маткад. МИМЭП_лаб_практикум в Mathcad. Математическое и имитационное моделирование экономических процессов
 Скачать 4.96 Mb.
|
|
1.7. Варианты заданий лабораторной работы №1 Задание 1. Построить графики Пф и их сечений (для двухфакторных ПФ). Задание 2. Рассчитать характеристики ПФ и построить их графики. Задание 3. Дать экономическую интерпретацию Варианты Однофакторные ПФ b x a y ⋅ = Двухфакторные ПФ β α L K a Y ⋅ ⋅ = 1 3 0 b ; 140 a ; L x = = = 6 0 ; 4 0 ; 1000 a = = = β α 2 5 3 0 b ; 100 a ; L x = = = 4 0 ; 45 0 ; 1500 a = = = β α 3 6 0 b ; 200 a ; K x = = = 6 0 ; 3 0 ; 5 a = = = β α 4 9 0 b ; 250 a ; K x = = = 8 0 ; 2 0 ; 100 a = = = β α 5 85 0 b ; 150 a ; K x = = = 55 0 ; 45 0 ; 150 a = = = β α 6 1 0 b ; 90 a ; L x = = = 5 0 ; 5 0 ; 200 a = = = β α 7 15 0 b ; 35 a ; L x = = = 6 0 ; 2 0 ; 1 a = = = β α 8 5 0 b ; 1000 a ; L x = = = 7 0 ; 15 0 ; 3 a = = = β α 9 3 0 b ; 1 a ; K x = = = 45 0 ; 45 0 ; 300 a = = = β α 10 35 0 b ; 10 a ; L x = = = 4 0 ; 6 0 ; 350 a = = = β α 11 25 0 b ; 15 a ; K x = = = 2 0 ; 6 0 ; 8 a = = = β α 12 7 0 b ; 20 a ; L x = = = 8 0 ; 2 0 ; 10 a 4 = = = β α 13 4 0 b ; 30 a K x = = = 3 0 ; 3 0 ; 10 a 3 = = = β α 14 3 0 b ; 1000 a ; L x = = = 2 0 ; 2 0 ; 750 a = = = β α 15 3 0 b ; 240 a ; K x = = = 2 0 ; 6 0 ; 800 a = = = β α Задание 4. По заданным значениям параметров b , a рассчитать однофакторную ПФ y для пяти значений аргумента x и сформировать два массива: x и y . Рассматриваем полученные массивы как входные данные. Используя эти массивы данных вычислить параметры b , a модели b x a y ⋅ = тремя способами: а) методом наименьших квадратов, предварительно линеаризовав ПФ; б) с помощью линейной регрессии; в) с помощью нелинейной регрессии. Задание 5. По заданным значениям параметров β α, , a рассчитать двухфакторную ПФ Y для пяти значений ресурсов K и L и сформировать три массива: K , L и Y . Рассматриваем полученные массивы как входные данные. Используя эти массивы данных вычислить параметры β α, , a модели β α L K a Y ⋅ ⋅ = двумя способами: а) методом наименьших квадратов, предварительно линеаризовав ПФ; б) с помощью линейной многомерной регрессии. 22 2. Лабораторная работа №2. Функция полезности 2.1. Множество благ Пусть на рынке благ индивидуальному потребителю предлагается n различных благ. Под набором благ будем понимать совокупность неотрицательных чисел 1 ,..., n x x , где j x – количество j -го блага ( 0, 1,..., j x j n ≥ = ). Такой набор неотрицательных чисел можно рассматривать как n -мерный вектор 1 ( ,..., ) n x x x = благ. Всевозможные наборы благ образуют множество благ { } 1 ( ,..., ); 0, 1,..., n n j R x x x x j n = = ≥ = , (2.1) которое геометрически представляет собой неотрицательный ортант n -мерного пространства. Для каждого блага j заданы ограничения min max , 1,..., j j j x x x j n ≤ ≤ = (2.2) Пусть у потребителя имеется ограниченное количество денежных средств M (доход), которые он может использовать для приобретения благ. Введем вектор цен благ 1 2 ( , ,..., ) n p p p p = ( 0, 1,..., j p j n ≥ = ). Тогда стоимость набора благ равна 1 n T j j j p x p x = = ∑ Стоимость набора благ для потребителя не превосходит его дохода M , т.е. 1 n j j j p x M = ≤ ∑ (2.3) Неравенство (2.3) называют бюджетным ограничением. Неравенство (2.3) вместе с неравенством (2.2) определяет множество K доступных наборов благ на рынке товаров и услуг. В силу наличия бюджетного неравенства (2.3) множество K всегда будет ограниченным множеством n R . При этом множество K доступных благ может быть одним из трех: 1) пустое множество, т.