маткад. МИМЭП_лаб_практикум в Mathcad. Математическое и имитационное моделирование экономических процессов
 Скачать 4.96 Mb.
|
|
1.4. Предельные (маржинальные) и средние значения производственной функции Производительность ресурса. Пусть задана ПФ ) x , x ( f ) x ( f y 2 1 = = Выражение i i x ) x ( f A = (1.3) называется средней производительностью i -го ресурса (фактора производства) (СПФ) или средним выпуском по i -му ресурсу (фактору производства). Средние производительности K y и L y основного капитала и труда называют капиталоотдачей (фондоотдачей) и производительностью труда соответственно. Обратные дроби y K f = и y L t = называются соответственно капиталоемкостью и трудоемкостью выпуска. Предельной (маржинальной) производительностью i -го ресурса (или предельным выпуском по i -му ресурсу) называют первую частную производную ) 2 , 1 i ( x ) x ( f M i i = ∂ ∂ = . При малых i x ∆ имеем приближенное равенство 2 , 1 i x ) x ( f x ) x ( f M i i i i = ∆ ∆ ≈ ∂ ∂ = (1.4) Следовательно, i M показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска y , если объем затрат i x i . -го ресурса вырастает на одну единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса. Эластичность. 2 , 1 i x ) x ( f ) x ( f x A M E i i i i i = ∂ ∂ = = - отношение предельной производительности i M i -го ресурса к его средней производительности i A называется эластичностью выпуска по i -му ресурсу. Сумма x 2 1 E E E = + называется эластичностью производства. Для эластичности приближенно можно записать i i i i i i x x / ) x ( f ) x ( f A M E ∆ ∆ = = 9 т.е i E приближенно показывает, на сколько процентов увеличится выпуск y , если затраты i -го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса. Предельная норма замены (замещения) ресурсов. Пусть ) x ( f y = - ПФ. Предельной нормой замены (замещения) i -го ресурса (фактора производства) j -м называется выражение ) 2 , 1 j , i ( 0 x / f x / f x x R j i i j ij = > ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ − = (1.5) при постоянной y Для двухфакторной ПФ справедливо равенство 1 2 2 1 12 x E x E R = , (1.6) т.е. предельная норма замены первого ресурса вторым равна отношению эластичностей выпуска по первому и второму ресурсам, умноженному на отношение объема второго ресурса к объему первого ресурса. Если K x 1 = , L x 2 = , то норма замены основного капитала трудом равна отношению эластичностей выпуска по основному капиталу и труду, поделенному на капиталовооруженность труда. Заменяя бесконечно малые приращения i dx на конечные i x ∆ , можно приближенно записать выражение для предельной нормы замещения ресурсов (для двухфакторной ПФ) 1 2 12 x x R ∆ ∆ − ≈ (1.7) На основании (5) предельная норма замены ресурсов 12 R (приближенно) показывает, на сколько единиц надо увеличить затраты второго ресурса (при неизменном выпуске a y = ), если затраты первого ресурса уменьшатся на одну единицу. Эластичность замещения ресурсов.Эластичностью замещения ресурсов называется выражение i i j j i i j j i j ij x / x x / x x / dx x / dx x ln d x ln d E ∆ ∆ − ≈ − = − = (1.8) Эластичность замещения i -го ресурса j -ым ресурсом приближенно показывает, на сколько процентов нужно увеличить j -ый ресурс при уменьшении i -го ресурса на 1%, для того, чтобы объем выпуска продукции не изменился. 