не соответствующие стандарту. Решение. Поскольку стандарту не соответствуют 5% упаковок препарата, вероятность того, что наугад выбранная упаковка не соответствует стандарту (событие А), равна р =0,05, что значительно меньше единицы, поэтому событие А можно считать редким. Поскольку выбор каждой очередной упаковки можно рассматривать как независимое испытание и количество таких испытаний велико, причем произведение µ= пр = 100* 0,05 = 5, что меньше 10, то для приближенного вычисления вероятности того, что среди 100 наугад выбранных упаковок окажутся 3 упаковки, не соответствующие стандарту, можно воспользоваться формулой Пуассона, в результате чего получим: см картинку Статистика 15.Случайные величины, типы случайных величин. Закон распределения и числовые характеристики дискретной случайной величины (примеры). Функция распределения дискретной случайной величины. Случайные величины, типы случайных величин. Обобщенная классификация возможных типов случайных величин может быть представлена так: рис.1 Случайную величину называют дискретной или непрерывной в зависимости от того, в каком пространстве элементарных событий она определена — в дискретном (например, количество каких-либо неделимых объектов) или в непрерывном (например, масса, напряжение, сила тока и т.д.). В зависимости от своей природы, своего назначения дискретные случайные величины подразделяются на количественные, ординальные (или порядковые) и номинальные (или классификационные). Количественная случайная величина позволяет измерять степень проявления анализируемого свойства обследуемого объекта в определенной шкале (например, измерение роста, веса, численности и т.д.). Ординальная (порядковая) случайная величина позволяет упорядочивать обследуемые в ходе случайных экспериментов (наблюдений) объекты по степени проявления в них анализируемого свойства (например, возможны градации (категории качества): «плохое», «удовлетворительное», «хорошее» и «очень хорошее» или степень покраснения: «слабая», «сильная», «очень сильная» и т.д.). Приписав одну из градаций объекту, мы тем самым получаем возможность упорядочить обследованные объекты по этому свойству. Номинальная случайная величина позволяет разбивать обследуемые в ходе случайных экспериментов объекты на однородные по анализируемому свойству классы. Именно к таким признакам относятся случайные величины — социальная принадлежность семьи, тип болезни, тип лечебного учреждения, адрес, пол и т.д. Закон распределения дискретной случайной величины Законом распределения дискретной случайной величины xi называется соответствие между всеми возможными значениями этой случайной величины и соответствующими им вероятностями P(xi). Способы задания закона распределения: 1) Табличный - в виде двухстрочной таблицы, в первой строке которой перечислены все возможные значения этой величины (в порядке возрастания), а во второй - соответствующие этим значениям вероятности рис.2 2) Графический: ось Y- P(xi), ось X- xi рис.3 3) Аналитический - с помощью формулы, позволяющей для каждого возможного значения этой величины определить соответствующую вероятность. P(xi)=x 2 *0.01 Пример: биномиальный закон распределения определяет случайную величину X как количество появлений некоторого случайного события А в серии из конечного количества п независимых повторных испытаний, т.е. испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли. Вероятность каждого возможного значения величины X (X1= 0; x2 = 1; x3 = 2; ...xn+1 = n) рассчитывают по формуле: рис.4 где р — вероятность наступления, a q = 1 — р — вероятность ненаступления события А в каждом из испытаний. Например, закон распределения случайной величины X, определяемой как число мальчиков в семье с пятью детьми, если вероятность появления мальчика при рождении каждого ребенка принимается равной 0,5, может быть задан формулой: P5(X) = n! / ( X! (5-X)! )• 0,5X 0,55 -X , Пользуясь этой формулой, можно для каждого возможного значения величины X (х1 = 0; х2=1; х3= 2; ... x6 = 5 ) найти соответствующие вероятности и при необходимости представить их в виде таблицы. Можно построить график закона распределения Бернулли (зависимости Рп(х) для конкретных значений n и p. Так как аргумент x принимает лишь целые значения, график представляется в виде точек на плоскости (х,Рп(х)). Для наглядности точки соединяются ломаной линией, и такой график называется полигоном распределения. рис.5 При р = 0,5, как показано на рисунке 9, полигон симметричен относительно прямой x=np (если p близко к 0,5, то полигон близок к симметричному). При малых p полигон существенно асимметричен, и наивероятнейшими являются частоты, близкие к нулю. На рисунке 10 изображен полигон распределения для p=0,2 при числе испытаний n, равном 6. рис.6 При больших p, близких к 1, наиболее вероятны максимальные значения. На рисунке 11 показан полигон распределения, для p = 0,8 и n = 6. рис.7 Другим примером может являться распределение Пуассона, используемое для задания случайной величины X, определяемой как количество появлений некоторого редкого случайного события A (Р(A) = р<<1) в серии из большого конечного количества n независимых повторных испытаний, причем произведение m = nр<10. При этом вероятность каждого из возможных значений величины: X (х1 =0; х2 = 1; х3 = 2; ... хn+1, = n) приближенно рассчитывают по формуле Пуассона: рис.8 Основные числовые характеристики дискретной случайной величины Математическим ожиданием М(X) (часто используется также обозначение «m») дискретной случайной величины X называется сумма произведений каждого из всех ее возможных значений на соответствующие вероятности: рис.9 где индекс i принимает значения 1, 2, 3, ...,n. Пример 1.7. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины X, определяемой как количество студентов в наугад выбранной группе, используя данные табл. 1.3. Решение. Подставляя данные табл. 1.3 в формулу (1.13), получим: m = 8 • 0,2 + 9 • 0,1 + 10 • 0,3+ 11 • 0,2+ 12 • 0,2= 10,1. Свойства математического ожидания: 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной величине: М(С)=С. 2. Математическое ожидание произведения постоянного множителя на дискретную случайную величину равно произведению этого постоянного множителя на математическое ожидание данной случайной величины: M(kX) = k • М(Х). 