е. при имеющемся доходе M и ценах 1 2 ( , ,..., ) n p p p p = потребитель не может приобрести на рынке даже минимального набора благ и можно сказать, что в этом случае он живет за чертой бедности; 2) частичное множество, т.е. потребителю доступны не все наборы благ при имеющемся доходе M и установившихся ценах p на рынке благ; 3) полное множество, т.е. потребитель настолько богат, что ему доступен любой набор благ при его доходе и действующих ценах. Таким образом, множество K доступных благ является выпуклым множеством, определяемым системой неравенств 23 min 1 , j j x x j J ≥ ∈ , max 2 , j j x x j J ≤ ∈ , 1 n j j j p x M = ≤ ∑ , (2.4) где 1 2 , J J – некоторые подмножества множества { } 1, 2,..., J n = Пример 2.1. Пустьзаданы два блага 1 x и 2 x . Известно: спрос min (1,5) T x = , предложение max (5,10) T x = , вектор цен (10, 20) T p = . При каком доходе M потребителя доступное множество благ будет: а) пустым; б) полным. Рис. 2.1а. Результаты решения примера 2.1. Пустое доступное множество благ ( 110 M = д.е.) 24 Рис. 2.1б. Результаты решения примера 2.1. Полное доступное множество благ ( 250 M = д.е.) 2.2. Функция полезности и ее свойства Рассмотрим вопрос о выборе набора благ. Каждое благо должно удовлетворять ту или иную потребность. Способность удовлетворять ту или иную потребность на- зывают полезностью блага. Функция 1 ( ) ( ,..., ) n u x u x x = , определенная на неотрицательном ортанте n R (или некотором n G R ⊂ ), называется функцией полезности, соответствующей отношению предпочтения ≥ , если ( ) ( ) u x u y ≥ , тогда и только тогда, когда x y ≥ , причем если ( ) ( ) u x u y = , то x y ∼ и обратно, если x y ∼ , то ( ) ( ) u x u y = . Функция полезности ( ) u x , по существу, представляет систему предпочтений потребителя. Основное ее свойство в том, потребитель предпочитает выбирать x , а не y , если ( ) ( ) u x u y > , она упорядочивает наборы по предпочтению их друг другу. Отсюда следует, что потребитель при выборе набора благ стремится максимизировать свою функцию полезности. В таблице 2.1 приведены четыре типа функции полезности. Рассмотрим некоторые общие свойства функции полезности. 1) Функция полезности и дважды дифференцируема и строго выпукла. 25 2) Функция полезности не насыщена. Свойство ненасыщаемости состоит в том, для любых заданных двух наборов , N x y R + ∈ соотношение x y ≥ влечет ( ) ( ) u x u y ≥ , а соотношения x y ≥ и x y ≠ влекут ( ) ( ) u x u y > . Значит, функция полезности является возрастающей по любому ее аргументу, т.е. ( ) 0, 1, , n j u x j n x R x + ∂ > ∀ = ∈ ∂ 3) 0 lim , lim 0, 1,..., j j x x j j u u j n x x → →∞ ∂ ∂ = ∞ = = ∂ ∂ Таблица 2.1 Тип функции полезности Функция полезности Ограничения Логарифмич- есчкая 1 ( ) ln n j j j u x a x = = ∑ 0, 1, 1,..., j j a x j n > > = Мультиплика- тивная 1 ( ) j n j j u x a x α = = ∏ 0 1, 0, 1,..., , 0. j j x j n a < α < > = > Аддитивная 1 ( ) j n j j j u x x β = = α ∑ 0 1, 0, 0, 1,..., . j j j x j n < β < > α > = Квадратичная 1 1 1 1 ( ) 2 n n n j j ij i j j i j u x a x b x x = = = = + ∑ ∑∑ 1 0, 1, n j ij i i a b x j n = + > = ∑ 0 B < (отрицательно определена) Уравнению ( ) u x c = , где c – константа, соответствует определенная по- верхность равноценных (одинаковой полезности) наборов благ (множество безразличия), и наоборот, каждому множеству безразличия соответствует некоторая поверхность, определяемая уравнением ( ) u x c = . Эти поверхности называют поверхностями безразличия. В случае двух благ, т.е. в 2 R их называют кривыми безразличия. Пример 2.2. Построить графики функций полезности, приведенных в таблице 2.1 при 2 n = 26 Рис. 2.2а. Функции полезности 2 1 ( ) ln j j j u x a x = = ∑ и 1 2 1 2 ( ) u x a x x α α = ⋅ 27 Рис. 2.2б. Функции полезности 2 1 ( ) j j j j u x x β = = α ∑ и 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 2 j j ij i j j i j u x a x b x x = = = = + ∑ ∑∑ Пример 2.3. Построить кривые безразличия для функции полезности и а) 1 2 1 2 1 2 ( , ) u x x x x β β = α ⋅ + α ⋅ ; б) 3 1 2 1 2 3 1 2 3 ( , , ) u x x x x x x β β β = α ⋅ + α ⋅ + α ⋅ Рис. 2.3а. Кривые безразличия для функции полезности 1 2 1 2 1 2 ( , ) u x x x x β β = α ⋅ + α ⋅ 28 Рис. 2.3б. Кривые безразличия для функции полезности 3 1 2 1 2 3 1 2 3 ( , , ) u x x x x x x β β β = α ⋅ + α ⋅ + α ⋅ 2.3. Предельная полезность и предельная норма замещения благ В теории потребительского выбора большую роль играют предельные полезности благ, которые выражают дополнительное удовлетворение от потребления одной дополнительной единицы блага. Математически этот факт описывается частными производными функции полезности. Величина 0 j j u x ∆ > ∆ показывает изменение полезности на дополнительную единицу j -го блага. Переходя к пределу, получим 0 lim 0 j j x j j u u x x ∆ → ∆ ∂ = ≥ ∆ ∂ . Частная производная j u x ∂ ∂ называется предельной полезностью j -го блага. Рассмотрим вопрос о взаимозаменяемости благ. Пусть объемы потребляемых благ изменились соответственно на малые величины 1 2 , ,..., n x x x ∆ ∆ ∆ . Тогда полным приращением полезности является величина 1 2 1 2 n n u u u u dx dx dx x x x ∂ ∂ ∂ ∆ ≈ + + + ∂ ∂ ∂ – полный дифференциал функции полезности. Пусть уровень полезности не изменяется, т.е. изменение набора благ происходит так, что сохраняется одна и та же поверхность безразличия 29 1 ( ,..., ) n u x x c = . Предположим, что количество всех благ, кроме k -го и l -го, которые взаимозаменяемы, не изменяются. Тогда получим 0 k l k l u u dx dx x x ∂ ∂ + = ∂ ∂ Отсюда имеем / / k k l kl l l k dx x u x n dx x u x ∆ ∂ ∂ = = = − ∆ ∂ ∂ Величина k kl l x n x ∆ = ∆ называется коэффициентом (нормой) предельной эквивалентной замены благ, который обратно пропорционален отношению предельных полезностей этих благ, взятому с обратным знаком. Поскольку 0, 1, l u j n x ∂ > = ∂ , то 0 kl n < , т.е. увеличение потребления одного блага вызывает уменьшение другого для сохранения одного и того же уровня полезности. Изучение изменения нормы предельной заменяемости одних благ другими играет важную роль при изучении закономерностей потребления: если потребность в определенном благе удовлетворяется незначительно, то относительная полезность этого блага по отношению к другим для сохранения одного и того же уровня полезности высока. Рассмотрим теперь смысл вторых частных производных функции полезности. Вторые частные производные 2 i j u x x ∂ ∂ ∂ характеризуют изменение предельной полезности j u x ∂ ∂ блага j при изменении потребления этого же блага. Пусть 2 0 i j u x x ∂ < ∂ ∂ , т.е. предельная полезность любого блага уменьшается по мере того, как его потребление увеличивается. Это свойство называют законом Госсена – законом убывания предельной полезности. Таким образом, предпола- гаем, что функция полезности дважды дифференцируема, имеет непрерывные частные производные, а матрица Гессе H , образованная из вторых частных производных, является отрицательно определенной (ее главные миноры нечетного порядка отрицательны, а четного положительны для любого набора 1 ( ,..., ) n x x x = . Это требование относительно функции полезности означает, что функция полезности