МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ. Металлургия Екатеринбург 2015
 Скачать 7.01 Mb.
|
|
6.2. Пример хорошего и плохого эксперимента Рассмотрим пример — взвешивание трех объектов A, B, C на аналитических весах. Первый — традиционный — подход предусматривает последовательное взвешивание каждого из образцов. Исследователь вначале делает холостое взвешивание для определения нулевой точки весов, а затем по очереди взвешивает каждый из Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 174 образцов. Это пример традиционного использования однофакторного эксперимента, те. здесь исследователь изучает реакцию на поведение каждого из факторов в отдельности. Традиционная схема взвешивания трех объектов представлена в табл. 6.1. Таблица Традиционное проведение эксперимента Номер опыта А В С Результат взвешивания 1 -1 -1 -1 y 0 2 +1 -1 -1 y 1 3 -1 +1 -1 y 2 4 -1 -1 +1 y 3 * ) Когда образец кладется навесы, в таблице ставится +1, когда он навесах отсутствует, то -1. Масса каждого объекта оценивается только по результатам двух опытов того опыта, в котором навесы был положен изучаемый объект, и холостого опыта. Например, масса объекта A: А. Как обычно, ошибка взвешивания предполагается независимой от взвешиваемой величины, аддитивной и имеющей одно и тоже распределение. Тогда дисперсия измерения веса образца следующая , 2 2 2 y 2 y 2 A 0 1 (6.3) где 2 — дисперсия любого взвешивания. Такими же будут и дисперсии весов образцов B и C. Приведем теперь тот же эксперимент по несколько иной схеме, задаваемой матрицей планирования, приведенной в табл. 6.2. Таблица Планирование эксперимента при взвешивании трех объектов Номер опыта А В С Результат взвешивания 1 +1 -1 -1 y 1 2 -1 +1 -1 y 2 3 -1 -1 +1 y 3 4 +1 +1 +1 y 4 Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 175 В первых трех опытах последовательно взвешивают объекты A, B, C, в последнем опыте тоже взвешивают объекты A, B, C, но все три объекта вместе, а холостое взвешивание не производится. Легко заметить, что масса каждого объекта будет задаваться формулами ). 4 y 2 y 1 y 3 y ( 2 1 C m ); 4 y 3 y 1 y 2 y ( 2 1 B m ); 4 y 3 y 2 y 1 y ( 2 1 A m (6.4) Масса объекта A, вычисленная по приведенной выше формуле, оказывается неискаженной массами весов объектов B итак как масса каждого из них входит в формулу для массы А дважды с разными знаками. Найдем теперь дисперсию, связанную с ошибкой взвешивания, по новой схеме постановки экспериментов 2 ) 2 y 2 y 2 y 2 y ( 4 1 2 A 4 3 2 1 (6.5) Аналогичным образом находим 2 2 C , 2 Мы видим, что при новой схеме дисперсия взвешивания получается вдвое меньше, чем при традиционной схеме, хотя в обоих случаях на взвешивание трех объектов затрачивалось по четыре опыта. Зададимся вопросом В результате чего происходит увеличение точности экспериментов в два раза. В первом случае эксперимент был поставлен так, что каждую массу мы получали лишь из двух взвешиваний. При новой схеме взвешивания каждая масса вычислялась уже по результатам всех четырех взвешиваний. Вторую схему можно назвать многофакторной, поскольку здесь Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 176 оперируют всеми факторами так, что каждая масса вычислялась по результатам сразу всех опытов, проведенных в данной серии экспериментов вот главная причина уменьшения дисперсии вдвое. Не подумайте, что мы зря потратили время на обсуждение такой тривиальной задачи. Точно такой же подход используется при изучении других, более сложных задач. Таким образом, использование теории планирования эксперимента может явиться одним из путей существенного повышения эффективности многофакторных экспериментальных исследований. В планировании экспериментов применяются в основном планы первого и второго порядков. Планы более высоких порядков используются в инженерной практике редко. В связи с этим далее приводится краткое изложение методики составления планов эксперимента для моделей первого и второго порядков. Под планами первого порядка понимают такие планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего только первые степени факторов и их произведения) Планы второго порядка позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащего и вторые степени факторов) Нахождение уравнения регрессии методом планирования экспериментов состоит из следующих этапов 1) выбор основных факторов и их уровней 2) планирование и проведение собственно эксперимента 3) определение коэффициентов уравнения регрессии 4) статистический анализ результатов эксперимента. Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ. Планирование первого порядка На первой стадии исследования обычно принимают полином первой степени. Так, для трехфакторной задачи теоретическое уравнение регрессии имеет вид 3 2 1 123 3 1 , 3 1 0 x x x x x x y u i u i j i iu i i i (6.8) Уравнение регрессии, получаемое на основании результатов эксперимента, в отличие от приведенного теоретического уравнения, имеет вид , 3 2 1 123 3 1 , 3 1 0 x x x b x x b x b b y u i u i u i iu i i i (6.9) где коэффициенты регрессии b 0 , b 1 , ..., b 3 , ..., b 123 являются оценками для теоретических коэффициентов регрессии, те. b , b , b 123 123 iu iu Члены, содержащие произведениях х х 2 х 3 и т.д., называют членами, отражающими попарное взаимодействие факторов, члены видах 1х2х3 — членами тройного взаимодействия. 6.3.1. Выбор основных факторов и их уровней В качестве факторов можно выбирать только контролируемые и управляемые переменные, те. такие, которые исследователь может поддерживать постоянными в течение каждого опыта на заданном уровне. В число факторов должны быть включены параметры процесса, оказывающие наиболее сильное влияние на функцию отклика. Необходимо заметить, что, несмотря на всю заманчивость и очевидные преимущества активного спланированного эксперимента перед Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 178 пассивным, в его применении имеется целый ряд трудностей, связанных с определенными ограничениями на его реализацию. Важнейшим условием применимости этого подхода является управляемость процессов по каждому из выбранных факторов, те. возможность независимого изменения каждого из этих факторов и поддержания его на заданном уровне в период проведения опытов. Для каждого фактора необходимо указать тот интервал изменения параметров, в пределах которого ставится исследование. Для этого на основе априорной информации устанавливаются ориентировочные значения факторов x 10 , x 20 , ..., x i0 , ..., x k0 . Этой комбинации значений факторов соответствует точка в многомерном факторном пространстве, которая принимается за исходную точку. Координаты этой точки принимаются за основной (нулевой) уровень. Интервалом варьирования факторов называется некоторое число каждое для соответствующего фактора, прибавление которого кос- новному уровню дает верхний, а вычитание — нижний пределы. Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень составлял +1, нижний –1, а основной — 0. Для факторов с непрерывной областью определения это достигается с помощью преобразования (кодирования) факторов i x 0 i x i x i X (6.10) В теории планирования экспериментов показано, что минимально необходимое число уровней факторов на единицу больше порядка уравнения. 6.3.2. Планирование эксперимента Рассмотрим сначала частный случай, когда функция отклика линейно зависит от трех независимых факторов. Уравнение регрессии в этом случае имеет вида план эксперимента представлен в табл. 6.3. Здесь добавлен столбец фиктивной переменной х, нужный для Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 179 оценки свободного члена b 0 . После реализации плана получают 8 уравнений с 8 неизвестными, их решение и даст оценку всех 8 коэффициентов регрессии b 0 , b 1 , ..., b 3 , b 12 , ..., Таблица Таблица полного факторного эксперимента для трех факторов Номер План Результат опыта X 0 Х Х Х Х 1 Х 2 Х 1 Х 3 Х 2 Х 3 Х 1 Х 2 Х 3 y j 1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 y 1 2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 y 2 3 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 y 3 4 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 y 4 5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 y 5 6 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 y 6 7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 y 7 8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 План, в котором число опытов равно числу определяемых коэффициентов, называется насыщенным. Заметим, что мы использовали все точки с крайними координатами, те. 1, или, говоря другими словами, всевозможные комбинации выбранных уровней. В самом деле, всех возможных комбинаций число факторов, и мы все их использовали. Если эксперименты проводятся только на двух уровнях (при двух значениях факторов) и при этом в процессе эксперимента осуществляются всевозможные неповторяющиеся комбинации из k факторов, то постановка опытов по такому плану носит название полного факторного