МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ. Металлургия Екатеринбург 2015
 Скачать 7.01 Mb.
|
|
6.3.5. Дробный факторный эксперимент Во многих практических задачах взаимодействия второго и высших порядков отсутствуют или пренебрежимо малы. Кроме того, на первых этапах исследования часто необходимо получить в первом приближении лишь линейную аппроксимацию изучаемого уравнения связи при минимальном числе экспериментов. Так, для трех факторов вместо уравнения (6.9) достаточно рассмотреть уравнение вида 3 x 3 b 2 x 2 b 1 x 1 b 0 b y (6.22) и определить только четыре коэффициента. Поэтому использование ПФЭ для определения коэффициентов только при линейных членах неэффективно из-за реализации большого числа опытов, особенно при большом числе факторов k. Если при решении задачи можно ограничиться линейным приближением, тов ПФЭ оказывается много лишних опытов. Так, для трех факторов достаточно 4 опыта, а в ПФЭ их 8. Следовательно, есть четыре лишних. Результаты этих лишних опытов могут быть использованы двояко во-первых, сих помощью можно получить более Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 187 точные оценки коэффициентов регрессии во-вторых, их можно использовать для проверки адекватности модели. Однако при 7 факторах ПФЭ содержит 2 7 =128 опытов, а для линейного уравнения требуется всего 8. Таким образом, остается 120 лишних и, конечно, нет необходимости их все реализовать, а достаточно лишь несколько из них использовать для проверки адекватности и уточнения оценок. Другими словами, ПФЭ обладает большой избыточностью опытов. В связи с этим возникает вопрос Нельзя ли сократить число опытов, необходимых для определения коэффициентов регрессии. Так, для определения коэффициентов уравнения (6.22) достаточно ограничится четырьмя опытами, если в ПФЭ 2 3 использовать х 1 х 2 в качестве плана для х, тогда матрица планирования эксперимента примет вид, представленный в табл. 6.4. Таблица Дробный факторный эксперимент Номер План Результат опыта X 0 X 1 X 2 X 3 = X 1 X 2 y j 1 +1 -1 -1 +1 y 1 2 +1 +1 -1 -1 y 2 3 +1 -1 +1 -1 y 3 4 +1 +1 +1 +1 Заметим, что мы использовали не все точки с крайними координатами, те. 1, или, говоря другими словами, не всевозможные комбинации выбранных уровней. На самом деле всех возможных комбинаций 2 3 = 8, мы же использовали из них только 4. Такой сокращенный план носит название дробного факторного эксперимента (ДФЭ). Аналогичный результат плана ДФЭ для х факторов дает пакет Statistica (рис. 6.3), поскольку генерирующее соотношение для X 3 определяется как X 3 = X 2 X 1 Следует подчеркнуть, что формальное приравнивание произведения факторов фактору, не входящему в это произведение, является основополагающей идеей метода ДФЭ. В данном случае используется только половина ПФЭ 2 3 , поэтому план, представленный в табл. 6.4, называется полурепликой от ПФЭ 2 3 Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 188 Рис. 6.3. Результат расчет плана ДФЭ для 2 факторов в пакете Statistica После реализации плана получают 4 уравнения с 4 неизвестными, их решение и даст оценку всех четырех коэффициентов регрессии b i . Например, матрица из 8 опытов для четырехфакторного планирования будет полурепликой от ПФЭ 2 4 , а для пятифакторного планирования четвертьрепликой от 2 Для того чтобы дробная реплика представляла собой ортогональный план, в качестве реплики следует брать ближайший полный факторный эксперимент. При этом число опытов должно быть не менее числа искомых коэффициентов. Если коэффициенты регрессии