ответы по физике. Механика механическое движение. Траектория движения. Пройденный путь. Скорость движения. Ускорение движения
 Скачать 1.28 Mb.
|
|
2. Представление гармонических колебаний в виде вращающегося вектора. Сложение двух гармонических колебаний с одинаковыми частотами, совершающихся в одном направлении. Условия усиления и максимального усиления колебаний. Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний. Мгновенное значение функции можно получить как проекцию на горизонтальную ось отрезка длиной U m , вращающегося относительно начала прямоугольной системы координат с угловой частотой ω = 2p×f в положительном направлении (против часовой стрелки) (рис. 2.3). Вращающийся отрезок будем называть вектором. Рис. 2.3. Представление синусоиды вращающимся вектором В момент t = 0 вектор образует с горизонтальной осью угол ψ и его проекция на горизонтальную ось равна U m cos ψ, т.е. мгновенному значению функции при t = 0. За время t = t 1 вектор повернется на угол ω t 1 и окажется повернутым относительно горизонтальной оси на угол ω t 1 +y, его проекция на ось будет равна и т.д. Таким образом, рассмотрение гармонических колебаний можно заменить рассмотрением вращающихся векторов. Для получения мгновенных значений условимся проектировать вектора на горизонтальную ось. Если гармонические колебания имеют одну и ту же частоту, то соответствующие этим колебаниям векторы вращаются с одинаковой угловой частотой, и поэтому углы между ними сохраняются неизменными. Зарисуем две гармонические функции , (2.9) имеющие одинаковую угловую частоту ω и начальные фазы y 1 и y 2 (рис. 2.4). 8 Рис. 2.4. Векторы напряжений и соответствующие синусоиды Кривая u 1 , смещенная влево относительно u 2 , возрастает от нуля до своего положительного максимума раньше, чем кривая u 2 Поэтому говорят, что u 1 опережает по фазе u 2 , или наоборот. Разность начальных фаз φ = y 1 – (–y 2 ) называется фазовым сдвигом или углом сдвига u 1 относительно u 2 . Этот угол и образуют векторы, показанные на верхней части рис. 2.4. При равенстве начальных фаз, т.е. при φ = 0, векторы направлены в одну и ту же сторону, т.е. совпадают по фазе (синфазны). При фазовом сдвиге 180° векторы направлены в диаметрально противоположные стороны (находятся в противофазе). Диаграмма, изображающая совокупность векторов, построенных с соблюдением их взаимной ориентации по фазе, называется векторной диаграммой. Векторное представление гармонических функций, частота которых одинакова, облегчает алгебраические операции с ними и дает возможность наглядно представить процессы, происходящие в цепи. Например, операция сложения (2.10) При использовании векторной диаграммы с целью установления фазовых сдвигов или амплитудных значений гармонических величин, имеющих одинаковую частоту, векторная диаграмма может считаться неподвижной. Это равносильно переходу во вращающуюся вместе с векторами систему координат. Построение векторной диаграммы обычно не связано с определением мгновенных значений гармонических функций. В этом случае они строятся не для амплитуд, а для действующих значений. Кривые мгновенных значений называются временными диаграммами. Колеблющееся тело может принимать участие в нескольких колебательных процессах, тогда следует найти результирующее колебание, другими словами, колебания необходимо сложить. В данном разделе будем складывать гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты применяя метод вращающегося вектора амплитуды, построим графически векторные диаграммы этих колебаний (рис. 1). Tax как векторы A 1 и A 2 вращаются с одинаковой угловой скоростью ω 0 , то разность фаз (φ 2 - φ 1 ) между ними будет оставаться постоянной. Значит, уравнение результирующего колебания будет (1) В формуле (1) амплитуда А и начальная фаза φ соответственно определяются выражениями (2) Значит, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает при этом также 9 гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ 2 - φ 1 ) складываемых колебаний. Рис.1 Исследуем выражение (2) в зависимости от разности фаз (φ 2 - φ 1 ): 1) φ 2 - φ 1 = ±2mπ (m = 0, 1, 2, ...), тогда A=A 1 +A 2 , т. е. амплитуда результирующего колебания А будет равна сумме амплитуд складываемых колебаний; 2) φ 2 - φ 1 = ±(2m+1)π (m = 0, 1, 2, ...), тогда A=|A 1 –A 2 |, т. е. амплитуда результирующего колебания будет равна разности амплитуд складываемых колебаний. Амплитуда результирующего колебания максимальна и равна сумме амплитуд слагаемых колебаний: если разность фаз этих колебаний составляет четное число п; если же разность фаз составляет нечетное число п, то амплитуда результирующего колебания минимальна и равна разности амплитуд слагаемых колебаний. Для практики представляет особый интерес случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. После сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, которые возникают при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями. Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и ω+Δω, причем Δω<<ω. Выберем начало отсчета так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю: Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе Δω/2<<ω, получим (3) Результирующее колебание (3) можно считать как гармоническое с частотой ω , амплитуда А σ которого изменяется по следующему периодическому закону: (4) Частота изменения А σ в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т. е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний: Период биений Вид зависимости (3) показан на рис. 2, где сплошные жирные линии представляют график результирующего колебания (3), а огибающие их линии - график медленно меняющейся согласно уравнению (4) амплитуды. 10 Рис.2 Нахождение частоты тона (звука определенной высоты) биений между эталонным и измеряемым колебаниями — наиболее часто используемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений применяется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д. При исследовании сложного колебательного процесса нужно знать, что любые сложные периодические колебания s=f(t) можно представить в виде суперпозиции (наложения) одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, которые кратны циклической частоте ω 0 : (5) Представление в виде (5) любой периодической функции связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье. Слагаемые ряда Фурье, которые определяют гармонические колебания с частотами ω 0 , 2ω 0 , 3ω 0 , ..., называются первой (или основной), второй, третьей и т. д. гармониками сложного периодического колебания. 3. Квазиупругая сила. Математический и физический маятники. Циклическая частота гармонического осциллятора. Энергия колебаний. Квазиупругая сила - направленная к центру О сила. модуль которой пропорционален расстоянию r от центра О до точки приложения силы (F=-cr), где с - постоянный коэффициент, численно равный силе, действующей на единице расстояния. К. с. является силой центральной и потенциальной с силовой функцией U=-0,5cr 2 . Примерами К. с. служат силы упругости, возникающие при малых деформациях упругих . Приближённо квазиупругой силой можно также считать касательную составляющую силы тяжести, действующей на матем маятник при малых его отклонениях от вертикали. Математический маятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины l неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен и не зависит от амплитуды и массы маятника. Физический маятник — осциллятор , представляющий собой твёрдое тело , совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела. Осциллятор — система, совершающая колебания, то есть показатели которой периодически повторяются во времени. Гармонический осциллятор— это система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы , пропорциональной смещению (согласно закону Гука): 4. Упругие волны. Механизмы и условия возникновения упругих волн. Поперечные и продольные упругие волны, условия их возникновения. Формулы скорости упругих волн в различных средах. Длина волны. Циклическое волновое число. Уравнение плоской волны. Упругие волны (звуковые волны) — волны , распространяющиеся в жидких, твёрдых и газообразных средах за счёт действия упругих сил. 11 В зависимости от частоты различают инфразвуковые , звуковые и ультразвуковые упругие волны. В жидких и газообразных средах может распространяться только один тип упругих волн — продольные волны . В волне этого типа движение частиц осуществляется в направлении распространения волны. В твёрдых телах существуют касательные напряжения , что приводит к существованию других типов волн, в которых движение частиц осуществляется по более сложным траекториям. Упругие волны, распространяющиеся в земной коре, называют сейсмическими волнами Наиболее распространёнными типами упругих волн в твёрдых телах являются: -продольные волны; -поперечные волны, движение частиц перпендикулярно направлению распространения волны; -поверхностные волны (например волны Рэлея, где движение частиц происходит по эллипсам); -волны в тонких пластинах — волны Лэмба. Длина волны — расстояние между двумя ближайшими друг к другу точками, колеблющимися в одинаковых фазах . Величина , обратная длине волны, называется волновым числом и имеет смысл пространственной частоты. 5.Энергетические характеристики волн: объемная плотность энергии волны, поток энергии волны, плотность потока энергии волны, интенсивность волны, спектральная плотность потока энергии излучения. Пусть v* - скорость частиц среды в какой-то момент времени в какой-то точке пространства (или, точнее, в физически малом объёме dV). Объёмная плотность кинетической энергии Wk запишется (r - плотность среды): Объёмная плотность потенциальной энергии упруго деформируемой среды равна: Учитывая, что: имеем: Причём в каждой точке пространства объёмные плотности кинетической и потенциальной энергий равны. Этот вывод справедлив для любых волн в упругих средах: полная механическая энергия волны в каждой точке есть сумма двух равных слагаемых, потенциальной и кинетической энергий. Из вышеприведённой формулы следует, что среднее за период значение объёмной плотности энергии равно: Поток энергии через площадку dS - энергия, прошедшая через эту площадку в единицу времени. dФ через площадку dS запишется: Если площадка расположена не перпендикулярно направлению распространения энергии, следует писать в более общем виде: Если площадка расположена параллельно вектору скорости, то, разумеется, поток энергии через неё равен нулю. Напомню, что под направлением ориентации площадки понимается направление нормали к её поверхности. Плотность потока энергии U есть поток энергии через единичную площадку, то есть В отличие от потока плотность потока - величина векторная. Среднее значение модуля вектора плотности потока энергии есть интенсивность волны: Обратите внимание, что интенсивность упругой (то есть механической, звуковой) волны зависит как от амплитуды, так и от частоты, - в отличие от интенсивности электромагнитной волны, которая зависит только от амплитуды и не зависит от частоты. 12 Интенсивность — скалярная физическая величина, количественно характеризующая мощность, переносимую волной в направлении распространения. Численно интенсивность равна усреднённой за период колебаний волны мощности излучения, проходящей через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения энергии. В математической форме это может быть выражено следующим образом: где T — период волны, dP — мощность, переносимая волной через площадку dS. Интенсивность волны связана со средней плотностью энергии w в волне и скоростью распространения волны u следующим соотношением: Единицей измерения интенсивности в системе СИ является Вт/м², в системе СГС — эрг/с·см². Спектральная плотность энергии — — функция частоты и температуры, связанная с объемной плотностью излучения формулой: Следует отметить, что спектральная плотность энергетической светимости для абсолютно черного тела связана со спектральной плотностью энергии следующим соотношением: — для абсолютно черного тела. 6.Электромагнитная волна. Условия и механизмы ее возникновения. Скорость и длина электромагнитной волны в вакууме и различных средах. Показатель преломления волны. Шкала электромагнитных волн. Характеристики электромагнитных волн различных интервалов длин волн. Электромагнитные волны— распространяющееся в пространстве возмущение (изменение состояния) электромагнитного поля (то есть, взаимодействующих друг с другом электрического и магнитного полей ). Электромагнитная волна представляет собой процесс последовательного, взаимосвязанного изменения векторов напряжённости электрического и магнитного полей, направленных перпендикулярно лучу распространения волны, при котором изменение электрического поля вызывает изменения магнитного поля, которые, в свою очередь, вызывают изменения электрического поля. Источником эм волн являются ускоренно движущиеся электрические заряды, а также переменные, электрические и магнитные поля. Эм волны распространяются в вакууме со скоростью света, скорость и длина зависят от среды. n=c/v=sqrt(эпсилон*мю).