маткад. МИМЭП_лаб_практикум в Mathcad. Математическое и имитационное моделирование экономических процессов
 Скачать 4.96 Mb.
|
|
3.2. Свойства матрицы прямых и полных материальных затрат Коэффициенты прямых затрат по определению являются неотрицательными, следовательно, матрица A в целом может быть названа неотрицательной: 0 A > . Так как процесс воспроизводства нельзя было бы осуществлять, если бы для собственного воспроизводства в отрасли затрачивалось большее количество продукта, чем создавалось, то очевидно, что диагональные элементы матрицы A меньше единицы: 1 a ii < . Будем называть неотрицательную матрицу A продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор 0 X ≥ , что AX X > . (3.11) Очевидно, что условие (11) означает существование положительного вектора конечной продукции 0 Y > для модели межотраслевого баланса (6). Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат A была продуктивной, необходимо и достаточно чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий: 1) матрица ) A E ( − неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица 0 ) A E ( 1 ≥ − − ; 45 2) наибольшее по модулю собственное значение λ матрицы A , то есть решение характеристического уравнения 0 ) A E ( = − λ , строго меньше единицы; 3) все главные миноры матрицы ) A E ( − , т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до n , положительны. Перейдем к анализу матрицы коэффициентов полных материальных затрат, т.е. матрицы 1 ) A E ( B − − = Коэффициенты этой матрицы показывает, сколько всего нужно произвести продукции i -й отрасли, чтобы получить единицу конечной продукции j -й отрасли. Как уже указывалось выше, коэффициент полных материальных затрат включает прямые затраты и косвенные затраты. В отличие от коэффициентов прямых затрат, коэффициенты полных материальных затрат отражают не отраслевые, а народнохозяйственные затраты по производству единицы продукции. Пример 3.1. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции A 0.3 0.2 0.3 0.1 0.5 0.1 0.4 0.0 0.2 := Y 200 100 300 := 1. Вычислим матрицу полных материальных затрат B E identity 3 ( ) := E 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = W E A − := W 0.7 0.2 − 0.3 − 0.1 − 0.5 0.1 − 0.4 − 0 0.8 = B W 1 − := B 2.041 0.816 0.867 0.612 2.245 0.51 1.02 0.408 1.684 = 2. Вычислим вектор валовой продукции Х X B Y ⋅ := X 775.51 510.204 729.592 = 3. Вычислим матрицу межотраслевых потоков продукции х x 1 〈 〉 X 1 A 1 〈 〉 ⋅ := x 2 〈 〉 X 2 A 2 〈 〉 ⋅ := x 3 〈 〉 X 3 A 3 〈 〉 ⋅ := x 232.653 155.102 232.653 51.02 255.102 51.02 291.837 0 145.918 = 4. Вычислим условно чистую продукцию Z Z 1 X 1 x 1 〈 〉 ∑ − := Z 2 X 2 x 2 〈 〉 ∑ − := Z 3 X 3 x 3 〈 〉 ∑ − := Z 155.102 153.061 291.837 = 46 Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса мы воспользовались формулой, вытекающей из формулы (4): j ij ij X a x = . Из этой формулы следует, что для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы A умножить на величину 3 775 X 1 = ; элементы второго столбца матрицы A умножить на 1 510 X 2 = ; элементы третьего столбца матрицы A умножить на 6 729 X 3 = Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся с учетом формулы (1) как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта. Четвертый квадрант в нашем примере состоит из одного показателя и служит, в частности, для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта. Результаты расчета представлены в табл. 3.2. Таблица 3.2. Межотраслевой баланс производства и распределения продукции