1.5. Доход Пусть дана ПФ Кобба – Дугласа 2 a 1 a 0 L K a y = и 1 a a 2 1 = + . Можно показать, что 10 L L y K K y y ∂ ∂ + ∂ ∂ = (1.9) Если считать, что общество состоит только из работников и предпринимателей, а функция y представлена в стоимостном выражении (доход от продажи продукции), то весь доход (6) распадается на две части, которые можно назвать доходом предпринимателя (предельная фондоотдача, или норма прибыли, умноженная на объем фондов) и доходом работников (предельная производительность труда, умноженная на количество трудовых ресурсов). Аналогичный результат можно получить и для линейной ПФ, у которой 0 a 0 = 1.6. Примеры выполнения заданий в Mathcad Пример 1.1. Зависимость количества выпускаемых холодильников y от затрачиваемого рабочего времени L (у.е.) имеет вид b L a y ⋅ = , где 5 0 b , 50 a = = Построить график функции ) L ( y и ее производной. Рассчитать предельную и среднюю производительность труда ( M и A ) и трудоемкость ( y L A 1 t = = ) выпуска, а также эластичность выпуска E по труду. Решение 11 Рис 1.1а. Рис. 1.1б Из рисунка 1.1а следует: 1) С ростом затрат рабочего времени L объем выпуска продукции растет. 12 2) Предельная производительность труда M с увеличением затрат рабочего времени L убывает. Это является отражением закона убывающей эффективности: каждая дополнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема выпускаемой продукции. 3) Средняя производительность труда A также убывает с ростом L, оставаясь выше предельной производительности труда. Рис. 1.1б показывает, что с ростом трудовых затрат трудоемкость продукции возрастает. Пример 1.2. Выпуск автомобилей в зависимости от количества работающего оборудования дан в таблице Период Количество работающего оборудования, у.е. Объем выпуска автомобилей Шт. 1 - ый год 2 – ой год 3 –ий год 4 – ый год 1 2 3 4 150 198 233 261 Построить производственную функцию и рассчитать основные ее характеристики. Решение. В качестве модели ПФ возьмем функцию b K a y ⋅ = (1.10) Параметры модели найдем с помощью метода наименьших квадратов. Предварительно преобразуем эту функцию с помощью операции логарифмирования. Получим v b c z ⋅ + = , (1.11) где K ln v , y ln z = = Запишем невязку для модели (1.11) ∑ = ⋅ − − = 4 1 i 2 i i ) v b c z ( F (1.12) Параметры c и b будем искать из условия минимума невязки (9). Необходимое условие минимума (1.12) – это равенство нулю частных производных по c и b . В результате получим систему линейных уравнений относительно c и b : ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = 4 1 i 2 i 4 1 i i i 4 1 i i 4 1 i i 4 1 i i v b v c v z , v b c 4 z или в матричном виде g x A = ⋅ , (1.13) 13 где = ∑ = ∑ = ∑ = 4 1 i 2 i 4 1 i i 4 1 i i v v v 4 A , = ∑ = ∑ = 4 1 i i i 4 1 i i v z z g Решаем систему (1.13), находим c и b , затем параметр c e a = . Вычисления проводим с помощью математического пакета Mathcad. b 0.4 = a 150.039 = b x 2 := a exp x 1 ( ) := x lsolve A g , ( ) := g 21.314 17.368 = A 4 3.178 3.178 3.609 = g 2 z v ⋅ := v1 0 0.48 1.207 1.922 = g 1 z ∑ := A 2 2 , v1 ∑ := A 2 1 , A 1 2 , := A 1 2 , v ∑ := A 1 1 , 4 := v1 v 2 → := z 5.011 5.288 5.451 5.565 = v 0 0.693 1.099 1.386 = z ln y ( ) → := v ln K ( ) → := y 150 198 233 261 := K 1 2 3 4 := Таким образом, получили ПФ 4 0 K 150 y ⋅ = . Исследования полученной ПФ проводим, также как в примере 1.1. Параметры ПФ функции можно получить также с помощью встроенных в Mathcad опций. Одной из таких опций является поиск параметров линейной регрессии x b a y ⋅ + = . Для этого предусмотрены две функции ) y , x ( ercept int - возвращает значение параметра a (свободный член прямой регрессии; ) y , x ( slope - возвращает значение параметра