- абсолютный показатель преломления. Электромагнитные волны классифицируются по длине волны или связанной с ней частотой волны: 1) Низкочастотные волны; 2) Радиоволны; 3) Инфракрасное излучение; 4) Световое излучение; 5) Рентгеновское излучение; 6) Гамма излучение. Низкочастотные волны представляют собой электромагнитные волны, частота колебаний которых не превышает 100 КГц. Радиоволны представляют собой электромагнитные волны, длины которых превосходят 1 мм (частота меньше 3 10 11 гц = 300 Ггц) и менее 3 км (выше 100 кГц). Радиоволны делятся на: 1. Длинные волны в интервале длин от 3 км до 300 м( частота в диапазоне 10 5 гц - 10 6 гц= 1 МГц); 2. Средние волны в интервале длин от 300 м до 100 м (частота в диапазоне 10 6 гц -3*10 6 гц=3мгц); 3. Короткие волны в интервале длин волн от 100м до 10м (частота в диапазоне 310 6 гц-310 7 гц=30мгц); 4. Ультракороткие волны с длиной волны меньше 10м(частота больше 310 7 гц=30Мгц). Ультракороткие волны в свою очередь делятся на : а) метровые волны; б) сантиметровые волны; в) миллиметровые волны; 13 Инфракрасное, световое, включая ультрафиолетовое, излучения составляют оптическую область спектра электромагнитных волн. Оптический спектр занимает диапазон длин электромагнитных волн в интервале от 210 -6 м= 2мкм до 10 -8 м=10нм (по частоте от1.510 14 гц до 310 16 гц). Верхняя граница оптического диапазона определяется длинноволновой границей инфракрасного диапазона, а нижняя коротковолновой границей ультрафиолета. В области рентгеновского и гамма излучения на первый план выступают квантовые свойства излучения. Рентгеновское излучение составляют электромагнитные волны с длиной от50 нм до 10 -3 нм. Гамма излучение составляют электромагнитные волны с длиной волны меньше 10 -2 нм. 7.Интерференция когерентных волн. Амплитуда результирующего колебания при интерференции двух волн, условия минимумов и максимумов амплитуды. Интерференционный спектр. Интерференция волн — взаимное усиление или ослабление амплитуды двух или нескольких когерентных волн, одновременно распространяющихся в пространстве. Сопровождается чередованием максимумов и минимумов (пучностей) интенсивности в пространстве. Результат интерференции (интерференционная картина) зависит от разности фаз накладывающихся волн. Интерферировать могут все волны, однако устойчивая интерференционная картина будет наблюдаться только в том случае, если волны имеют одинаковую частоту и колебания в них не ортогональны. Интерференция может быть стационарной и нестационарной. Стационарную интерференционную картину могут давать только полностью когерентные волны. Например, две сферические волны на поверхности воды, распространяющиеся от двух когерентных точечных источников, при интерференции дадут результирующую волну, фронтом которой будет сфера. При интерференции энергия волн перераспределяется в пространстве. Это не противоречит закону сохранения энергии потому, что в среднем, для большой области пространства, энергия результирующей волны равна сумме энергий интерферирующих волн. При наложении некогерентных волн средняя величина квадрата амплитуды результирующей волны равна сумме квадратов амплитуд накладывающихся волн. Энергия результирующих колебаний каждой точки среды равна сумме энергий ее колебаний, обусловленных всеми некогерентными волнами в отдельности. Амплитуда результирующего колебания максимальна и равна сумме амплитуд слагаемых колебаний: если разность фаз этих колебаний составляет четное число «Пи»; если же разность фаз составляет нечетное число «Пи», то амплитуда результирующего колебания минимальна и равна разности амплитуд слагаемых колебаний. В физических экспериментах спектры обычно получают, пропуская «свет» либо сквозь призму, либо сквозь узкие щели или крошечные отверстия в плотном материале. На основании способа получения спектры бывают призматические и интерференционные. Спектр – это видимый на экране ряд из шести цветов, плавно переходящих один. |