при парных произведениях неравны нулю, то найденные коэффициенты b i будут смешанными оценками их теоретических коэффициентов i . На практике обычно не удается априорно постулировать равенство нулю эффектов взаимодействия, однако часто имеются основания полагать, что некоторые из них малы по сравнению с линейными эффектами. Операцию смешивания оценок принято условно записывать в виде выражений (6.23) где — математическое ожидание для соответствующего коэффициента. Эти генерирующие коэффициенты не могут быть раздельно оценены по плану, включающему всего четыре опыта, так как в этом случае неразличимы столбцы для линейных членов и парных произведений. Если, например, в дополнение к столбцам, приведенным в табл. 6.4, вычислить еще столбцы для произведениях х, то увидим, что элементы этого столбца в точности равны элементам столбцах Таким образом, сокращение числа опытов приводит к получению смешанных оценок для коэффициентов. , b ; b ; b 12 3 3 13 2 2 23 1 1 Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 189 Для того чтобы определить, какие коэффициенты смешаны, удобно пользоваться следующим приемом подставив хна место х 1 х 2 , получим соотношение х = х 1 х 2 , называемое генерирующим соотношением. Умножив обе части генерирующего соотношения на х, получим е т 3 2 1 X X X (6.24) Это произведение носит название определяющего контраста. Умножив поочередно определяющий контрастна х, х, х, находим ; ; 2 1 3 3 1 2 3 2 3 2 2 1 1 X X X X X X X X X X X X (6.25) Полученным соотношениям соответствует система смешанных оценок, те. 1 смешана с 23 , 2 — с 13 , ас Таким образом, при использовании ДФЭ необходимо иметь четкое представление о так называемой разрешающей способности дробных реплик, те. определить заранее, какие коэффициенты являются несмешанными оценками для соответствующих коэффициентов. Тогда в зависимости от постановки задачи подбирается дробная реплика, с помощью которой можно извлечь максимальную информацию из эксперимента. Таблица Планирование ДФЭ Номер План Генерирующие соотношения опыта X 0 X 1 X 2 X 3 X 4 =X 1 X 2 X 3 X 4 =X 1 X 2 1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 2 +1 +1 -1 -1 +1 -1 3 +1 -1 +1 -1 +1 -1 4 +1 +1 +1 -1 -1 +1 5 +1 -1 -1 +1 +1 +1 6 +1 +1 -1 +1 -1 -1 7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 190 Например, в задаче с четырьмя факторами (k = 4) в качестве генерирующего соотношения можно взять Х = Х 1 Х 2 Х 3 или любой из эффектов двойного взаимодействия, например Х = Х 1 Х 2 . Таблица планирования такого эксперимента представлена в табл. 6.5. В первом случае определяющий контраст X 4 2 = X 1 X 2 X 3 X 4 = 1. Получим оценку совместных оценок ; ; 234 1 1 4 3 2 1 b X X X X ; ; 134 2 2 4 3 1 2 b X X X X ; ; 124 3 3 4 2 1 3 b X X X X ; ; 123 4 4 3 2 1 4 b X X X X ; ; 23 14 14 3 2 4 1 b X X X X ; ; 34 12 12 4 3 2 1 b X X X X ; 24 13 13 4 2 В реальных задачах тройные взаимодействия бывают равными нулю значительно чаще, чем двойные. Значит, если по физическому смыслу задачи нас более всего интересуют оценки для линейных эффектов, следует использовать генерирующее соотношение X 4 = Во втором случае определяющий контраст выражается соотношением. При этом получим следующую систему оценок ; ; 24 1 1 4 2 1 b X X X ; ; 14 2 2 4 1 2 b X X X ; ; 1234 3 3 4 3 2 1 3 b X X X X X ; ; 12 4 4 2 1 4 b X X X ; ; 234 13 13 4 3 2 3 1 b X X X X X ; ; 134 23 23 4 3 1 3 2 b X X X X X ; 123 34 34 3 2 1 4 Следовательно, дробную реплику с генерирующим соотношением имеет смысл использовать, если нас более всего интересуют