11 Метод рационалихации при решении неравенств. Метод рационализации (замена множителей) при решении неравенств

• Название: Метод рационализации (замена множителей) при решении неравенств
• Дата: 11.05.2023
• Размер: 468.68 Kb.
• Имя файла: 11 Метод рационалихации при решении неравенств.docx
• Тип: Решение; #1121949

Метод рационализации (замена множителей)

при решении неравенств

Решение неравенств, содержащих модули, корни, логарифмические, показательные функции или их комбинацию стандартными школьными методами часто оказывается сложными и громоздкими, что вызывает определенные трудности.

Одним из эффективных и доступных методов решения таких неравенств и их систем является метод рационализации, базирующийся на концепции равносильности математических высказываниях.

Два неравенства A и B называются равносильными на множестве M, если множества их решений совпадают. Замена одного неравенства другим, равносильным данному на M, называется равносильным преобразованием на M.

Если функция f(x) строго возрастает, то знак выражения f(x₁) - f(x₂) совпадает со знаком выражения x₁- x₂. Если функция f(x) строго убывает, то знак выражения f(x₁) - f(x₂) совпадает со знаком выражения x₂- x₁.

Этот факт можно использовать при решении неравенств, в правой части которых стоит ноль. Можно в левой части (числителе и/или знаменателе левой части) заменить разность значений монотонной функции разностью значений аргумента. При этом, если функция возрастающая, то знак неравенства сохраняется, а если функция убывающая, то знак неравенства заменяется на противоположный.

При условии неизменности знака решаемого неравенства множители, принимающие положительные значения можно просто исключить, а множители, принимающие отрицательные значения – заменить на (-1).

Метод позволяет упростить неравенство, сведя его решение к решению более простого неравенства или системы более простых неравенств. Решение последних легко осуществляется методом для рациональных функций.

Таким образом, суть метода в том, что в неравенстве можно перейти от сложного выражения к более простому. Такой переход допустим, если выполнены условия:

1) Обязательно нужно учесть ОДЗ изначальных функций;

2) Делать замену можно только если с одной стороны неравенства стоит 0:

3) Неравенство привести к виду (<; ; ).

При решении задачи исходное неравенство преобразуется в систему: рационализированное неравенство и ОДЗ исходного неравенства.
Неравенства, содержащие модуль

Выражение с модулями	Замена
f	f2
f - g	f2 - g2 = (f – g)(f + g)
f - g	(f – g)(f + g), g  0
	, (g  0,   0)
(f - g)( - )	(f2 - g2)(2 - 2)

1) x - 1 < 2

Замена множителей: x - 1 - 2 < 0  (x – 1)² – 2² < 0, (x – 1 – 2)(x – 1 + 2) < 0

(x – 3)(x+ 1) < 0, -1< х < 3. Отв. (-1; 3).

2) (x - 1 - 3)(x + 2 - 5) < 0.

(x - 1 - 3)(x + 2 - 5) < 0  ((x – 1)² - 3²)((x + 2)² - 5²) < 0,

(x – 1 - 3)(x - 1 + 3)(x + 2 - 5)(x + 2 + 5) < 0, (x – 4)(x + 2)(x - 3)(x + 7) < 0

Отв. (-7; -2)(3; 4).



3) x - 1 - 5  2.

x - 1 - 5 - 2  0  (x - 1 - 5)² - 2²  0, (x - 1 - 7)(x - 1 - 3)  0 

(x - 8)(x + 6)(x - 4)(x + 2)  0

Отв. -6; -24; 8.



4) x² – 7x + 2  x² + 5x - 2.

x² – 7x + 2  x² + 5x - 2, x² – 7x + 2 - x² + 5x - 2  0  (x² – 7x + 2)² – (x² + 5x – 2)²  0, (x² – 7x + 2 - x² - 5x + 2)(x² – 7x + 2 + x² + 5x - 2)  0,

(-12x + 4)(2x² - 2x)  0, (3x - 1)(x - 1)x  0

Отв. 0; 1/31; ).



5)  1.

- 1  0  ; 

;

Отв. 0; 1,62,5; ).

6)  0   0,

 0,  0  



Отв. (-; -5(0; 1)(1; ).



7)  0   0

 0   , 

,

Отв. (-4; -2,5(2; 3,5.



8)  0   0,

 0,  0 

, х(-; -2)-1; 1(2; 4)

Отв. (-; -2)-1; 1(2; 4).

9) 2x² - x - 3 - (2x² + x + 5)  0. Т.к. 2x² + x + 5 > 0 при всех xR, то исходное неравенство равносильно неравенству: (2x² - x - 3)² - (2x² + x + 5)²  0,

(2x - x - 3 - 2x² - x - 5)(2x - x - 3 + 2x² + x + 5)  0,

(2x² - x - (2x² + x - 8)(2x² - x + 2x² + x + 2)  0

и т.к. 2x² - x + 2x² + x + 2 > 0 при всех xR, то

(2x² - x - (2x² + x - 8)  0  ((2x² - x)² - (2x² + x - 8)²  0

(2x² - x - 2x² - x - 8)(2x² - x + 2x² + x + 8)  0, (x + 4)(x² + 8)  0, (x + 4)  0

x  -4. Отв. -4; ).

10) < .

Умножим обе части неравенства на функцию

, g(x) >0 xR

< ,

< ,

<  ,

,

. Отв. (-13; -4)(-4; -1).

11) 5x² - 6x - 8  3x² - 4x + 4

(5x² - 6x - 8 - 3x² + 12x - 12)(5x² - 6x - 8 + 3x² - 12x + 12)  0

(2x² + 6x - 20) (8x² - 18x + 4)  0, (x² + 3x - 10) (4x² - 9x + 2)  0,

(x +5)(x -2)(4x -1)(x - 2) 0, (x -2)²(4x -1)  0 

 x-2-0,25; 0,252

Отв. -2-0,25; 0,252
Иррациональные неравенства

Выражение с корнями	Замена
	f 2
-	f – g, (f  0, g  0)
f -	f 2 – g, (f  0, g  0)
	f – g, (f  0, g  0)

Выражение с модулями и корнями	Замена
f	f 2
	f 2
f -	f 2 – g, (g  0)
-	f 2 – g2, (f  0)
- g	(f – g2) (f + g2), (g  0)
f -	(f 2– g) (f 2+ g)
-	(f – g) (f + g)

1) (x – 3)  0.

(x – 3)  0.

Можно заменить разность значений корня разностью подкоренных выражений. При этом необходимо учесть область определения арифметического квадратного корня.

;



Отв. 25; )

2) .

Заменим неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

;

а)

б)

_в)

<sub>Решение исходного неравенства:





Ответ:

3)</sub> .

Заменим неравенство равносильной системой, используя метод рационализации



<sub>а)



б)

в</sub>)

<sub>Решение исходного неравенства:





Ответ:

4)</sub> .



Заменим неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

;
а)

_б)

_{Решение исходного неравенства:}



. Ответ:

₅₎ .

Т.к. 2x² + 5x + 4 > 0 и x² + 3x + 3 > 0 при всех х, то

,

, 

Отв. (-∞; -5/2)-1(-1/3; ∞).



6) Найти сумму целых значений x, удовлетворяющих неравенству

(x + 3)  0.

Рассмотрим, сначала, уравнение

(x + 3) = 0

и найдем его корни:

= 0, x² + 4x – 5 = 0, (x + 5)(x - 1) = 0, x₁ = -5, x₂ = 1.

x + 3 = 0, x₃ = -3

Отсюда, в частности, вытекает, что область определения исходного неравенства имеет вид x-5; 1.

Рассмотрим теперь строгое неравенство

(x + 3) < 0.

В этом случае, в силу того, что квадратный корень положителен, выполняется неравенство

x + 3 < 0, x < -3,

откуда, воспользовавшись x-5; 1, получаем, что, решение исходного неравенства имеет вид:

x-5; -31

Для завершения решения задачи остается заметить, что в множество

-5; -31входят целые числа: -5, -4, -3, 1 , сумма которых равна -11.

Отв. -11.

7) Найти сумму всех целых чисел, являющихся решением неравенства

.

Т.к. 3x² - 5x + 3 > 0 и x² + x + 1 > 0 при всех х, то

, .

Т.к. 5x² + 4x + 1 > 0 при всех х, то

 x(- ; 0) ; 

_{В решение входят целые числа: 1 и 2, сумма которых равна 3. Отв. 3.}

8)

Заменим разности модулей разностями квадратов

,

, 

Решается методом интервалов

Отв. (-;-2)-1; 1(2; 4).

9)

В силу рационализации: , , , имеем

. Используя то же преобразование, получим

, ,

,

Решая методом интервалов, получим ответ

Отв. (-;-1,5)(-0,5; 0)12; ).

10)

Применим тождество , ,



,

Используя метод интервалов, получим

Отв. -2; 1/2)2/3; ).

Показательные неравенства

Выражение	Замена
af(x) – ag(x)	(a – 1)(f(x) – g(x)), (a > 0, a  1)
af(x) – b	(a – 1)(f(x) – logab), (a > 0, a  1), b > 0
a(x)f(x) – 1	(a(x) – 1)∙f(x), (a(x) > 0, a(x)  1)
a(x)f(x) – a(x)g(x)	(a(x) –1)(f(x) – g(x)), (a(x) > 0, a(x)  1)
a1(x)f(x) – a2(x)f(x)	(a1(x) – a2(x))∙f(x), (a1(x) > 0, a2(x) > 0)
f(x)h(x) – g(x)h(x)	(f(x) – g(x))∙h(x), (f(x) > 0, g(x) > 0)

1) .

В числителе левой части стоит разность значений возрастающей функции f(t) = 7^t. В знаменателе разность значений убывающей функции g(t) = 0,3^t, если представить 1 = 0,3⁰. Применяя метод рационализации, получим

, . Применяя метод интервалов, получим ответ. Отв. -1; 0)5; ).

2) .

Перейдем в числителе дроби к основанию 2, а в знаменателе – к основанию 5, и применим метод рационализации

,

, ,

Применим метод интервалов

Отв. (-; -2,5(0; 0,5.

3) 

Применим метод рационализации

-  0, (7 – 1)( - )  0

(множитель (а – 1) = (7 – 1) автоматически учитывает характер монотонности показательной функции)

( - )  0,  0,  0 

. Отв. (-; -4,5(-2; 3).

4) 5^x+2 + 5^-x – 23  log₄64.

25∙5^x + 5^-x – 23 - log₄4³  0, 25∙5^x + 5^-x – 26  0

t = 5^x > 0, тогда

; ;

, (5^x+2 - 5⁰)(5^x – 5⁰)  0, (5 - 1)(х + 2 - 0)(5 - 1)(х – 0)  0

(х + 2)х  0, х(-; -20; ).

5) 27^x - 13∙9^x + 13∙3^x+1 – 27  0, t = 3^x > 0, тогда

; ; ;

; ; (3^x - 3)(3^x – 3²)(3^x – 3⁰)  0.

Применяем метод рационализации

(3 - 1)(x - 1)(3 - 1)(x - 2)(3 - 1)(x - 0)  0, (x - 1)(x - 2)x  0 

х0; 12; ).

6) ,

, ,

, , 

х0; 2)4; ).

7)  0,  0,

 0,  0,

 0, 

х(-; -3,5(-2; 1,5.

8) .

, ОДЗ:

Решим неравенство, используя метод рационализации



x-2; 2)(2; ). Отв. -2; 2)(2; )


9) .

,

,

Решим неравенство, используя метод рационализации





_{x  1/3. Отв. (-; 1/3}



10) .

,

Решим неравенство, используя метод рационализации

, ,





_Ответ:
Логарифмические неравенства

Выражение	Замена
logaf(x) - logag(x)	(a – 1)(f(x) – g(x)), (a > 0, a  1)
logaf(x) + logag(x)	(a – 1)(f(x)∙g(x) - 1), (a > 0, a  1)
logaf(x) – b	(a – 1)(f(x) - ab), (a > 0, a  1)
logaf(x) + b	(a – 1)(f(x)∙ab - 1), (a > 0, a  1)
loga(x)f(x) - loga(x)g(x)	(a(x) –1)(f(x) – g(x)), (a(x) > 0, a(x)  1)
logaf(x) – 1	(a – 1)(f(x) - a), (a > 0, a  1)
logaf(x)	(a – 1)(f(x) - 1), (a > 0, a  1)
logaf(x)∙logbg(x)	(a – 1)(f(x) - 1)(b – 1)(g(x) - 1)
loga1(x)f(x)∙loga2(x)f(x) (a1(x) ≠ 1, a2(x) ≠ 1)	(a1(x) – 1)(a2(x) – 1)(f(x) - 1)(a2(x) – a1(x))

