Координаты вектора в пространстве. координаты вектора в пространстве 10ь класс решения. Метод координат в пространстве

• Название: Метод координат в пространстве
• Анкор: Координаты вектора в пространстве
• Дата: 22.02.2023
• Размер: 0.7 Mb.
• Имя файла: координаты вектора в пространстве 10ь класс решения.docx
• Тип: Документы; #949900
• страница: 1 из 4

Метод координат в пространстве

Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат),  Оси координат обозначаются так: OX- ось абсцисс OY- ось ординат OZ- ось аппликат точка их пересечения O – началом координат,  а плоскости xOy, xOz и yOz – координатными плоскостями.  В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. М(x; y; z).

Прямоугольная система координат в пространстве

Действия над векторами:

Сложение векторов

Вычитание векторов

Умножение вектора на число k.

Координаты середины отрезка AB: А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2). Точка М середина отрезка AB.

Вычисление длины вектора по его координатам:

Расстояние между двумя точками. А(x1;y1;z1) и B(x2;y2;z2).

Вычисление координат вектора . Если А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2).

Скалярное произведение векторов и выражается формулой:

Перпендикулярность векторов: ;

Коллинеарность векторов: ; , если координаты векторов не равны нулю.

Косинус угла между ненулевыми векторами векторов и вычисляется по формуле:

Задачи по теме «векторы в пространстве»

А

1.Даны координаты точек А(-3; 2; -1), В(2; -1;-3), С(1; -4; 3), Д(-1; 2; -2).
Найдите | 2АВ+3СД |
Решение:

(2+3; -1-2;-3+1)=(5;-3;-2)

(-1-1;2+4;-2-3)=(-2;6;-5).

2 +3 =(10+(-6);-6+18;-4-15)=(4;12;-19).

+3 = =

Ответ:

2. Даны координаты точек С(3; -2; 1), Д(-1; 2; 1), М(2; -3;3), N(-1; 1; -2). Найдите косинус угла между векторами и .

Решение:

cosα=

CД(-4;4;0) = =4

MN=(-3;4;-5) = =5

Cosα= = =0,7

Ответ:0,7
3. Вычислите угол между векторами (2; -2; 0) и (3; 0; -3).

Решение:

Cos =

ab=2*3+(-2)*0+(-3)*0=6

= =2

= =3

cos = =

=60⁰

Ответ :60⁰

4. При каком значении n данные векторы перпендикулярны: (2; -1;3) и (1;3; n)?

Решение:

ab=2*1-3*(-1)+3n

3n-1=0

3n=1

n=

Ответ:

5.Вычислите координаты вектора 2 +3 + по координатам векторов: (3;1; 1), (-2;0;2)

Решение:

2 + =(2*3;2*1;2*1)+(3*(-2);3*0;3*2)+(1;-1;0)=(6-6+1;2+0-1;2+6)=(1;1;8)
Ответ:(1;1;8)

6.Вычислите значение k , при котором скалярное произведение векторов (2;k;-1) и

(3; -1; 2k) равно(-5)

Решение:

ab=2*3-k-2k

6-k-2k=0

-3k=-11

k=

Ответ:

7.Даны векторы: (-3;-1;2), (5;-2;7). Найдите координаты вектора: - +3 .

Решение:

- =(3;1;-2)+(3*5+3*(-2)+3*7)=(18;-5;-19)

Ответ:(18;-5;-19)

8.При каких значениях x и у векторы а(х;-2;5) и b(1;у;-3) коллинеарные?

Решение:

= - свойство коллинеарных векторов

-5 =-6 =

3х=-5 x=
Ответ:x= =
9.Вычислите длину вектора 2 + 3 , если (3; 1;0), (0;1;-1).

Решение:

=4a +12ab+9b

9+1=10

=1+1=2

=4*10+12+9*2=40+30=70

=

Ответ:

10.Даны две точки А(2;-1;3), В(1;0;4) и вектор (4;-2;-3). Найдите длину вектора 3 + 5

Решение:

(1-2;0+1;4-3)=(-1;1;1) 3 (-3;3;3)

5 (20;-10;-15)

3 =(17;-7;-12)

=

Ответ:

11.Даны точки А(2;0;1), В(4;-1;3), С(1;1;2). Найдите косинус внутреннего угла при вершине В треугольника АВС.

Решение:

cos =




AB*BC=-3*2+(-1)*2+2(-1)=-6-2-2=-10

cos = = =

Ответ:

12.Найдите сумму всех значений m, при которых векторы а(m + 1; 1;-1;) и b(m; -m;-2m+3) перпендикулярны.

Решение:

=0

m(m+1)-m+2m-3=0

m +2m-3=0

m =-3

m =1

m +m =-3+1=-2

Ответ:-2

13.Найдите длину большей диагонали параллелограмма, построенного на векторах (3;-3;-2) и (1;2;-1).

Решение:

d =(a+

d =a +2ab+b

d =22-2+6=26 ab=3-6+2=-1

d=
Ответ:

14.Найдите в градусах угол между векторами (1;1; ) и осью Оz.

Решение:

cos =

= =

=

ab=0+0+6=6

cos = = = = =



Ответ: