методические рекомендации. Методические рекомендации по обработке результатов измерений при выполнении лабораторных работ по физике
 Скачать 1.15 Mb.
|
|
среднее арифметическое значение величины х по формуле: 1 2 ср 1 1 n n i i x x x x x n n = + + = = ∑ (1) Среднее значение также должно содержать столько цифр, в том числе и нулей, сколько их в записях результатов измерений. 2. Вычисляем среднюю квадратичную погрешность величины х по формуле: 2 1 1 ( ) , ( 1) n x i i S x n n = = Δ − ∑ (2) 13 где ср | | i i x x x Δ = − – абсолютная погрешность каждого из n результа- тов измерений. В записях квадратов этих абсолютных погрешностей должно содержаться в два раза больше цифр, в том числе и нулей, чем в записях результатов измерений. А в записи средней квадратич- ной погрешности – столько же цифр, сколько и в записях результатов измерений. 3. Вычисляем предварительную абсолютную случайную погреш- ность измеряемой величины путем умножения ее средней квадратич- ной погрешности на коэффициент Стьюдента ( ): t n α сл ( ) x x S t n α Δ = ⋅ (3) В записи этой погрешности должно содержаться столько же цифр, сколько и в записях результатов измерений. Значения коэффи- циента Стьюдента ( ) t n α для данного числа измерений n и для дове- рительной вероятности α = 90% приведены в табл. 2. 4. Вычисляем окончательную абсолютную погрешность из- меряемой величины с учётом погрешности прибора приб x Δ как про- стую сумму: сл приб x x x Δ = Δ + Δ (4) Такая формула расчета абсолютной погрешности принята в фи- зическом практикуме для простоты расчётов и используется в том случае, если случайные и систематические погрешности имеют один порядок величины, а также при небольшом числе измерений. Можно пренебречь в формуле (4) одной из погрешностей, если она более чем в 10 раз меньше другой. Более строго абсолютная погрешность рассчитывается по формуле: 2 2 случ приб ( ) ( ) . x x x Δ = Δ + Δ Значение абсолютной погрешности нужно округлить, оставив в записи числа только одну первую значащую цифру. Это оправдано при сравнительно небольшой вероятности ( α= 0,9) и малом числе из- мерений, которые приняты в лабораторном практикуме. Разряд зна- чащей цифры погрешности определяет первую сомнительную цифру в значении среднего значения измеряемой величины. Например, если 14 при обработке результатов измерения массы тела получен следую- щий результат: (0,900 0,004) кг, m = ± то писать нули в конце числа 0,900 необходимо. Запись среднего значения в виде 0,9 m = кг озна- чала бы, что о следующих значащих цифрах ничего неизвестно, в то время как измерения показали, что они равны нулю. 5. Уточняем запись среднего значения измеряемой величины, сопоставив его с величиной абсолютной погрешности. Число, обозна- чающее среднее значение измеряемой величины, нужно округлить, оставив в нем все цифры-вплоть до разряда, совпадающего с разря- дом значащей цифры абсолютной погрешности. 6. Записываем результат измерений в виде суммы округленного среднего значения и абсолютной погрешности: х = х ср ± Δх. (5) Эта запись носит название доверительного интервала, т.е. чи- слового интервала, в который с заданной вероятностью попадает ис- тинное значение измеряемой величины. Например, мы получили следующие величины: среднее значе- ние х ср = 2,36752 и значение абсолютной погрешности: Δх = 0,08364. (6) После округления погрешности получим Δх = 0,08. Разряд зна- чащей цифры погрешности соответствует сотым. Следовательно, среднее значение нужно округлить также до сотых: х ср = 2,37. Оконча- тельно запишем доверительный интервал: х = 2,37 ± 0,08. (7) 7. Вычисляем относительную погрешность измеряемой вели- чины по формуле: ср x x x Δ ε = (8) Относительную погрешность, как правило, выражают в процен- тах. Например, для полученного доверительного интервала (7) отно- сительная погрешность равна соответственно 0,08 0,034 3,4%. 2,37 x ε = = = 15 Таблица 2 Таблица коэффициентов Стьюдента для α = 0,9 n 2 3 4 5 6 t α (n) 6,3 2,9 2,4 2,1 2,0 n 7 8 9 10 ∞ t α (n) 1,9 1,9 1,9 1,8 1,6 Отметим, что величина относительной погрешности определя- ется конкретными условиями проведения самого процесса измерения, но сама эта величина не известна. Описанный выше метод позволяет произвести оценку величины этой погрешности. Причем, с ростом числа измерений результат оценки погрешности будет все ближе к ис- тинному значению величины относительной погрешности. Однако увеличение числа измерений никогда не приведет к уменьшению са- мой погрешности. Рассмотрим на примерах, как применяются описанные выше правила округления результатов измерений. Пример 1. Пусть при измерении длины отрезка мы получили следующий результат: ср 2,34582 = A см и 0,02631 Δ = A см. Как грамот- но записать результат измерений длины отрезка? Сначала округляем с избытком абсолютную погрешность, оставляя одну первую значащую цифру 0,02631 0,03 Δ = ≈ A см. Значащая цифра погрешности в разря- де сотых. Затем округляем с поправкой среднее значение с точностью до сотых, т.е. до той значащей цифры, разряд которой совпадает с разрядом значащей цифры погрешности ср 2,34582 2,35 = ≈ A см. Вы- числяем относительную погрешность: ср 0,03 0,013. 2,35 Δ ε = = ≈ A A A Результат измерений записываем так: (2,35 0,03) = ± A см; 0,013 1,3%; ε = = A 0,9. α = Пример 2. Пусть при расчете массы груза мы получили сле- дующий результат: ср 357,456 m = кг и 24,726 m Δ = кг. Сначала округ- 16 ляем абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру 24,726 30 m Δ = ≈ кг. Затем округляем среднее значение с точностью до десятков 357,456 360 ср m = ≈ кг. Вычисляем относительную по- грешность: ср 30 0,083. 360 m m m Δ ε = = ≈ Результат измерений массы груза записываем так: (360 30) m = ± кг; 0,083 8,3%; m ε = = 0,9. α = Из приведенных выше примеров видно, что округление абсо- лютной погрешности производится до первой значащей цифры в сто- рону увеличения. Среднее значение измеряемой величины округля- ется с поправкой до той значащей цифры, разряд которой совпадает с разрядом значащей цифры погрешности. 5. РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ Очень редко содержание экспериментальной работы сводится к получению результата прямого измерения. Как правило, искомая вели- чина В является функцией нескольких других неизвестных величин x, y, z , которые измеряются непосредственно с помощью приборов и явля- ются прямыми измерениями. Таким образом, величина B(x, y, z) явля- ется косвенно измеряемой величиной. Ее погрешность определяется погрешностью величин, определяемых в ходе прямых измерений. Для расчета погрешностей косвенно измеряемой величины ис- пользуется аппарат дифференциального исчисления. При этом счи- тается, что погрешность измерения много меньше самих измеряемых величин , x x Δ << , y y Δ << z z Δ << и т.д., следовательно, знаки при- ращения ( Δ) можно заменить на знаки дифференциала (d). Если ве- личина В является функцией величин x, y, z, то полный дифференци- ал функции ( , , ) B f x y z = выражается: f f f dB dx dy dz dx y z ∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂ ∂ (9) 17 В отличие от процедуры нахождения полного дифференциала при нахождении абсолютной погрешности надо все минусы, которые могут появиться в ходе дифференцирования, заменить на плюсы, а дифференциалы аргументов заменить на соответствующие погреш- ности. Поэтому абсолютная погрешность ΔВ косвенно измеряемой величины В равна: , f f f B x y z x y z ∂ ∂ ∂ Δ = ⋅ Δ + ⋅ Δ + ⋅ Δ ∂ ∂ ∂ (10) где f x ∂ ∂ , f y ∂ ∂ , f z ∂ ∂ – модули частных производных функции по x, y, z; Δx, Δy, Δ z – абсолютные погрешности прямых многократных измере- ний величин x, y, z. Относительная погрешность косвенно измеряемой величины В: ср B B Δ ε = (11) Значение В ср вычисляется по формуле ср ср ср ср ( , , ). B f x y z = Окончательный результат записывается в виде: ср В В В = ± Δ (12) Приведем несколько примеров получения формул для расчета абсолютной и относительной погрешностей косвенных измерений. 1. Пусть некоторая физическая величина В есть функция двух переменных (х, у), которая задана следующей формулой: n x В y = (13) Для определения абсолютной погрешности косвенно измеряе- мой величины В находим полный дифференциал dB: 1 2 n n nx x dB dx dy y y − = ⋅ − ⋅ (14) Абсолютная погрешность равна: 1 2 n n nx x B x y y y − Δ = ⋅ Δ + ⋅ Δ (15) Относительная погрешность косвенно определяемой величины: 18 1 2 n n n nx x x y B x y y y n B x y x y − ⋅ Δ + ⋅ Δ Δ Δ Δ ε = = = + (16) 2. Для определения объема цилиндра воспользуемся формулой: 2 V R h = π ⋅ ⋅ Тогда относительная погрешность определения объема цилиндра: 2 2 V R h R h R h π Δπ Δ Δ ε = ε + ⋅ ε + ε = + ⋅ + π Абсолютная погрешность определения объема цилиндра: 2 ср ( ) 2 V R h V V R h R h Δπ Δ Δ ⎛ ⎞ Δ = ⋅ ε = π ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⎜ ⎟ π ⎝ ⎠ Если число «Пи» округляем до сотых ( 3,14 π = ), то погрешность такого округления составит 0,01 Δπ = Таблица 3 Функции и формулы для вычисления абсолютной и относительной погрешностей № п/п В ΔВ B B Δ ε = 1 x y + x y Δ + Δ x y x y Δ + Δ + 2 x y − x y Δ + Δ x y x y Δ + Δ − 3 xy x y y x ⋅ Δ + ⋅ Δ x y x y Δ Δ + 4 n x 1 n nx x − ⋅ Δ x n x Δ 5 x y 2 x x y y y Δ ⋅ Δ + x y x y Δ Δ + 6 n x 1 1 1 n x x n − ⋅ ⋅ Δ 1 x n x Δ ⋅ 7 sin x cos x x ⋅ Δ ctgx x ⋅ Δ 8 cosx sin x x ⋅ Δ tg x x ⋅ Δ 9 ln x x x Δ ln x x x Δ ⋅ 10 tg x 2 cos x x Δ 2 sin 2 x x ⋅ Δ 19 В табл. 3 приведены формулы для вычисления абсолютной ( ΔB) и относительной ( ε) погрешностей для наиболее часто используемых в физическом практикуме функций. В окончательном результате, как и в любых численных обозна- чениях, необходимо поставить единицы измерения, т.к. без этого чис- ленный результат измерений в физике не имеет смысла, также как от- сутствие вычисленных погрешностей лишает его всякой ценности. Порядок обработки результатов косвенных измерений приведён в табл. 4. Таблица 4 Обработка результатов косвенных измерений величины ( , , ) B f x y z = № п/п Порядок вычисления Формула 1 2 3 1. При однократном измерении величины В 1 Получены прямые измерения величин. Они записаны в виде x, y, z ср cр cр x x x y y y z z z = ± Δ = ± Δ = ± Δ 2 Вычисляется среднее значение оконча- тельного результата одного измерения В ср ср ср ср ср ( , , ) B f x y z = 3 