3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин: M(X + Y)= M(X) + M(Y). Дисперсией D(X) (часто используется также обозначение «s2») дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания: D(X) = s2 = M ( X - m )2. Следует, однако, отметить, что на практике дисперсию часто удобнее вычислять по формуле D(X) = s2 = M( X2) - m2 Пример 1.8. Вычислить дисперсию дискретной случайной величины X, определяемой как число студентов в наугад выбранной группе, используя данные табл. 1.3, а также результаты примера 1.7. Решение. Используя данные, приведенные в табл. 8.3, вычислим сначала математическое ожидание величины X2: М (X2} = S хi2 рi = х12 p1 + х22 р.2 + ... хn2 рn, = 64 • 0,2 + 81 • 0,1 + 100 • 0,3 + 121 • 0,2 + 144 • 0,2 = =103,9. Подставляя это значение, а также найденное в примере 1.7 значение математического ожидания в формулу (8.15), получим: s2 = 103,9 - 10,12 = 1,89. Свойства дисперсии: 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(C) = 0 . 2. Дисперсия произведения постоянного множителя k на дискретную случайную величину равна произведению квадрата этого постоянного множителя на дисперсию данной случайной величины: D(kX ) = k2 • D(X). Средним квадратичным отклонением дискретной случайной величины называется квадратный корень из ее дисперсии: s(X)= Пример 1.9. Вычислить среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины X, определяемой как число студентов в наугад выбранной группе (см. пример 1.6), используя результаты примера 1.8. Решение. Подставляя величину дисперсии, найденную в примере 1.8, в формулу (1.16), найдем искомое среднее квадратичное отклонение: s (Х) = Ö 1,89 » 1,37. Математическое ожидание M биномиального распределения равно: M = n · p, где n — число испытаний, p — вероятность появления события A. Среднеквадратичное отклонение σ: σ = sqrt (n · p · (1 – p)). Пример. Дискретная случайная величина X задана законом распределения: Найти: числовые характеристики СВ: M (X ),D(X ),s. Решение. Построим многоугольник распределения данной случайной величины. рис.10 Функция распределения дискретной случайной величины F(x)=P(X представления. Функция распределения случайной величины (она же интегральная функция распределения вероятностей) – показывает вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x: Для дискретной случайной величины функция распределения вычисляется для каждого значения x как сумма вероятностей, соответствующих всем предшествующим значениям случайной величины. рис.11 Например: для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид: рис.12 Свойства_функции_распределения'>Свойства функции распределения: 1) она ограничена 0 £ F(x) £1 2) она возрастающая 3) она в любой точке непрерывна слева 16. Случайные величины, типы случайных величин. Непрерывные случайные величины (примеры). Функция и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и их свойства. В отличие от дискретной величины непрерывную случайную величину невозможно задать в виде таблицы ее закона распределения, поскольку невозможно перечислить и выписать в определенной последовательности все ее значения, а также потому, что вероятность любого конкретного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Одним из возможных способов задания непрерывной случайной величины является использование с этой целью соответствующей функции распределения. Определение. Функция F(x), равная вероятности того, что случайная величина X в результате эксперимента примет значение, меньшее х, называется функцией распределения данной случайной величины: F(x)=P(X Функцией распределения непрерывной случайной величины Х называется функция F(x), определяющая вероятность того, что случайная величина X принимает значение меньшее х: F(x) = P(X Свойства функции распределения непрерывной случайной величины 1. Функция распределения является ограниченной функцией: 0 F(x) 1. 2. Функция распределения является неубывающей функцией, т. е. для х2 > x1 F(x2) F( x1). 3. Функция распределения стремится к 0 при стремлении аргумента x — > - и стремится к 1 при стремлении x к + График функции распределения случайной величины расположен в бесконечной полосе, ограниченной прямыми линиями F(x= - )= 0 и F(x= + )= 1 и имеет вид, как на рис.1 Следствие 1. Вероятность того, что значение непрерывной случайной величина Х находится в интервале (а,b), равна приращению функции распределения на этом интервале: Р(а<Х Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет определенное значение с, равна нулю: Р(Х=с) = 0. Плотностью распределения вероятностей (плотностью вероятности) f(x) непрерывн ой случайной величины X называется производная функции распределения F(x) этой ве личины: f(x) = F'(x). Функция распределения F(x) является первообразной для плотности вероятности f(x). Пусть T – время безотказной работы прибора. Случайная величина T имеет показательный закон распределения. Функция распределения F(t)= P(T Пример 1. В вазе лежат четыре яблока и пять груш. Ребенок взял три фрукта. Найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию числа груш среди взятых ребенком фруктов. Решение. Пусть СВ X – число груш среди взятых ребенком фруктов. СВ принимает значения0, 1, 2, 3 иимеет гипергеометрическийзаконраспределения. Таблица распределения имеет вид: Пример 2. В некоторой популяции 30% людей имеют голубые глаза. Найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию числа голубоглазых людей среди двух случайно отобранных человек из этой популяции. Какова вероятность того, что пять случайно отобранных человека имеют голубые глаза? Решение.ПустьСВ X – числоголубоглазыхлюдейсредидвухотобранных. СВ принимает значения 0, 1, 2 и имеет биномиальный закон распределения. Таблица распределения имеет вид: |