Потребляющие отрасли Производящие отрасли 1 2 3 Конечная продукция Валовая продукция 1 2 3 232,6 155,1 232,6 51,0 255,0 51,0 291,8 0,0 145,9 200,0 100,0 300,0 775,3 510,1 729,6 Условно чистая продукция 155,0 153,1 291,9 600,0 Валовая продукция 775,3 510,1 729,6 2015,0 3.3 Модель затрат труда Исходной моделью служит отчетный межпродуктовый баланс в натуральном выражении. В этом балансе по строкам представлено распределение каждого отдельного продукта на производство других продуктов и конечное потребление (первый и второй квадранты схемы межотраслевого баланса). Отдельной строкой дается распределение затрат живого труда в производстве всех видов продукции; предполагается, что трудовые затраты выражены в единицах труда одинаковой степени сложности. Обозначим затраты живого труда в производстве j -то продукта через j L , а объем производства этого продукта (валовой выпуск), как и раньше, через j X ;. Тогда прямые затраты труда на единицу j -го вида продукции (коэффициент прямой трудоемкости) можно задать следующей формулой: 47 n , 1 j ; X L t j j j = = (3.12) Введем понятие полных затрат труда как суммы прямых затрат живого труда и затрат овеществленного труда, перенесенных на продукт через израсходованные средства производства. Если обозначить величину полных затрат труда на единицу продукции j -го вида через j T , то произведения вида i ij T a отражают затраты овеществленного труда, перенесенного на единицу j - го продукта через i -е средство производства; при этом предполагается, что коэффициенты прямых материальных затрат ij a выражены в натуральных единицах. Тогда полные трудовые затраты на единицу j -го вида продукции (коэффициент полной трудоемкости) будут равны n , 1 j ; t T a T j n 1 i i ij j = + = ∑ = (3.13) Систему уравнений (3.13) можно переписать в матричном виде: t TA T + = . (3.14) Из (3.14) получим следующее соотношение для вектора коэффициентов полной трудоемкости: 1 ) A E ( t T − − = или tB T = (3.15) Обозначим через L величину совокупных затрат живого труда по всем видам продукции, которая с учетом формулы (3.12) будет равна ∑ = ∑ = = = = n 1 j j j n 1 j j tX X t L L (3.16) Используя соотношения BY X = из (4) и (5), приходим к следующему равенству: TY tX = , (3.17) здесь t и T — вектор-строки коэффициентов прямой и полной трудоемкости, а X и Y — вектор-столбцы валовой и конечной продукции соответственно. Для составления межотраслевого баланса затрат труда необходимо вычислить в соответствии с формулой ∑ = ⋅ + ⋅ = ⋅ = n 1 j i i i ij i i i t Y t x X t L продуктово – трудовую матрицу xt и затраты труда на конечную продукцию по формулам i ij ij t x xt ⋅ = , i i i t Y Yt ⋅ = (3.18) Соотношение (3.17) представляет собой основное балансовое равенство в теории межотраслевого баланса труда. В данном случае его конкретное экономическое содержание заключается в том, что стоимость конечной 48 продукции, оцененной по полным затратам труда, равна совокупным затратам живого труда. Сопоставляя потребительский эффект различных взаимозаменяемых продуктов с полными трудовыми затратами на их выпуск, можно судить о сравнительной эффективности их производства. С помощью показателей полной трудоемкости более полно и точно, чем при использо- вании существующих стоимостных показателей, выявляется структура затрат на выпуск различных видов продукции и прежде всего соотношение между затратами живого и овеществленного труда. На основе коэффициентов прямой и полной трудоемкости могут быть разработаны межотраслевые и межпродуктовые