коэффициенты 12 , 23 , Дробную реплику, в которой Р линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, обозначают 2 k-P Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 191 Таким образом, планы первого порядка, оптимальные двухуровневые планы ПФЭ 2 k и ДФЭ 2 k-P имеют следующие преимущества 1) планы ортогональны, поэтому все вычисления просты 2) все коэффициенты определяются независимо один от другого) каждый коэффициент определяется по результатам всех n опытов 4) все коэффициенты регрессии определяются с одинаковой дисперсией, те. эти планы обладают и свойством ротатабель- ности. Выполним проверку в пакете Statistica, построим план ДФЭ для 4 факторов (рис. 6.4). Рис. 6.4. Результат расчет плана ДФЭ для 4 факторов в пакете Statistica Для четвертого фактора в пакете выбрно генерирующее соотношение X 4 = X 1 X 2 X 3 , (рис. 6.5). Рис. 6.5. Генерирующее соотношение плана ДФЭ для 4 факторов в пакете Statistica Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ. Разработка математической модели гидравлического режима методическойпечи В качестве примера рассмотрим разработку математической модели гидравлического режима четырехзонной методической печи с использованием теории планирования эксперимента. При планировании опытов используем методику проведения дробного факторного эксперимента (ДФЭ) первого порядка с двухуровневым варьированием факторов. Перед разработкой плана эксперимента на основе априорной информации были выявлены факторы, влияющие на величину давления в томильной зоне печи. К числу таких факторов относятся расходы топлива на каждую зону нагрева и угол поворота дымового клапана. Расходы воздуха на каждую зону в качестве факторов не фигурировали, поскольку схема управления горением топлива автоматически меняет расход воздуха при изменении расхода газа. Обозначим факторы x 1 — расход газа в томильной зоне, м 3 /ч; x 2 — расход газа во второй сварочной зоне, м 3 /ч; x 3 — расход газа впервой сварочной зоне, м 3 /ч; x 4 — расход газа в нижней сварочной зоне, м 3 /ч; x 5 — положение дымового клапана, % хода исполнительного механизма (рис. 6.6). Рис. 6.6. Положение факторов (X 1 , ..., X 5 ) и отклика (Y) при проведении исследования на методической печи Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 193 Реализация ПФЭ в этом случае при варьировании всех факторов на двух уровнях потребовала бы постановки 2 5 = 32 опытов. Будем предполагать, что эффекты взаимодействия факторов в исследуемом объекте маловероятны и пренебрежимо малы. Воспользуемся репликой ПФЭ, те. ДФЭ типа 2 5-2 , где формально 2 фактора заменены соответствующими произведениями остальных факторов (X 4 = X 1 X 2 , X 5 = X 1 X 2 X 3 ). Это позволит сократить число опытов до 2 3 = 8. Уровни варьирования факторов представлены в табл. 6.6. В табл. 6.7 приведены матрица планирования ДФЭ 2 5-2 и результаты эксперимента — значения выходной переменной (давления в томильной зоне методической печи. Таблица Уровни варьирования факторов Уровни факторов Факторы x 1 , м 3 /ч x 2 , м 3 /ч x 3 , м 3 /ч x 4 , м 3 /ч x 5 , % хода ИМ Основной (нулевой) 5250 3900 2650 1100 74 Нижний 4000 3100 1750 700 50 Верхний 6500 4700 3500 1500 98 Интервал варьирования 1250 800 900 400 24 Для обработки результатов эксперимента используем методику, изложенную ранее в параграфе 4.5. 1. Расчет построчных средних , * m * m j y 2 j y 1 j y j где m* — число повторных опытов (m*=2). Например, 55 , 2 2 ) 5 , 2 ( ) 6 , 2 ( 1 y Результаты расчета представлены в табл. 6.7. 