МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ. Металлургия Екатеринбург 2015
 Скачать 7.01 Mb.
|
|
Глава 5. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ 5.1. Оценка погрешностей определения величин функций При изложении материалов, касающихся оценки погрешностей результатов наблюдений, будем в дальнейшем придерживаться методологии решении этих задач, представленной в учебном пособии [2]. Необходимость в определении погрешности величин функций по известным значениям погрешностей их аргументов (факторов) возникает при оценке точности результатов математического эксперимента, а также результатов так называемых косвенных измерений. Под косвенным измерением понимается такое, в результате которого значение искомой величины y рассчитывают по известной зависимости ее от других величин х, х, ..., х к, измеренных другим способом, те. ), k x ,..., i x ,..., 2 x , 1 x ( f y (5.1) где х, х, ..., х i ,..., х к — аргументы, определенные независимо друг от друга. В дальнейшем будем полагать, что погрешности определения величины y обусловлены лишь неточностью численных значений величин х, х, ..., х i ,..., х к, входящих под знак функции. Обозначим истинное значение го параметра через x i , среднее значение — через i x , а абсолютную погрешность его измерения — через х i . Разложим функцию f(x 1 , x 2 , ..., x k ) вряд Тейлора, сохраняя члены с нулевой и первыми степенями погрешностей , i x x x k 1 i i x ) k x ,..., i x ,..., 1 x ( f ) k x ,..., i x ,..., 1 x ( f ) k x ,..., i x ,..., 1 x ( f i i Глава ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ 163 где все производные i i x x i x ) k x ,..., i x ,..., 1 x ( f вычислены при значениях i x Тогда , k 1 i 2 Δy k 1 i 2 Δx 2 i x i x x ,...,x ,...,x f(x 2 k 1 i Δx i x i x x ,...,x ,...,x f(x 2 ) x ,..., x ,..., x f( ) ,...,x ,...,x f(x 2 Δy i i i k i 1 i i k i 1 k i 1 k i 1 (5.2) где i x x x i x k x ,..., 1 x ( f i y Следовательно, y i — это составляющие погрешности функции, обусловленные погрешностью го аргумента x Доверительная вероятность, соответствующая величине y i , численно равна доверительной вероятности, с которой найдена погрешность Для относительной погрешности вместо соотношения (5.2) используют выражение x x ) f ln( x x f f 1 i i i i * y i (5.3) Соотношения (5.2) и (5.3) применимы для расчета как случайных, таки систематических погрешностей. Глава ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ 164 Общая абсолютная ( y ) и относительная ( * ) погрешности определения функции могут быть найдены с помощью выражений ; k 1 i 2 i y y (5.4) k 1 i 2 * yi * (5.5) Предполагается, что все составляющие имеют нормальный закон распределения. Частные производные, входящие в соотношения (5.2) и (5.3), не всегда могут быть найдены аналитически. Часто не удается разрешить искомую задачу относительно искомой величины y в явном виде. В этих случаях полезно использовать численные методы определения производных. Пример. Рассмотрим погрешность определения массового расхода газового потока стандартным сужающим устройством. При этом будем считать, что случайная составляющая погрешности отсутствует, а поправка на сжимаемость потока равна единице. Тогда с учетом выражения для определения массового расхода вещества , 2 ) ( 2 0 2 1 0 h F p p F G (5.6) где F 0 — площадь сужающего устройства — поправочный множитель на сжимаемость вещества, расход которого измеряется ( =1); — плотность потока перед сужающим устройством h — перепад статического давления на сужающем устройстве, — коэффициент расхода. Используя соотношения (5.2) и (5.4), получим следующие формулы для расчета абсолютной и относительной погрешности определения расхода Глава ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ h G 2 G G (5.7) , h h 2 1 G h h G G G 2 2 2 2 * G (5.8) где h 2 Учтем далее погрешности определения плотности потоков. В соответствии с уравнением состояния газа = p/RT, где p и T — соответственно абсолютное давление и температура газа перед сужающим устройством, R — универсальная газовая постоянная. Абсолютная погрешность определения плотности потока без учета погрешности газовой постоянной составит , 2 T T 2 p p (5.9) где относительная погрешность 2 T T 2 p p * (5.10) Тогда относительная погрешность определения массового расхода газового потока будет h h T T p p 2 1 2 2 2 * G (5.11) Глава ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ 166 Здесь p, T, h — значения измеренных параметров p, T, h — их абсолютные погрешности. Численные значения p, T, h определяются в основном инструментальной погрешностью и могут быть вычислены с учетом класса точности используемых приборов для измерения и h. Погрешность измерения T определяется с учетом вида измерительного устройства температуры. Абсолютная погрешность определения массового расхода газового потока , * G G G (5.12) где G — значение расхода, измеренное экспериментально. Таким образом, истинное значение расхода будет равно ист) 5.2. Обратная задача теории экспериментальных погрешностей Целью обратной задачи является определение погрешностей ве- личин-аргументов, если известны погрешности функций и вид функциональной зависимости. Необходимость в решении таких задач возникает при выборе того или иного комплекса измерительной аппаратуры или метода определения искомой величины, позволяющих найти значение этой величины с определенной погрешностью. Обратная задача в общем случае является неопределенной, поскольку имеется одно уравнение с k неизвестными. Иначе говоря, удовлетворить условию задачи можно при различных комбинациях значений погрешностей аргументов. Очень часто удовлетворительное решение обратной задачи оказывается возможным при использовании так называемого принципа равных влияний. Он заключается в том, что при решении задачи накладывается дополнительное требование, чтобы все члены в правой части выражений (5.4) и (5.5) оказывали одинаковое влияние на погрешности функции. Глава ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ 167 Применяя принцип равных влияний к относительной погрешности функции, определяемой соотношением (5.5), получим [2] , 2 * 2 * 2 * 2 * 2 1 k k y y y (5.14) * k i y (5.15) С учетом (5.3) легко получить выражение для определения абсолютных и относительных xi * погрешностей всех аргументов ; i x k x ,..., 2 x , 1 x ( f ln 1 k i x (5.16) ,..., , ( ln 1 2 1 * i k i x x x x x f k x i (5.17) В дальнейшем могут иметь место три возможных случая значения погрешностей всех аргументов таковы, что лежат в пределах точности, доступной при измерениях с помощью имеющихся средств измерений значения некоторых погрешностей настолько малы, что обеспечить соответствующую точность с помощью имеющихся средств измерений не представляется возможным значения всех погрешностей малы, и обеспечить такую точность невозможно. В первом случае проблем не возникает и поставленная задача имеет решение. Во втором случае прежде всего следует попытаться решить задачу путем увеличения погрешности тех аргументов, у которых оказалось невозможным обеспечить требуемую первоначальную точность измерений при одновременном уменьшении погрешностей остальных аргументов. Глава ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ 168 Если этот путь не дает приемлемых результатов, то остается один выход, связанный с поиском другого метода определения величины. Этот выход является единственно возможными для случая, когда значения погрешностей всех аргументов настолько малы, что обеспечить требуемую их точность с помощью имеющихся средств измерений не представляется возможным. При выборе другого метода измерений меняется вид функции y =f(X), а следовательно, меняются аргументы и значения их погрешностей. Пример. Пусть требуется определить объем цилиндра диаметром d = 20 мм и высотой h = 50 мм с относительной погрешностью. Найдем погрешности измерения величин d и h, соответствующие этому же значению доверительной вероятности, при которых исходная задача будет разрешена. Учитывая, что объем цилиндра 4 h 2 d V и приняв закон распределения нормальным, с помощью соотношения (5.16) найдем мм d ln( 1 мм 2 d 2 d ) 4 / h d ln( 1 2 d * V 2 * V * V 2 * V 5.3. Определение наивыгоднейших условий эксперимента Под наивыгоднейшими условиями эксперимента понимаются такие, для которых погрешность результата эксперимента при фиксированном значении доверительной вероятности имеет наименьшее значение. Глава ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ 169 Математически рассматриваемая задача решается путем отыскания минимума функции (5.5) [2]. Условия экстремума погрешности * имеют вид 0 k x * ...; ; 0 2 x * ; 0 1 x * (5.18) Раскрывая величину * в соответствии с выражениями (5.3) и (5.5), систему уравнений (5.18) можно представить в форме 0 2 2 x 2 n x ) f ln( 2 2 x ) f ln( 2 1 x n x 1 x ) f ln( 2 1 x ) f ln( ; 0 2 2 x 2 2 x ) f ln( 2 2 x ) f ln( 2 1 x 2 x 1 x ) f ln( 2 1 x ) f ln( ; 0 2 2 x 2 x 1 x ) f ln( 2 2 x ) f ln( 2 1 x 2 1 x ) f ln( 2 1 x ) f ln( (5.19) Система (5.19) состоит из n уравнений и содержит n неизвестных. Если решение этой системы существует, то можно найти численные значения величин x 1 , x 2 , ..., x n , при которых погрешность * принимает экстремальное значение. Дальнейший анализ направленна получение ответа, соответствует ли найденный экстремум минимуму величины * . С этой целью вычисляются значения вторых производных 2 i x * 2 при найденных значениях переменных x Если вторые производные окажутся положительными, то это соответствует минимуму величины * Глава ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ. Контрольные вопросы 1. Что такое погрешность определения величин функций 2. С какой целью рассчитывают погрешность 3. Какие виды погрешностей вызнаете Как они определяются 4. В чем заключается цель решения обратной