балансы затрат труда и использования трудовых ресурсов. Схематически эти балансы строятся по общему типу матричных моделей, однако все показатели в них (межотраслевые связи, конечный продукт, условно чистая продукция и др.) выражены в трудовых измерителях. Пример 3.2. Пусть в дополнение к исходным данным примера 1 заданы затраты живого труда (трудовые ресурсы) в трех отраслях: L 1160 460 875 ( ) := в некоторых единицах измерения трудовых затрат. Требуется определить коэффициенты прямой и полной трудоемкости и составить межотраслевой баланс затрат труда. Решение. Приведем вычисленные в примере 1 вектор валовой продукции Х, матрицу межотраслевых потоков х и матрицу полных материальных затрат В X 775.51 510.204 729.592 := x 232.653 155.102 232.653 51.02 255.102 51.02 291.837 0 145.918 := B 2.041 0.816 0.867 0.612 2.245 0.51 1.02 0.408 1.684 := Y 200 100 300 := 1. Воспользовавшись формулой (1) , находим коэффициенты прямой и полной трудоемкости: t L T X → := t 1.496 0.902 1.199 = T t T B ⋅ := T 4.828 3.551 3.913 ( ) = 3. Умножая первую, вторую и третью строки первого и второго квадрантов межотраслевого материального баланса, построенного в примере 1 , на соответствующие коэффициенты прямой трудоемкости, получаем схему межотраслевого баланса труда (в трудовых измерителях) (табл. 2). x1 x T := x2 1 〈 〉 t 1 x1 1 〈 〉 ⋅ := x2 2 〈 〉 t 2 x1 2 〈 〉 ⋅ := x2 3 〈 〉 t 3 x1 3 〈 〉 ⋅ := xt x2 T := xt 348 139.84 279.021 76.315 230 61.188 436.527 0 175 = Yt 1 Y 1 t 1 ⋅ := Yt 2 Y 2 t 2 ⋅ := Yt 3 Y 3 t 3 ⋅ := Yt 299.158 90.16 359.79 = 49 В таблице 3.2 приведен межотраслевой баланс затрат труда Таблица 3.2. Межотраслевой баланс затрат труда Потребляющие отрасли Межотраслевые затраты овеществленного труда Производя щие отрасли 1 2 3 Затраты труда на конечную продукцию Затраты труда в отраслях (трудовые ресурсы) 1 2 3 348,0 139,8 279,0 76,3 230,0 61,2 436,5 0,0 175,0 299,1 90,1 359,8 1159.9 459,9 875,0 Незначительные расхождения между данными таблицы и исходными данными вызваны погрешностями округления при вычислениях. 3.4. Модель фондоемкости продукции В простейшем случае модель межпродуктового баланса дополняется отдельной строкой, в которой указаны в стоимостном выражении объемы производственных фондов j Φ , занятые в каждой j -й отрасли. На основании этих данных и объемов валовой продукции всех отраслей определяются коэффициенты прямой фондоемкости продукции j -й отрасли: n ,..., 1 j ; X f j j j = Φ = (3.19) Коэффициент прямой фондоемкости показывает величину производственных фондов, непосредственно занятых в производстве данной отрасли, в расчете на единицу ее валовой продукции. В отличие от этого показателя коэффициент полной фондоемкости j F отражает объем фондов, необходимых во всех отраслях для выпуска единицы конечной продукции j -й отрасли. Если ij a — коэффициент прямых материальных затрат, то для коэффициента полной фондоемкости справедливо равенство n , 1 j ; f F a F j n 1 i i ij j = + = ∑ = (3.20) Если ввести в рассмотрение вектор-строку коэффициентов прямой фондоемкости ) f ..., , f , f ( f n 2 1 = и вектор-строку коэффициентов полной фондоемкости ) F ..., , F , F ( F n 2 1 = , то систему уравнений (2) можно переписать в матричной форме: f FA F + = , (321) откуда с помощью преобразований, аналогичных применяемым выше для коэффициентов трудоемкости, можно получить матричное соотношение fB F = , (3.22) 50 где 1 ) A E ( B − − = — матрица коэффициентов полных материальных затрат. Для составления межотраслевого баланса фондоемкости продукции вычисляют в соответствии с формулой ∑ = ⋅ + ⋅ = ⋅ = n 1 j i i ij i i i i Y f x f X f Φ продуктово – фондовую матрицу xf и стоимость фондов на конечную продукцию Yf i ij ij f x xf ⋅ = i i i f Y Yf ⋅ = (3.23) Пример 3.3. Пусть в дополнение к исходным данным примера 3.1 заданы объемы фондов в у.