b (угловой коэффициент линии регрессии) 14 K 1 2 3 4 := y 150 198 233 261 := v ln K ( ) → := z ln y ( ) → := v 0 0.693 1.099 1.386 = z 5.011 5.288 5.451 5.565 = c interceptv z , ( ) := b slopev z , ( ) := a expc ( ) := a 150.039 = b 0.4 = f x ( ) a x b ⋅ := i 1 4 := 0 2 4 6 8 10 0 100 200 300 400 y i f x ( ) K i x , Другой опцией является поиск параметров нелинейной регрессии общего вида ) pn ,..., 2 p , 1 p , x ( F , где pn ..., , 2 p , 1 p - параметры модели. В нашем случае имеем модель b x a ) b , a , x ( Y ⋅ = . Для проведения нелинейной регрессии общего вида используется следующая функция: ) Y , vs , y , x ( genfit - возвращает вектор p параметров функции Y , дающий минимальную среднеквадратичную погрешность описания исходных данных функцией Y , заданных векторами x и y Y должен быть вектором с символьными элементами, причем они должны содержать аналитические выражения для исходной функции и ее производных по всем параметрам. Вектор vs должен содержать начальные значения элементов вектора p , необходимые для решения системы нелинейных уравнений регрессии итерационным способом. 15 K 1 2 3 4 := y 150 198 233 261 := Y x a , b , ( ) a x b ⋅ := a Y x a , b , ( ) d d x b → b Y x a , b , ( ) d d a x b ⋅ ln x ( ) ⋅ → Y1x p , ( ) p 1 x p 2 x p 2 p 1 x p 2 ⋅ ln x ( ) ⋅ := vs 10 0 := z genfitK y , vs , Y1 , ( ) := z 150.082 0.4 = a z 1 := b z 2 := G x ( ) Y1x z , ( ) 1 := a 150.082 = b 0.4 = i 1 4 := 0 5 10 0 200 400 y i G x ( ) K i x , Пример 1.3 Объем выпускаемой продукции в стоимостном выражении определяется через объем трудовых ресурсов и объем основных фондов формулой Кобба – Дугласа 4 0 5 0 L K 1000 Y ⋅ ⋅ = (тыс. руб.) • Построить график ПФ как функции K при фиксированных значениях 50 , 40 , 30 L = тыс. руб. • Построить график ПФ как функции L при фиксированных значениях 200 , 150 , 100 K = тыс. руб. • Рассчитать характеристики ПФ: предельные и средние производительности i i A , M ресурсов, эластичности выпуска по труду L E и по капиталу K E , капиталоемкость K A / 1 f = и трудоемкость выпуска L A / 1 t = • Построить изокванты 38980 Y = руб. и 50000 Y = • Рассчитать капиталовооруженность труда L / K k = • Вычислить предельную норму замещения ресурсов LK R , KL R и эластичность замещения ресурсов LK E , KL E Дать экономическую интерпретацию полученным результатам. Построим трехмерный график ПФ 16 Сечения ПФ по K Сечения ПФ по L 17 Расчет характеристик ПФ 18 Дадим краткий комментарий полученным результатам: Двухмерная ПФ определена в первом квадранте и является выпуклой вверх по обеим переменным функцией; С увеличением объема ресурсов объем производства растет При фиксированных значениях объема одного из ресурсов зависимость ПФ от второго ресурса является возрастающей по второму ресурсу, при этом чем больше значение фиксированного ресурса, тем выше кривая на графике Предельная и средняя производительности ресурсов являются убывающими функциями своих ресурсов, что отражает экономический закон убывающей эффективности производства. Средняя производительность выше предельной. Капиталоемкость и трудоемкость выпуска продукции возрастают с ростом затрат ресурсов Построим изокванты и рассчитаем капиталовооруженность труда, предельную норму и эластичность замещения труда капиталом Экономический анализ полученных результатов. Изокванта (или линия уровня) является убывающей функцией своего аргумента, т. е. при уменьшении затрат одного ресурса для сохранения объема производства необходимо увеличить затраты