маткад. МИМЭП_лаб_практикум в Mathcad. Математическое и имитационное моделирование экономических процессов
 Скачать 4.96 Mb.
|
|
Вариант 8. Коэффициенты прямых затрат Конечная продукция Отрасль 1 2 3 10.7 0.25 0.6 30 2 0.5 0.3 0.2 40 3 0.3 0.0 0.4 50 L 1000 3000 2500 Ф 400 500 300 Вариант 9. Коэффициенты прямых затрат Конечная продукция Отрасль 1 2 3 10.2 0.2 0.1 50 2 0.5 0.3 0.2 0 3 0.2 0.2 0.4 30 L 100 300 250 Ф 400 500 300 Вариант 10. Коэффициенты прямых затрат Конечная продукция Отрасль 1 2 3 10.25 0.28 0.19 50 2 0.57 0.34 0.21 70 3 0.22 0.23 0.46 30 L 100 300 250 Ф 400 500 300 Вариант 11. Коэффициенты прямых затрат Конечная продукция Отрасль 1 2 3 10.0 0.2 0.1 0.0 2 0.5 0.5 0.2 60 3 0.2 0.1 0.3 30 L 200 200 250 Ф 300 400 200 Вариант 12. Коэффициенты прямых затрат Конечная продукция Отрасль 1 2 3 10.7 0.4 0.2 50 54 2 0.5 0.5 0.2 40 3 0.4 0.3 0.2 30 L 500 200 250 Ф 200 100 300 Вариант 13. Коэффициенты прямых затрат Конечная продукция Отрасль 1 2 3 10.9 0.3 0.1 20 2 0.5 0.4 0.2 30 3 0.1 0.7 0.6 30 L 500 200 200 Ф 300 800 400 Вариант 14. Коэффициенты прямых затрат Конечная продукция Отрасль 1 2 3 10.4 0.6 0.8 50 2 0.5 0.6 0.2 70 3 0.5 0.3 0.7 30 L 100 300 250 Ф 400 500 300 Вариант 15. Коэффициенты прямых затрат Конечная продукция Отрасль 1 2 3 10.1 0.2 0.3 10 2 0.4 0.5 0.2 20 3 0.4 0.3 0.6 30 L 100 300 250 Ф 400 500 300 55 4. Лабораторная работа № 4. Потоки платежей. Ренты Потоки платежей весьма часто встречаются на практике. Заработная плата выплачивается, как правило, в виде потока платежей 2 раза в месяц, примерно через 15 дней или один раз в месяц через 30 дней. Плата за квартиру — поток, как правило, ежемесячных платежей. Семья откладывает на покупку автомобиля, внося ежемесячно на счет в банк некоторую сумму, и т.д. Поэтому изучение потоков платежей очень важно. 4.1. Потоки платежей Поток платежей — это последовательность величин самих платежей (со знаками) и моментов времени, когда они осуществлены. Платеж со знаком плюс, который может быть опущен, — это поступление, платежи со знаком минус представляют собой выплаты. Поток называется конечным или бесконечным в зависимости от количества платежей в нем. Пусть { , } k k Q R t = — поток платежей, в нем k t — моменты времени, k R — платежи. Кроме того, предполагается, что известна ставка процента i , обычно неизменная в течение всего потока. Современной величиной потока в момент T называется сумма платежей потока, дисконтированных к этому моменту — ( ) (1 ) k T t k k Q T R i − = + ∑ Достаточно найти величину потока в какой-то момент ( ) Q T , тогда в любой другой момент t величина потока ( ) ( )(1 ) t T Q t Q T i − = + Величина (0) Q называется современной величиной потока; если есть пследний платеж, то величина потока в момент этого платежа называется конечной величиной потока. Пример 4.1. Пусть поток есть {( 2000,1); (1000, 2); (2000, 3)} Q = − Найдем характеристики этого потока при ставке процента i = 10%. Сначала найдем современную величину потока: 1 2 (0) 2000 (1 0.1) 1000 (1 0.1) Q − − = − ⋅ + + ⋅ + 3 2000 (1 0.1) 510.8 − + ⋅ + = Теперь можно найти и конечную величину потока: 3 (3) (0) (1 ) 679.8 Q Q i = ⋅ + = ◊ Поток положительных платежей с постоянными промежутками между ними называется рентой. Часто сами платежи также являются одинаковыми. Далее рассматриваются только ренты с одинаковыми платежами. 