2. Определение построчных (выборочных) дисперсий Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 005 , 0 1 2 )) 55 , 2 ( 6 , 2 ( )) 55 , 2 ( 5 , 2 ( ; 1 * ) ( 2 2 2 1 * 1 2 2 S m y y S m i j ji j Аналогично S 2 2 =0,005; S 3 2 =0,08; S 4 2 =1,28; S 5 2 =0,02; S 6 2 =0,08; S 7 2 =0,32; S 8 2 =0,405. Сумма построчных (выборочных) дисперсий S 2 =0,005+0,005+0,08+1,28+0,02+0,08+0,32+0,405=2,195. Таблица Матрица ДФЭ 2 5-2 с двумя параллельными опытами Факторы (кодированные значения) Переменная состояния отклик, кПа Построч строчная дисперсия Опыт 1 Опыт 2 Среднее Модель 1 1 -1 1 -1 -1 5,1 4,7 4,90 4,74 0,080 1 -1 -1 1 1 1 -1,1 0,5 -0,30 0,08 1,280 1 1 1 -1 1 -1 2,1 2,3 2,20 2,26 0,020 1 -1 1 -1 -1 1 -2,0 -2,4 -2,20 -2,41 0,080 1 1 -1 -1 -1 1 0,0 0,8 0,40 0,08 0,320 1 -1 -1 -1 1 -1 4,2 5,1 4,65 4,74 0,405 3. Определение однородности дисперсий по критерию Кохрена: 5831 , 0 195 , 2 28 , 1 2 2 max S S G j эксп Далее по табл. П находим G ;m;n . Для = 0,05, m = m*-1 = 2-1 и n = 8 значение G 0,05;1;8 = 0,6798. Поскольку эксп < теор, то дисперсии однородны. 4. Определение коэффициентов в уравнении регрессии Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 8 65 , 4 4 , 0 2 , 2 2 , 2 3 , 0 9 , 4 25 , 2 55 , 2 1 0 0 n x y b n j j j ; 069 , 0 8 65 , 4 4 , 0 2 , 2 2 , 2 3 , 0 9 , 4 25 , 2 55 , 2 1 1 1 n x y b n j j j ; 244 , 1 8 65 , 4 4 , 0 2 , 2 2 , 2 3 , 0 9 , 4 25 , 2 55 , 2 1 2 2 n x y b n j j j ; 094 , 0 8 65 , 4 4 , 0 2 , 2 2 , 2 3 , 0 9 , 4 25 , 2 55 , 2 1 3 3 n x y b n j j j ; 169 , 0 8 65 , 4 4 , 0 2 , 2 2 , 2 3 , 0 9 , 4 25 , 2 55 , 2 1 4 4 n x y b n j j j 331 , 2 8 65 , 4 4 , 0 2 , 2 2 , 2 3 , 0 9 , 4 25 , 2 55 , 2 1 5 5 n x y b n j j j 5. Проверка значимости коэффициентов регрессии. Предварительно определим дисперсию воспроизводимости (дисперсию отклика 2744 , 0 8 195 , 2 n S n S S 2 n 1 j 2 j 2 восп Дисперсия коэффициентов уравнения регрессии 131 , 0 S S ; 01715 , 0 2 8 2744 , 0 * m n S S 2 b b 2 восп 2 b Находим значение доверительного интервала для коэффициентов регрессии b S m ; t j b Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ Здесь m=n(m*-1)=8(2-1)=8, тогда теоретическое значение критерия Стьюдента t 0,05;8 =2,31 (можно рассчитать, используя функцию электронных таблиц Microsoft Excel СТЬЮДРАС- ПОБР(0,05;8)=2,31), откуда b j =2,31 0,131=0,303. Из сопоставления доверительного интервала b j с абсолютными значениями коэффициентов модели следует, что b 1 =0,069<0,303; b 3 =0,094<0,303 и b 4 =0,169<0,303. Эти коэффициенты оказались незначимы, а остальные значимы. Таким образом, окончательное уравнение регрессии запишется в виде 2 2 Х 2,331 - 1,244Х - 1,1691,169 y Результаты расчета выходных параметров по уравнению полученной модели i y занесены в табл. 6.7. 6. Проверка адекватности полученной модели. Предварительно определим дисперсию адекватности ) ( * 1 2 2 ад l n y y m S n i i i В данном случае m*=2; n=8; l=3, ив результате имеем 2 2 2 ад 3 , 0 ( ) 74 , 4 9 , 4 ( ) 66 , 2 25 , 2 ( ) 41 , 2 55 , 2 ( 3 8 2 S 1386 , 0 ] ) 74 , 4 65 , 4 ( ) 08 , 0 4 , 0 ( ) 41 , 2 2 , 2 ( ) 26 , 2 2 , 2 ( 2 2 2 С учетом ранее найденной выборочной дисперсии S 2 = 2,195 определяем дисперсию воспроизводимости 274 , 0 8 195 , 2 n S S 2 2 восп Экспериментальное значение критерия Фишера следующее Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 505 , 0 2744 , 0 1386 , 0 2 восп 2 ад эксп S S F Теоретическое значение критерия Фишера F ;m1;m2 при = 0,05 можно определить по справочнику [11], табл. Пили с помощью встроенной функции электронных таблиц Microsoft Excel |