е. в отраслях Φ 1200 600 900 ( ) := Требуется определить коэффициенты прямой и полной фондоемкости и составить межотраслевой баланс фондозатрат. Решение. Приведем вычисленные в примере 1 вектор валовой продукции Х, матрицу межотраслевых потоков х и матрицу полных материальных затрат В X 775.51 510.204 729.592 := x 232.653 155.102 232.653 51.02 255.102 51.02 291.837 0 145.918 := B 2.041 0.816 0.867 0.612 2.245 0.51 1.02 0.408 1.684 := Y 200 100 300 := 1. Воспользовавшись формулой (1) , находим коэффициенты прямой и полной фондоемкости продукции: f Φ T X → := f 1.547 1.176 1.234 = F f T B ⋅ := F 5.187 4.216 4.135 ( ) = 3. Умножая первую, вторую и третью строки первого и второго квадрантов межотраслевого материального баланса, построенного в примере 3.1 , на соответствующие коэффициенты прямой фондоемкости, получаем схему межотраслевого баланса труда (в трудовых измерителях) (табл. 3.2). x1 x T := x2 1 〈 〉 f 1 x1 1 〈 〉 ⋅ := x2 2 〈 〉 f 2 x1 2 〈 〉 ⋅ := x2 3 〈 〉 f 3 x1 3 〈 〉 ⋅ := ft x2 T := ft 360 182.4 286.993 78.947 300 62.937 451.579 0 180 = Yf 1 Y 1 f 1 ⋅ := Yf 2 Y 2 f 2 ⋅ := Yf 3 Y 3 f 3 ⋅ := Yf 309.474 117.6 = 51 В таблице 3.3 приведен межотраслевой баланс фондоемкости продукции Таблица 3.3. Межотраслевой баланс фондоемкости продукции Потребляющие отрасли Межотраслевые фондозатраты Производя щие отрасли 1 2 3 Прямые фондо затраты на конечную продукцию Фондозатраты в отраслях 1 2 3 360,0 182,4 287,0 78,9 300,0 62,9 451,6 0,0 180,0 309,4 117,6 370,0 1199.9 600,0 899,9 3.5 Варианты заданий лабораторной работы №3 Задание В таблицах приведены коэффициенты прямых материальных затрат, объемы конечной продукции, трудовые затраты и объемы фондов по отраслям в межотраслевом балансе для трех отраслей 1. проверить продуктивность матрицы коэффициентов прямых затрат; 2. рассчитать коэффициенты полных материальных затрат; 3. найти объемы валовой продукции отраслей и составить межотраслевой баланс производства и потребления; 4. рассчитать коэффициенты прямой и полной трудоемкости и составить межотраслевой баланс труда; 5. рассчитать коэффициенты прямой и полной фондоемкости составить межотраслевой баланс фондов. Вариант 1. Коэффициенты прямых затрат Конечная продукция Отрасль 1 2 3 10.25 0.12 0.51 700 2 0.52 0.33 0.24 0 3 0.11 0.02 0.0 300 L 100 300 250 Ф 400 500 300 Вариант 2. Коэффициенты прямых затрат Конечная продукция Отрасль 1 2 3 10.0 0.32 0.5 50 2 0.1 0.13 0.2 10 52 3 0.2 0.25 0.4 35 L 1500 300 1250 Ф 4000 550 1300 Вариант 3. Коэффициенты прямых затрат Конечная продукция Отрасль 1 2 3 10.02 0.29 0.8 58 2 0.5 0.0 0.2 100 3 0.2 0.2 0.14 45 L 500 200 300 Ф 100 300 350 Вариант 4. Коэффициенты прямых затрат Конечная продукция Отрасль 1 2 3 10.12 0.28 0.15 170 2 0.0 0.13 0.23 20 3 0.22 0.41 0.45 130 L 120 350 200 Ф 150 500 310 Вариант 5. Коэффициенты прямых затрат Конечная продукция Отрасль 1 2 3 10.5 0.4 0.1 50 2 0.5 0.0 0.2 300 3 0.2 0.3 0.4 20 L 10 30 25 Ф 40 50 30 Вариант 6. Коэффициенты прямых затрат Конечная продукция Отрасль 1 2 3 10.2 0.0 0.1 150 2 0.5 0.3 0.2 30 3 0.2 0.2 0.4 230 L 70 40 55 Ф 400 500 300 Вариант 7. Коэффициенты прямых затрат Конечная продукция Отрасль 1 2 3 10.2 0.2 0.1 500 2 0.5 0.3 0.2 100 |