56 4.2. Конечная годовая рента Это самая простая рента: в ней только один платеж R в год, длительность ее n лет, годовая процентная ставка i . На рентные платежи начисляются сложные проценты. Пример 4.2. Рассмотрим 5-летнюю ренту с годовым платежом 1000 руб., процентная ставка i = 10%. Поясним движение денежных сумм. В конце 1-го года в банк вносится 1000 руб. В конце 2-го года эта сумма возрастает до 1100 руб. за счет начисленных 10%. Вместе с очередным внесенным платежом в 1000 руб. на счете уже 2100. В конце 3-го года эта сумма возрастает до 2310 руб. за счет начисленных 10% . Вместе с очередным внесенным платежом на счете теперь уже 3310 руб. и т.д. Наращенная сумма ренты равна 6105,1 руб. Современную величину ренты найдем, дисконтируя к моменту 0 наращенную сумму 6105,1. Получаем 5 6105.1/(1 0.1) 3791 + = ◊ Если платежи поступают в конце очередного промежутка, то рента называется постнумерандо, в начале — пренумерандо. Рассматриваемая в примере рента постнумерандо. В дальнейшем рассматриваются только такие ренты. Изучим подробно конечную годовую ренту { , , } R n i в общем виде. Главная задача — найти современную величину этой ренты. Имеем 1 1 1 (1 ) (1 ) n n t t t t R A R i i = = = = + + ∑ ∑ Имеем сумму n членов геометрической прогрессии с первым членом 1 (1 ) i − + и знаменателем 1 (1 ) i − + . Как известно, сумма n членов геометрической прогрессии с первым членом 1 a и знаменателем q равна 1 ( 1) 1 n q a q − − . Следовательно, сумма в фигурных скобках есть 1 (1 ) n i i − − + . И потому современная величина ренты есть 57 1 (1 ) n i A R i − − + = Величина 1 (1 ) n i i − − + обозначается ( , ) a n i и называется коэффициентом приведения ренты. С учетом этого обозначения имеем ( , ) A R a n i = ⋅ . Зная современную величину ренты, можно легко найти конечную ее величину, которая называется еще наращенной величиной ренты S : (1 ) n S A i = ⋅ + или (1 ) 1 ( , ) (1 ) n n i S R a n i i R i + − = ⋅ ⋅ + = Величина (1 ) 1 n i i + − обозначается ( , ) s n i и называется коэффициентом наращения ренты. С учетом этого обозначения имеем ( , ) S R s n i = ⋅ . Величины ( , ) a n i и ( , ) s n i связаны очевидным соотношением: ( , ) ( , ) (1 ) n s n i a n i i = ⋅ + или ( , ) ( , ) ( , ) s n i a n i M n i = ⋅ Коэффициент наращения ( , ) s n i показывает, во сколько раз наращенная величина ренты больше ее годового платежа. Аналогичный смысл имеет и коэффициент приведения ренты: он показывает, во сколько раз современная величина ренты больше ее годового платежа. Можем дать другое толкование смысла понятия «современная величина ренты»: если в момент 0 положить в банк современную величину ренты под i процентов годовых, то к концу n -го года она вырастет до наращенной величины ренты S . Итак, имеем формулы для конечной годовой ренты ( , ) A R a n i = ⋅ , ( , ) S R s n i = ⋅ (4.1) Эти формулы формально имеют смысл и для нецелых n . При этом надо использовать определяющие формулы для ( , ) a n i и ( , ) s n i Ниже приведены фрагменты таблиц коэффициентов приведения и наращения годовой ренты. Коэффициенты приведения годовой ренты ( , ) [1 (1 ) ] / n a n i i i − = − + i n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 2,829 2,775 2,723 2,673 2,624 2,577 2,531 2,487 2,444 4 3,717 3,630 3,546 3,465 3,387 3,312 3,240 3,170 3,102 5 4,580 4,452 4,329 4,212 4,100 3,993 3,890 3,791 3,696 6 5,417 5,242 5,076 4,917 4,767 4,623 4,486 4,355 4,231 7 6,230 6,002 5,786 5,582 5,389 5,206 5,033 4,868 4,712 8 7,020 6,733 6,463 6,210 5,971 5,747 5,535 5,335 5,146 9 7,786 7,435 7,108 6,802 6,515 6,247 5,995 5,759 5,537 10 8,530 8,110 7,722 7,360 7,024 6,710 6,418 6,145 5,889 58 Коэффициенты наращения годовой ренты ( , ) [(1 ) 1] / n s n i i i = + − i n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 3,091 3,122 3,153 3,184 3,215 3,246 3,278 3,310 3,342 4 4,184 4,246 4,310 4,375 4,440 4,506 4,573 4,641 4,710 5 5,309 5,416 5,526 5,637 5,751 5,867 5,985 6,105 6,228 6 6,468 6,633 6,802 6,975 7,153 7,336 7,523 7,716 7,913 7 7,662 7,898 8,142 8,394 8,654 8,923 9,200 9,487 9,783 8 8,892 9,214 9,549 9,897 10,260 10,637 11,028 11,436 11,859 9 10,159 10,583 11,027 11,491 11,978 12,488 13,021 13,579 14,164 10 11,464 12,006 12,578 13,181 13,816 14,487 15,193 15,937 16,722 Применение коэффициентов приведения и наращения покажем на примере. Пример 4.3. Найти современную и наращенную величины годовой ренты с R = 1000, n = 8, i = 8%. Находим по таблицам ( , ) a n i = 5,747, ( , ) s n i = 10,637. Значит, современная величина ренты равна 5747, наращенная — 10637. Для контроля посмотрев в таблицу мультиплицирующих множителей, находим (8,8) M = 1,851. Проверка: 5747 ⋅ 1,851=10 638. ◊ 4.3. Определение параметров годовой ренты Выше уже сказано, что годовая рента характеризуется годовым платежом R , длительностью n лет и процентной ставкой i . Процентная ставка обычно неуправляема, но зато к параметрам можно причислить современную величину A и наращенную величину S . Все эти величины не являются независимыми, поэтому если задать некоторые из них, то остальные можно определить: 1) если заданы , , R n i , тогда ( , ) A R a n i = ⋅ , ( . ) S R s n i = ⋅ ; 2) если заданы , , R A i , тогда для определения n имеем уравнение [1 (1 ) ] / n A R i i − = − + и получаем ln(1 / ) / ln(1 ) n A i R i = − − ⋅ + Если последнее выражение не целое, то n определяется как ближайшее целое к нему, смотря по конкретным требованиям. Можно обойтись и без нахождения n по указанной выше громоздкой формуле. Имеем ( , ) / a n i A R = , затем подбираем по таблице коэффициентов приведения ренты приблизительно подходящее n (учитывая, что i известно). Пример 4.4. Пусть R = 1000, i = 8% . Найти длительность ренты с современной величиной A = 4000. Решение. Имеем ( , ) / a n i A R = = 4. По таблице коэффициентов приведения ренты находим, что (5,8) a = 3,993. Значит, приблизительно n = 5. ◊ Продолжаем исследование по определению параметров рент: 3) заданы , , R S i — действуем аналогично предыдущему случаю; 59 4) заданы , , A n i , тогда для определения R имеем уравнение ( , ) A R a n i = ⋅ , причем последняя величина известна, значит / ( , ) R A a n i = ; 5) заданы , , S n i — действуем аналогично п. 4; 6) хотя процентная ставка неуправляема организатором ренты, можно задуматься о желаемой процентной ставке. Т.е. пусть заданы , ,. R A n , надо подобрать процентную ставку i . Это посложнее, чем в предыдущих задачах. Для определения i имеем уравнение [1 (1 ) ] / n A R i i − = ⋅ − + , но решить это уравнение аналитически невозможно, поэтому его надо решать численными методами. 