эксперимента (ПФЭ) или Иными словами, полный факторный эксперимент (ПФЭ) — это эксперимент, реализующий всевозможные неповторяющиеся комбинации уровней независимых факторов. Кодированный план геометрически может быть интерпретирован в виде куба, восемь вершин которого представляют собой восемь экспериментальных точек (рис. 6.1). При числе факторов k = 2 построение матрицы ПФЭ не вызывает затруднений, при увеличении же числа факторов возникает необходимость в некоторых специальных приемах построения матрицы. Первый прием основан на чередовании знаков. В первом Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 180 столбце (для х) знаки чередуются поочередно. Во втором (для х) — через 2, в третьем (для х) — через 4 и т.д. по степеням двойки Этот подходи использован при составлении плана, представленного в табл. 6.3. Второй прием основан на последовательном достраивании матрицы. Для этого при добавлении нового фактора необходимо повторить комбинации уровней исходного плана — сначала при значениях нового фактора на верхнем уровне, а затем — на нижнем. Матрица ПФЭ обладает следующими свойствами 1) свойство симметричности алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю (за исключением столбца, соответствующего свободному члену , 0 Х (6.11) где i — номер фактора j — номер опыта 2) свойство нормирования сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов n X n j ij 1 2 ; (6.12) 3) свойство ортогональности скалярное произведение всех Рис. 6.1. Геометрическое изображение ПФЭ Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 181 вектор-столбцов (сумма почленных произведений элементов любых двух вектор-столбцов матрицы) равно нулю u. i , 0 1 n j uj ij X X (6.13) Планы, для которых выполняется свойство 3, называют ортогональными. Благодаря этому свойству резко уменьшаются трудности, связанные с расчетом коэффициентов уравнения регрессии. Поскольку результаты наблюдений отклика носят случайный характер, приходится в каждой точке плана проводить не один, а m* параллельных опытов (обычно m*=2 4), осреднение результатов которых, как уже отмечалось, дает возможность уменьшить погрешности оценки истинного значения отклика враз. В каждой серии экспериментов их последовательность рандоми- зируется, тес помощью таблиц случайных чисел определяется случайная последовательность реализации экспериментов. Рандомизация дает возможность свести эффект некоторого случайного фактора к случайной погрешности. Это позволяет в определенной степени исключить предвзятость и субъективизм исследователя. 1. Меню Statistics — Industrial Statistics & Six Sigma – Experi- mental Design (DOE) 2. Далее следует выбрать Standard designs (Box, Hunter, & Hunter) и указать число факторов 3. 3. Построим план ПФЭ для 3 факторов (рис. 6.2.), опыты выполняются в обычном порядке. Рис. 6.2. Результат расчет плана ПФЭ для 3 факторов в пакете Statistica Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 182 Пакет не приводит столбец фиктивной переменной Ха также отсутствуют эффекты взаимодействия между факторами. 6.3.3. Определение коэффициентов уравнения регрессии Воспользуемся свойствами ПФЭ для определения коэффициентов уравнения регрессии методом наименьших квадратов 2 x 2 b 1 x 1 b 0 b y 0 j 2 X n 1 j j 1 X 2 b n 1 j 2 j 1 X 1 b n 1 j j 1 X 0 b n 1 j j 1 X j y ; 0 j 1 X n 1 j j 2 X 2 b j 1 X 1 b 0 b j y 2 1 b ; b min n 1 j 2 j y j y i (6.14) Воспользуемся свойствами ПФЭ: симметричности) нормирования) ортогональности) ; 0 j 2 X j 1 X 2 b n n 1 j j 0 X j y 0 b ; n n 1 j j 2 X j y 2 b ; n n 1 j j 1 X j y 1 b (6.15) Следовательно, любые коэффициенты уравнения регрессии определяются скалярным произведением столбца y на соответствующий столбец X. Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 183 Можно показать, что аналогичным образом определяются коэффициенты, если в уравнении регрессии (6.6) учитываются линейные взаимодействия (двойные, тройные n n 1 j j 3 X 2 X 1 X j y 123 b ; n n 1 j j 2 X 1 X j y 12 b и т.д. (6.16) Следует обратить особое внимание на то, что все линейные коэффициенты независимы, так как в формулы для их расчета (6.15), (6.16) входят свои одноименные переменные. Поэтому каждый коэффициент характеризует роль соответствующей переменной в процессе или силу влияния факторов. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает этот фактор. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора отклик увеличивается, а если минус — уменьшается. В результате определения уравнения регрессии может получиться так, что один (или несколько) коэффициентов не очень большие и окажутся незначимыми. Факторы, имеющие коэффициенты, незначи- мо отличающиеся от нуля, могут быть выведены из состава уравнения, так каких влияние на параметры отклика будет отнесено к ошибке эксперимента. Учитывая ортогональность плана, оставшиеся коэффициенты уравнения регрессии можно не пересчитывать. При отсутствии ортогональности плана эксперимента коэффициенты необходимо пересчитывать заново. 6.3.4. Статистический анализ результатов эксперимента Планирование эксперимента исходит из статистического характера зависимостей, поэтому полученные уравнения подвергаются тщательному статистическому анализу с целью извлечь из результатов эксперимента максимум информации и убедиться в достоверности полученной зависимости и ее точности. Процедура проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии и его адекватности Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 184 принципиально не отличается от описания, данного в параграфах 4.5.1 и 4.5.2, поэтому остановимся только на отдельных моментах. Как уже отмечалось ранее, каждый эксперимент несет в себе ка- кую-то погрешность, для повышения надежности результатов производятся для каждой строки таблицы планирования повторения опытов раз. Построчные (выборочные) дисперсии подсчитываются по формуле , 1 * * 1 2 2 m y y S m i j i j j (6.17) где i j y j y — средний отклик по m* опытам в точке с номером j. Дисперсия воспроизводимости отклика 2 восп S есть среднеарифметическое дисперсий всех n различных вариантов опытов 1 * 1 * 1 2 1 2 2 m n y y n S S n j m i j i j n j j восп (6.18) Прежде чем производить объединение дисперсий, следует убедиться в их однородности. Проверка производится с помощью критерия Фишера или Кохрена (см. гл. 3). Для оценки значимости коэффициентов, прежде всего, находят дисперсию коэффициентов регрессии. Учитывая свойства 1–3 плана, представленного в табл. 6.3, из выражений) и (а) при одинаковом дублировании опытов по точкам с числом повторных опытов m* получим , n * m 2 восп S 2 b S (6.19) а при отсутствии дублирования будем иметь Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 185 n 2 восп S 2 b S (6.19а) Следовательно, все коэффициенты уравнения регрессии ПФЭ имеют одинаковую точность (дисперсию. В этом заключается принципиальное отличие коэффициентов уравнения регрессии, полученных по плану табл. 6.3, от коэффициентов уравнений, полученных пассивным экспериментом (см. параграф 4.5.2). Планы, по результатам которых коэффициенты уравнения регрессии определяются с одинаковой дисперсией, называются рота- табельными. В связи с этим план, представленный в табл, является не только ортогональным, но ротатабельным. В дальнейшем проверка значимости каждого коэффициента производится с использованием критерия Стьюдента (см. гл. 4). Статистически незначимые коэффициенты исключаются из уравнения, а остальные коэффициенты при этом не пересчитываются. После этого уравнение регрессии составляется в виде уравнения связи выходного параметра y и переменных, включающего только значимые коэффициенты. После вычисления коэффициентов уравнения следует, прежде всего, проверить его пригодность или адекватность. Для этого достаточно оценить отклонение выходной величины y , предсказанной уравнением регрессии, от результатов эксперимента y в различных точках. Рассеяние результатов эксперимента относительно уравнения регрессии, аппроксимирующего искомую зависимость, можно, как уже было показано ранее, охарактеризовать с помощью дисперсии адекватности, оценка которой, справедливая при одинаковом числе дублирующих опытов, находится по формуле 1 ад (6.20) Здесь n — число опытов (вариантов l=k+1, где k — число членов в уравнении регрессии. Проверка адекватности состоит в выяснении соотношения Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 186 между дисперсией адекватности ад и дисперсией воспроизводимости 2 восп S и проводится с помощью критерия Фишера, который в данном случае рассчитывается как 2 2 восп ад S S F (6.21) Если вычисленное значение критерия меньше теоретического F ;m1;m2 для соответствующих степеней свободы m 1 =n-l, m 2 =n(m*-1), при заданном уровне значимости , то описание свойств объекта уравнением регрессии признается адекватным объекту. Адекватность модели может быть достигнута уменьшением интервала варьирования факторов, а если это не дает результата, то переходом к плану второго порядка. |