второго ресурса. Чем выше объем производства, тем выше график изокванты Капиталовооруженность труда уменьшается с увеличением затрат труда Предельная норма замещения труда капиталом уменьшается с ростом объема труда. Чем выше объем производства, тем выше график кривой предельной нормы замены труда капиталом Эластичность замещения труда капиталом не зависит от затрат труда Пример 1.4 19 В таблице приведены значения объема выпуска для различных значений затрат ресурсов L K 50 60 70 80 10 31.518 35.162 38.569 41.786 20 41.589 46.396 50.892 55.138 30 48.912 54.566 59.854 64.846 40 54.877 61.220 67.153 72.754 Найти параметры ПФКД: β α ⋅ ⋅ = L K a Y Решение Поиск параметров β α, , a с помощью пакета Mathcad можно выполнить двумя способами: 1) Путем проведения многомерной регрессии между объемом производства и затратами ресурсов. Для этого предварительно логарифмируем исходные данные, что эквивалентно переходу от нелинейной ПФ к линейной ) L ln( ) K ln( ) a ln( ) Y ln( ) , , a ( Z ⋅ β + ⋅ α + = = β α Для проведения многомерной регрессии используется функция ) n , Vz , Mxy ( regress - возвращает вектор искомых параметров регрессии. Mxy - матрица 2 m ⋅ , содержащая координаты x и y Vz - m -мерный вектор, содержащий значения функции, соответствующие переменным x и y 2) Путем минимизации невязки ∑ = ∑ = → ⋅ β − ⋅ α − − = n 1 i m 1 j 2 j i ij min ) y x c Z ( F , где ) L ln( y ), K ln( x ), a ln( c ), Y ln( Z = = = = ; 4 n = - число значений аргумента x ; 4 m = - число значений аргумента y Минимизация невязки эквивалентна решению системы линейных уравнений относительно искомых параметров β α, , c : g p A = ⋅ , Здесь вектор ) , , c ( p β α = - искомый вектор параметров ПФ; ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = ⋅ ⋅ = n 1 i m 1 j j ij n 1 i n 1 i m 1 j i ij m 1 j ij ) y Z , x Z , Z ( g - вектор правой части ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = m 1 j 2 j n 1 i i m 1 j j m 1 j j n 1 i i m 1 j j n 1 i 2 i n 1 i i m 1 j j n 1 i i y n x y y n x y x m x m y n x m m n A - матрица системы Рассчитаем параметры первым способом 20 XY 10 10 10 10 20 20 20 20 30 30 30 30 40 40 40 40 50 60 70 80 50 60 70 80 50 60 70 80 50 60 70 80 := Y 31.518 35.162 38.569 41.786 41.589 46.396 50.892 55.138 48.912 54.566 59.854 64.846 54.877 61.220 67.153 72.754 := Mxy ln XY ( ) → := Vz ln Y ( ) → := Vs regressMxyVz , 1 , ( ) := Vs 3 3 1 0.4 0.6 0.182 = α Vs 4 := β Vs 5 := a expVs 6 ( ) := a 1.2 = α 0.4 = β 0.6 = Ответ: 6 0 ; 4 0 ; 2 1 a = β = α = 6 0 4 0 L K 2 1 Y ⋅ ⋅ = Проведем расчет параметров ПФ вторым способом. Ответ: 6 0 , 4 0 , 2 1 a = β = α = g 1 v ∑ := b 1 y 1 Z 1 〈 〉 ∑ ⋅ := b 2 y 2 Z 2 〈 〉 ∑ ⋅ := b 3 y 3 Z 3 〈 〉 ∑ ⋅ := b 4 y 4 Z 4 〈 〉 ∑ ⋅ := g 3 b ∑ := ZT Z T := d 1 x 1 ZT 1 〈 〉 ∑ ⋅ := d 2 x 2 ZT 2 〈 〉 ∑ ⋅ := d 3 x 3 ZT 3 〈 〉 ∑ ⋅ := d 4 x 4 ZT 4 〈 〉 ∑ ⋅ := g 2 d ∑ := g 62.667 195.821 260.941 = A 16 49.554 66.548 49.554 157.809 206.104 66.548 206.104 277.278 = p lsolve A g , ( ) := a exp p 1 ( ) := α p 2 := β p 3 := a 1.2 = α 0.4 = β 0.6 = Y 31.518 41.589 48.912 54.877 35.162 46.396 54.566 61.220 38.569 50.892 59.854 67.153 41.786 55.138 64.846 72.754 := K 10 20 30 40 := L 50 60 70 80 := Z ln Y ( ) → := A 1 1 , 16 := x ln K ( ) → := y ln L ( ) → := A 1 2 , 4 x ∑ ⋅ := A 1 3 , 4 y ∑ ⋅ := A 2 1 , 4 x ∑ ⋅ := x1 x 2 → := A 2 2 , 4 x1 ∑ ⋅ := A 2 3 , x ∑ y ∑ ⋅ := A 3 1 , 4 y ∑ ⋅ := A 3 2 , x ∑ y ∑ ⋅ := y1 y 2 → := A 3 3 , 4 y1 ∑ ⋅ := v 1 Z 1 〈 〉 ∑ := v 2 Z 2 〈 〉 ∑ := v 3 Z 3 〈 〉 ∑ := v 4 Z 4 〈 〉 ∑ := |