задачи теории экспериментальных погрешностей 5. Что понимают подвыражением наивыгоднейшие условия проведения эксперимента 6. Какова основная идея математического решения задачи поиска наивыгоднейших условий проведения эксперимента Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 171 Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 6.1. Основные определения и понятия Ранее мы рассматривали пассивный эксперимент, и математическая статистика использовалась, в частности, при обработке экспериментальных данных. На стадии постановки эксперимента она не применялась. При активном же эксперименте математическая статистика используется уже на стадии постановки и планирования эксперимента. Пассивный эксперимент предусматривает накопление информации в режиме нормальной эксплуатации, но это требует много времени и затрат. Поэтому предлагается не ждать милостей от природы, а активно вмешиваться вход технологического процесса разбалтывать (покачивать) его тихонько, но целенаправленно, и быстро накапливать при этом информацию. Программа покачивания как рази задается планом. Сам метод планирования может изменяться в зависимости от вида задачи, но принцип покачивания остается. Теория планирования эксперимента началась с работ знаменитого английского ученого Р. Фишера в х годах XX столетия, использовавшего ее для решения агробиологических задач. В дальнейшем это направление было развито в пятидесятых годах в США Дж. Боксом и его сотрудниками. Отечественные ученые также внесли большой вклад в развитие теории эксперимента, предложив рядно- вых методов, а инженеры-исследователи все шире применяют эти методы на практике. Под математической теорией планирования эксперимента будем понимать науку о способах составления экономичных экспериментальных планов, которые позволяют извлекать наибольшее количество информации об объекте исследования, о способах проведения эксперимента, о способах обработки экспериментальных данных и их использования для оптимизации производственных процессов, атак- же инженерных расчетов. Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 172 Принятая терминология — это либо перевод терминов с английского, либо просто их перенос в оригинале, и это необходимо иметь ввиду при чтении литературы по теории планирования экспериментов. Истинный вид функции отклика y = f(x 1 , ..., x i , ..., x k ) до эксперимента чаще всего неизвестен, в связи с чем для математического описания поверхности отклика используют уравнение x x x x y k 1 i 2 i ii k 1 u , i u i iu k 1 i i i 0 , (6.1) где x i , x u — переменные факторы при i=1, ..., k; u=1, ..., k; i u; 0 2 2 0 2 0 2 ; ; i ii u i iu i i x f x x f x f — коэффициенты. Это уравнение является разложением вряд Тейлора неизвестной функции отклика в окрестности точки с x i =x На практике по результатам эксперимента производится обработка данных по методу наименьших квадратов. Этот метод позволяет найти оценку b коэффициентов , и данный полином заменяется уравнением вида 1 2 1 , 1 0 k i i ii k u i u i iu k i i i x b x x b x b b y , (6.2) которое является регрессионной моделью (моделью регрессионного анализа. В этом выражении y означает модельное, те. рассчитываемое по уравнению модели, значение выхода. Коэффициенты регрессии определяются экспериментально и служат для статистической оценки теоретических коэффициентов, те. , , , 0 В регрессионной модели члены второй степени x i x u , x i 2 характеризуют кривизну поверхности отклика. Чем больше кривизна этой поверхности, тем больше в модели регрессии членов высшей степени. Глава 6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 173 На практике чаще всего стремятся ограничиться линейной моделью. Последовательность активного эксперимента заключается в следующем) разрабатывается схема проведения исследований, те. выполняется планирование эксперимента. При планировании экспериментов обычно требуется с наименьшими затратами и с необходимой точностью либо построить регрессионную модель процесса, либо определить его оптимальные условия 2) осуществляется реализация опыта по заранее составленному исследователем плану, те. осуществляется сам активный эксперимент) выполняется обработка результатов измерений, их анализ и принятие решений. Таким образом, планирование эксперимента — это процедура выбора условий проведения опытов, их количества, необходимых и достаточных для решения задач с поставленной точностью. Использование теории планирования эксперимента обеспечивает минимизацию, те. предельное сокращение необходимого числа опытов одновременное варьирование всех факторов выбор четкой стратегии, что позволяет принимать обоснованные решения после каждой серии опытов минимизацию ошибок эксперимента за счет использования специальных проверок. Для иллюстрации некоторых из этих положений воспользуемся ставшим уже классическим примером из книги В.В. Налимова, Т.И. Голиковой [7]. |