1) log_0,5(x² – 3x + 2) + 1  0, -log₂(x² – 3x + 2) + log₂2  0,

log₂(x² – 3x + 2) - log₂2  0 

 х0; 1)(2; 3.

2) .

ОДЗ: ,

, ,

; ;  х(-1,25; -1)(-1; 0)(0; 1)5; ).

3)

ОДЗ: , х(0; 1)(1; 2)(2; ).

, ,

( )( - x) < 0, (x - 1)(2 – x - x)(2 – x + x) < 0, (x - 1)² > 0  x ≠ 1

С учетом ОДЗ запишем ответ. Отв. (0; 1)(1; 2)(2; ).

4)

ОДЗ: , х(-;-1)(1; 2)(2; 3)(3; ).

, ,

(x- 2 - 1)(x² – 1 – x² + 4x - 4)  0, (x - 3)(x - 1)(4x + 5)  0 

х(-;-11,25; 3. С учетом ОДЗ запишем ответ.

Отв. (-;-1)1,25; 2)(2; 3).

5) x∙log_x+3(2x + 7)  0

ОДЗ: , , х(-3; -2)(-2; ).

x(log_x+3(2x + 7) - log_x+31)  0, x(x + 3 -1)(2x + 7 - 1)  0,

x(x + 2)(x + 3)  0  х-3;-20; ). С учетом ОДЗ запишем ответ.

Отв. (-3; -2)0; ).

6) .

ОДЗ: , , х > -2/3.

Применим метод рационализации.

 ,

  х(-1;-1/3.

С учетом ОДЗ, получим х(-2/3;-1/3.

7)

Приведем неравенство к виду, в котором явно видна разность значений логарифмической функции.

. Заменим разность значений логарифмической функции на разность значений аргумента. В числителе функция возрастающая, а в знаменателе убывающая, поэтому знак неравенства изменится на противоположный. Важно не забывать область определения логарифмической функции, поэтому данное неравенство равносильно системе неравенств

; ,

Решая неравенство методом интервалов, получим ответ

Отв. (0; 1)8.

8) .

ОДЗ: ;  (x - 2)²(x + 2)(x + 10) > 0

х(-; -10)(-2; 2)(2; ).

Заменим в числителе и знаменателе разность значений монотонных функций разностью значений аргументов, учитывая область определения функций и характер монотонности.

ОДЗ: ;  (x - 2)²(x + 2)(x + 10) > 0

х(-; -10)(-2; 2)(2; ).

, ,

 х(-12; 2)(2; 6.

Объединяя с ОДЗ, получим ответ. Отв. (-12; -10)(2; 6.

9) ,

ОДЗ: x + 3 > 0, x > -3, х(-3; ).

Заменим в числителе разность модулей двух функций разностью квадратов, а в знаменателе разность значений логарифмических функций разностью аргументов. В знаменателе функция убывающая, знак неравенства изменяется на противоположный. При этом надо учесть область определения логарифмической функции.

, ,

, ,

 х(-;-3)(-2; 9.

Объединяя с ОДЗ, получим ответ. Отв. (-2; 9.

10) log_x(x³ +1)∙log_x+1x >2,

ОДЗ:

11) , log_x+1(x³ +1) - 2 > 0,

log_x+1(x³ +1) - log_x+1(x + 1)² > 0, (x + 1 - 1)( x³ +1 – x² - 2x - 1) > 0,

( x³ +1 – x² -2x - 1) > 0, x²(x² - x - 2) > 0, x²(x + 1)(x - 2) > 0 

x(-;-1)(2; ). Учитывая ОДЗ, получим x >2. Отв. (2; ).