4.4. Общая рента Пусть платежи поступают p раз в году через равные интервалы, и суммарный годовой платеж равен R , так что единичный платеж равен / R p ; проценты начисляются m раз в году также через равные интервалы. Рассмотрим подробно 1-й год. Рисунок отражает ситуацию при p = 4, m = 2 (платежи вносятся в моменты, обозначенные *, начисления процентов происходят в моменты + , т.е. в середине года и в конце года). Необходимы некоторые уточнения. В очередной момент начисления проценты начисляются по ставке сложных процентов на каждый более ранний платеж с учетом момента его поступления. Так как k -й платеж отстоит от конца на ( / ) n k p − лет, то на него будет произведено [( / ) ] n k p m − ⋅ начислений по полной ставке / i m ( [ ] a — целая часть a ) и, возможно, еще одно начисление по неполной ставке, и его частичный вклад в наращенную сумму ренты составит ( / ) ( / ) (1 / ) n k p m k S R p i m − = ⋅ + . Сумма всех таких частичных вкладов и составляет наращенную сумму ренты ( / ) 1 1 ( / ) (1 / ) n p n p n k p m k k k S S R p i m ⋅ ⋅ − = = = = ⋅ + ∑ ∑ Здесь n p ⋅ — количество поступлений платежей. Изменяя порядок суммирования, сумму можно записать так: 1 0 ( / ) (1 / ) m n p k p k S R p i m ⋅ − = = ⋅ + ∑ Ясно, что слагаемые этой суммы есть члены геометрической прогрессии с первым членом / R p , знаменателем / (1 / ) m p i m + и числом членов n p ⋅ . Значит их сумма равна / (1 / ) 1 ( / ) (1 / ) 1 nm m p i m S R p i m + − = + − (4.2) 60 Найдя наращенную величину ренты, без труда можно найти современную величину ренты (1 / ) nm S A i m = + (4.3) Из этой общей формулы можно получить формулы для подсчета наращенной величины частных рент: когда платеж один раз в году, а начислений процентов несколько раз; когда, наоборот, начисление процентов только раз в году, зато платежей несколько раз, и т.п. Например, пусть p — число платежей в году, а проценты начисляются один раз, т.е. m = 1, тогда наращенная величина такой ренты есть 1/ (1 ) 1 ( / ) (1 ) 1 n p i S R p i + − = + − и 1/ 1 (1 ) (1 ) 1 n p R i A p i − − + = ⋅ + − (4.4) Или, пусть в году один платеж ( p = 1), зато проценты начисляются m раз в году, тогда наращенная величина такой ренты есть (1 / ) 1 (1 / ) 1 nm m i m S R i m + − = + − и 1 (1 / ) (1 / ) 1 nm m i m A R i m − − + = + − (4.5) Весьма часто m p = , т.е. число платежей в году и число начислений процентов совпадают, тогда из общей формулы (2) получаем (1 / ) 1 ( / ) ( / ) nm i m S R m i m + − = , (4.6) 1 (1 / ) ( / ) ( / ) nm i m A R m i m − − + = (4.7) Формулу (4.6) легко получить из формулы (4.1) для конечной годовой ренты, положив в ней / R m вместо R с учетом того, что число платежей есть nm , а не n 4.5. Вечная» годовая рента Под «вечной» годовой рентой понимается рента, последовательность платежей которой неограниченна, предполагается, что рента будет выплачиваться неограниченно долго. Наращенная величина такой ренты бесконечна, но современная величина равна / A R i = . Докажем это. Из формулы (4.1) для конечной годовой ренты имеем: 1 (1 ) ( , ) n i A R a n i R i − − + = ⋅ = Перейдем в этой формуле к пределу при n → ∞ и получим / R i |