Вычисляется абсолютная погрешность f f f B x y z x y z ∂ ∂ ∂ Δ = ⋅ Δ + ⋅ Δ + ⋅ Δ ∂ ∂ ∂ 4 Вычисляется относительная погрешность ср B B Δ ε = 5 Окончательный результат записывается в виде ср В В В = ± Δ 2. При проведении многократных измерений величины ( , , ) B f x y z = 6 Получены n косвенных измерений 1 2 , n B B B 7 Вычисляется среднее арифметическое значение В ср из результатов отдельных косвенных измерений 1 2 ср n В В В B n + + + = 8 Вычисляются абсолютные погрешности отдельных косвенных измерений ср | | i i B B B Δ = − 9 Средняя абсолютная погрешность результатов 1 ср n i i В B n = Δ Δ = ∑ 10 После округления В ср и ΔВ ср окончатель- ный результат запишется в виде ср В В В = ± Δ 20 Пример. Требуется определить объем полого цилиндра, рас- четная формула которого: 2 2 ( ) , 4 V D d h π = − где D – внешний диаметр; d – внутренний диаметр; h – высота цилинд- ра. Величины D, d, h измеряются прямым образом. Объем V измеряет- ся косвенно, диаметры D и d измеряются штангенциркулем, цена де- ления которого 0,1 мм, т.е. ΔD приб = Δd приб = 0,1 мм. Высота h измеряет- ся микрометром, приборная погрешность которого Δh приб = 0,01 мм. Пусть результаты прямых измерений имеют вид: h = (18,13 ± 0,02) мм; D = (43,3 ± 0,1) мм; d = (24,5 ± 0,1) мм. Рассчитаем среднее значение объёма цилиндра V ср : 2 2 2 2 4 ср ср ср ср 3,14(43,3 24,5 ) 18,13 ( ) 1,81 10 4 4 V D d h π − ⋅ = − = = ⋅ мм 3 Рассчитаем относительную погрешность ε v по формуле, полу- ченной в результате применения правил вычисления погрешностей: 2 2 ср 2 2 v V h D D d d V h D d Δ Δπ Δ ⋅ Δ + ⋅ Δ ε = = + + π − (17) Входящие в эту формулу погрешности прямых измерений уже вычислены. Погрешность числа π может быть сделана сколько угодно малой, если взять π с достаточным количеством знаков. Например, возьмем π = 3,14 (т.к. π = 3,14159…). При округлении таких постоянных величин, как π или основание натурального логарифма e, погрешность округления можно определить, используя следующее правило: разряд последней значащей цифры в записи этой константы делится попо- лам. Поэтому 0,01 0,005. 2 Δπ = = Подставляя значения погрешностей и средних величин в формулу (17), получим: 2 2 0,005 0,02 2 43,3 0,1 2 24,5 0,1 3,14 18,13 43,3 24,5 0,0016 0,0011 0,01060,013 1,3%. v ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ε = + + = − = + + = 21 Абсолютная погрешность результата: 4 2 2 3 ср 0,013 1,81 10 2,35 10 2 10 мм . v V V Δ = ε = ⋅ ⋅ = ⋅ ≈ ⋅ ⋅ Запишем окончательный результат измерений: V = (181 ± 2) · 10 2 мм 3 6. ПРИБОРЫ С НОНИУСОМ И ЭЛЕКТРОИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ При измерении небольших длин для повышения точности изме- рения пользуются измерительной шкалой (масштабной линейкой), снабженной нониусом. Нониусом называется дополнительный мас- штаб, позволяющий повысить точность измерения в 10–20 раз. Он представляет собой скользящую вдоль шкалы небольшую линейку с нанесенными делениями (рис. 2). Рис. 2 Цена деления нониуса не равна цене деления основного мас- штаба. Суммарная длина всех n делений нониуса равна длине (n – 1) делений основного масштаба, т.е. 1 ( 1) , n n = − A A (18) где 1 A – цена деления нониуса; A – цена наименьшего деления основ- ного масштаба; n – полное число делений нониуса. Из равенства (18) получаем: 1 1 n = − A A (19) Цена деления нониуса будет отличаться от цены деления ос- новной шкалы на величину 1 , n Δ = − = A A A A т.е. |