строго вогнута. Пример 2.4. Для функций полезности 1 2 1 2 1 1 2 2 ( , ) , 0, 0 1, 1, 2 j j u x x x x j β β = α + α α > < β < = найти: 30 • предельные полезности, • коэффициент предельной эквивалентной замены благ 21 n , • матрицу Гессе H и провести исследование матрицы на отрицательную определённость. Рис.2.4. Результаты решения примера 2.4 2.4. Оптимальный выбор благ потребителем 2.4.1. Модель задачи оптимального выбора Математическая модель выбора благ потребителем имеет следующий вид: 1 ( ) ( ,..., ) max n u x u x x = → (2.5) при условиях: 1 n j j j p x M = ≤ ∑ , (2.6) min max , 1,..., j j j x x x j n ≤ ≤ = (2.7) Ограничение (2.7) означает, что спрос на j -е благо ограничен величиной min j x , предложение – max j x Для 2 n = получаем задачу 31 1 2 ( , ) max u x x → (2.8) при ограничениях min max 1 1 2 2 ; , 1, 2 j j j p x p x M x x x j + ≤ ≤ ≤ = (2.9) На рис. 2.5. дана геометрическая интерпретация модели при ограничениях 1 1 2 2 ; 0, 1, 2 j p x p x M x j + ≤ ≤ = Рис. 2.5. Геометрическая интерпретация модели при 2 n = На рис. 2.5 прямая АВ соответствует бюджетному ограничению, треугольник OAB – области доступных наборов, а точка * * * 1 2 ( , ) x x x касания кривой безразличия со стороной АВ треугольника OABопределяет оптимальный набор благ задачи (2.8) – (2.9). Задача (2.8) –(2.9) является задачей математического программирования и состоит в максимизации строго вогнутой функции при линейном ограничении. Решение такой задачи существует, и оно единственно. Это оптимальное решение называют точкой равновесия задачи оптимального выбора благ потребителем. Решение задачи (2.8) –(2.9) удовлетворяет системе 1 n j j j p x M = = ∑ , (2.10) * , 1,..., j j u p j n x ∂ = λ = ∂ (2.11) Отсюда следует, что предельные полезности пропорциональны ценам соответ- ствующих благ. Геометрически свойство (2.11) означает, в точке оптимума вектор 1 ( ,..., ) n p p p = бюджетной гиперплоскости (прямой AB на рис. 2.2) и вектор- градиент функции полезности ( ) 1 ( ) ,..., n u u grad u x x x ∂ ∂ = ∂ ∂ коллинеарны, т.е. 32 ( ) * ( ) grad u x p = λ . Из (2.11) следует, что * / 0 j j u x p ∂ ∂ = λ > , так как / 0, 0, 1, j j u x p j n ∂ ∂ ≥ > = Полученное оптимальное решение задачи (2.10) – (2.11) зависит от вектора цен p и дохода M , т.е. в общем случае решение задачи может быть записано в виде * * ( , ), 1,..., j j x x p M j n = = и * * ( , ) p M λ = λ как функций переменных 1 ,..., n p p и M . Из приведенных результатов вытекают следующие следствия, имеющие место при оптимальном выборе благ потребителем. 1. Предельные полезности благ пропорциональны их ценам: * * ( ) , 1,..., j j u x p j n x ∂ = λ = ∂ . 2. . Отношение предельных полезностей двух благ равно отношению их цен: * * ( ) / ; , 1, , ( ) / j j k k u x x p j k n j k u x x p ∂ ∂ = = ≠ ∂ ∂ 3. Предельная полезность, приходящаяся на денежную единицу, одинакова для всех приобретаемых благ: * * ( ) / ( ) / ; , 1, , j k j k u x x u x x j k n j k p p ∂ ∂ ∂ ∂ = = ≠ 4. Равные предельные полезности, приходящиеся на денежную единицу, равны множителю * λ - предельной полезности денежной единицы, которую потребитель расходует для приобретения благ: * * ( ) / , 1,..., j j u x x j n p ∂ ∂ = λ = 5. Норма замещения: ; , 1,..., , j k kj j k p x n j k n k j x p ∆ = = − = ≠ ∆ 6. В оптимальной точке имеем равенство: * * ( ) u x M ∂ = λ ∂ (2.12) Таким образом, величина * λ множителя Лагранжа означает дополнительную полезность, приходящуюся на дополнительную единицу дохода, т.е. предельную полезность денежной единицы дохода потребителя. |